Последовательность проектирования тонкостенных стальных элементов, работающих на сжатие, представлена в §6.2 EN 1993-1-3. Однако вследствие наличия некоторых аналогий с проектированием толстостенных, обычных сжатых элементов, отдельные пункты содержат ссылки на §6.3 EN 1993-1-1, в том числе в части кривых потери устойчивости.
Несущая способность по потере устойчивости элемента при осевом сжатии определяется согласно формуле:
где:
χ – понижающий коэффициент потери устойчивости для соответствующей кривой;
Aeff – площадь эффективного поперечного сечения;
γM1 – частный коэффициент надежности по потере устойчивости
Поскольку Ry и γM1 являются известными значениями (γM1 = 1.0), а вычисление Aeff рассмотрено выше, дальнейший расчет сосредоточен на расчете χ.
Понижающий коэффициент χ используется для численного выражения снижения несущей способности ниже предельной нагрузки по прочности вследствие потери устойчивости. Он может быть определен исходя из EN 1993-1-1 по соответствующей кривой потери устойчивости и значению гибкости λ, соответствующей критической форме потери устойчивости. В нормах EN 1993-1-1 приведены 5 кривых потери устойчивости. При этом для легких стальных тонкостенных конструкций согласно §6.2.2 EN 1993-1-3 используются только 3 кривые (a, b и c). Указания по выбору соответствующей кривой для различных типов поперечных сечений даны в таблице.
Таблица
Выбор кривой потери устойчивости для различных типов профилей
при использовании fya * |
Любая |
c |
y-y z-z |
a b |
любая |
b |
любая |
c |
или любое другое сечение |
любая |
c |
* - среднее значение предела текучести fya не разрешается использовать, кроме случая Aeff = Ag |
Тип профиля |
Потеря устойчивости Кривая потери относительно устойчивости оси |
при использовании fyb Любая |
b |
Зависимости между χ и гибкостью в виде кривых устойчивости a, b и c продемонстрированы на рис. Несущая способность по прочности сечения соответствует варианту χ = 1.0.
При расчете большинства элементов выделяют оси наибольшей и наименьшей жесткостей. Ось наибольшей жесткости перпендикулярна плоскости наибольшей жесткости, а ось наименьшей жесткости, напротив, соответствует расчету элемента из плоскости. Как правило, элемент стараются ориентировать так, чтобы плоскость наибольшей жесткости совпадала с плоскостью, в которой действуют наибольшие изгибающие моменты.
1.20 Кривая а
Кривая b Кривая c
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 2.80
Кривые потери устойчивости a, b и c
Для элементов из тонкостенных стальных профилей, сечение которых имеет две оси симметрии, допускается выполнять проверку только на потерю устойчивости плоской формы изгиба. В таком случае гибкость λ определяется как:
где Ncr – критическая нагрузка потери устойчивости в упругой стадии, которая для формы продольного изгиба равна критической силе Эйлера и определяется формулой:
где:
E – модуль упругости стали;
I – соответствующий момент инерции сечения брутто;
lef – расчетная длина элемента для потери устойчивости в форме продольного изгиба относительно рассматриваемой оси.
Альтернативно условную гибкость сжатого элемента можно получить из выражения:
где i – это радиус инерции, а λ1 определяется соотношением:
Если расчетные длины относительно разных осей отличаются, например, в случае, когда при помощи распорки создается раскрепление в плоскости меньшей жесткости, значения следует рассчитывать относительно каждой оси, поскольку в этом случае потеря устойчивости в форме продольного изгиба относительно каждой из осей может быть определяющей.
Понижающий коэффициент χ можно получить непосредственно по кривым потери устойчивости, приведенным в EN 1993-1-1, либо рассчитать по формуле:
где
α – это коэффициент учета начальных несовершенств элемента для соответствующей кривой потери устойчивости. Данный коэффициент учитывает начальные погиби, отклонения геометрии и остаточные напряжения от прокатки и гибки элементов. Значения α представлены в EN 1993-1-1.
В случаях, когда сечение профиля не является симметричным относительно двух осей, критическим условием может быть потеря устойчивости по крутильной либо изгибно-крутильной форме. Тогда λ следует определять из формулы
,
используя минимальное из значений Ncr для возможных форм потери устойчивости.
Для элементов, не имеющих две оси симметрии, в зависимости от формы сечения в §6.2.3 EN 1993-1-3, приведена классификация форм потери устойчивости, которые необходимо учитывать (см. таблицу).
Таблица
Учитываемые формы потери устойчивости сжатых тонкостенных стальных профилей открытого сечения
Крутильная форма |
Профили с одной осью симметрии: |
Форма продольного изгиба |
Изгибно-крутильная форма |
Несимметричные профили открытого сечения |
Форма продольного изгиба |
Крутильная форма |
Изгибно-крутильная форма |
Тип профиля Кососимметричные профили открытого сечения, например, Z-профили |
Учитываемые формы потери общей устойчивости Форма продольного изгиба |
Учитывая, что подавляющее большинство тонкостенных стальных профилей, применяемых в качестве сжатых элементов, симметричны относительно оси y-y, рассмотрим порядок определения критического усилия в упругой стадии для изгибно-крутильной формы потери устойчивости таких профилей. Оно зависит от критических усилий в двух других формах (продольного изгиба и крутильной) и определяется формулой:
де:
Ncr,y – критическое усилие потери устойчивости продольного изгиба в упругой стадии относительно оси y-y;
Ncr,T – критическое усилие потери устойчивости в крутильной форме;
Для шарнирно-опертого элемента критическое усилие Ncr,T крутильной формы потери устойчивости в упругой стадии следует определять по формуле:
где:
G – модуль сдвига;
It – момент инерции при свободном кручении сечения брутто;
Iw – секториальный момент инерции сечения брутто;
iy – радиус инерции сечения брутто относительно оси y-y;
iz – радиус инерции сечения брутто относительно оси z-z;
lT – расчетная длина элемента, который подвержен потере устойчивости по крутильной форме;
y 0, z0 координаты центра сдвига относительно центра тяжести сечения брутто. Для профилей, симметричных относительно оси y-y, z 0 = 0.
Важным аспектом расчета тонкостенных профилей является правильный учет закрепления и раскрепления элементов. Указанные факторы влияют на расчетную длину элементов через коэффициент расчетной длины μ
При расчете потери устойчивости по изгибно-крутильной и крутильной формам потери устойчивости EN 1993-1-3 определяет следующие коэффициенты расчетной длины:
1.0 – при наличии связей, обеспечивающих элементу частичное закрепление от кручения и депланации;
0.7 – для соединений, обеспечивающих значительное закрепление от кручения и депланации
При расчетах вертикальных элементов следует также помнить, что их жесткостные параметры определяются не только несущей способностью по первому предельному состоянию, но и граничными горизонтальными перемещениями верха.