Построение модели межотраслевого баланса

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Строительный факультет

 

 

Кафедра «Экономика строительства»

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математические методы и модели»

Выполнила: студентка 4 курса

Группы 312711

Плышевская М.В.

Зачетной книжки 312071-11/15

Вариант 15

Проверил: доцент, к.т.н.

В.И.Романовский

Минск 2015

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВОПРОС 16. 2

ВОПРОС 37. 6

ВОПРОС 58. 8

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА.. 13

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА.. 16

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 17

 

 

ВОПРОС 16

 

Оптимизация работы систем массового обслуживания

 

Постановка задачи

Сформулируем задачу в общем виде. Пусть известны основные технико-экономические показатели функционирования одноканальной замкнутой СМО:

С - средние затраты, связанные с простоем канала обслуживания в единицу времени (час, смену), руб.;

С - средние затраты, связанные с работой канала обслуживания в единицу времени (час, смену), руб.;

С - средние затраты, связанные с работой обслуживаемой машины (требования) в единицу времени (час, смену), руб., не зависящие от пробега;

С - средние затраты, связанные с пробегом обслуживаемой машины, приходящиеся на 1 километр пробега, руб.

Пусть известны расстояние транспортировки продукции (грунт, панели, раствор) L в километрах и количество продукции, перевозимой обслуживаемой машиной за один рейс G (т, шт., м), а также время обслуживания одной машины -1.

Выберем в качестве критерия оптимизации себестоимость единицы продукций. Искомым параметром является оптимальная структура комплекта машин, то есть такое число машин (требований), которое должна обслуживать ведущая машина (канал обслуживания) в целях минимизации себестоимости единицы продукции. [1]

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Критерий оптимизации - себестоимость единицы продукции - можно представить в таком виде:

где Рд - вероятность простоя канала обслуживания из-за отсутствия обслуживаемых машин; m - число обслуживаемых машин; п - число обслуженных машин в единицу времени. Зная время обслуживания одной машины (требования) каналом, можно определить интенсивность обслуживания.

Число обслуженных машин в единицу времени можно определить по формуле: п = ц (1- Р).

Выделим некоторые особенности функционирования рассматриваемого комплекта машин:

• вероятность поступления машины (требования на обслуживание не зависит от возможности прибытия другой, то есть имеем систему без последействия;

• вероятность поступления на обслуживание сразу двух и более машин равна нулю или столь мала, что ею можно пренебречь, то есть мы имеем систему с ординарным потоком машин в ней;

• вероятность поступления машины на обслуживание зависит только от интервала времени, но не зависит от расположения этого интервала на оси времени, то есть мы имеем комплект машин со стационарным потоком поступления их на обслуживание. [1]

Таким образом, имеем простейший поток, для которого известна формула, позволяющая определять вероятность простоя Рд(ш) канала обслуживания из-за отсутствия обслуживаемых машин. Индекс ц означает простой канала обслуживания при наличии m обслуживаемых машин:

Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, определится так:

Решение задачи традиционными методами

Выражение критерия оптимизации Y после уточнения некоторых его составляющих можно представить в таком виде:

Преобразуем критерий оптимизации так, чтобы составляющие, которые не зависят от структуры комплекта т, находились в одном выражении, а зависящие от т-в другом. Для этого добавим в числителе С и -С и упростим выражение. Получим:

В результате преобразования критерий оптимизации разделился на две части, из которых первая - YO - не зависит от искомого параметра т, а вторая зависит. При этом следует учесть, что вероятность простоя канала обслуживания Рр также зависит от искомого параметра.

Анализируя критерий оптимизации, можно заметить, что искомый параметр m - число требований, которые может эффективно обслуживать канал, - принимает только целочисленные значения. Следовательно, классические методы оптимизации для поиска оптимального значения m в этой ситуации неприменимы. Для поиска оптимума воспользуемся следующим очевидным неравенством: Y(m- l)>Y(m)<Y(m+l).

Малое число обслуживаемых требований в системе вызовет значительные простои канала обслуживания, большое их количество повлечет за собой заметный простой обслуживаемых требований. И в том, и в другом случае комплект будет неэффективен.

Подставим в исходное неравенство математическую форму критерия оптимизации и получим следующее выражение:

Упростим его, разделив все части неравенства на выражение, стоящее в числителе среднего члена, и получим:

Назовем величину С коэффициентом затрат. Для того чтобы определить наилучшую структуру одноканальной замкнутой СМО - оптимальное число обслуживаемых требований, необходимо рассчитать последнее неравенство для различных значений m. Искомым оптимальным значением будет то, которое удовлетворит полученному неравенству. [1]

 

ВОПРОС 37

 

Оптимизация запасов методом множителей Лагранжа

 

При решении задачи Лагранжа интересовались значениями х1,…,хn; кроме того, могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины - множителя Лагранжа.

Оказывается, множитель Лагранжа — весьма существенная характеристика решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку ограничения, ничего не изменяя по существу. [2]

Типичная экономическая ситуация характеризуется тем, что приходится искать наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r - заданное количество запаса, а функция h(X) характеризует потребное его количество для достижения точки Х, то ограничению естественно придать форму

h(X) £ r.

По характеру задачи часто бывает ясно, что для достижения оптимума запас нужно использовать полностью, так что ограничение может быть записано в виде равенства

h(X) = r.

Это условие можно представить в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный интерес представляет максимально достижимый уровень функции f(x) в зависимости от имеющегося количества ресурса r. Обозначим

F(r) = max {f(X) | h(X) = r}.

В правой части - принятое обозначение условного экстремума: после вертикальной черты выписывается условие.

Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали lg(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если располагаемое количество запаса получает приращение Ùr, то мы должны ожидать приращение максимума функции f(X) на lÙr.

В действительности это соотношение носит приближенный характер. Точный результат мы получили бы в пределе при Ùr ® 0:

Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы r в ограничении. [2]

 

 

ВОПРОС 58

 

Уравнение Слуцкого

 

В алгебраической форме совместное влияние эффектов замены и дохода выражается уравнением Слуцкого:

В нашем примере X1 = А, Х2 = Б, и уравнение Слуцкого верно для различных сочетаний i и j (*как при i=j=1, например, так и при i≠j, то есть когда изменения спроса и цены относятся к одному и тому же товару или к разным товарам). Индекс соmp означает «связанное с компенсацией», то есть с изменением номинального дохода, позволяющим потребителю поддерживать прежний реальный доход.

Первое слагаемое в правой части уравнения Слуцкого описывает действие эффекта замены, второе - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель X приводит их к одной размерности). Слева записано совместное (результирующее) воздействие эффектов замены и дохода на спрос. Как было показано, оно складывается из изменения структуры потребления при замене одних (относительно подорожавших) благ другими (относительно подешевевшими) и общего изменения объемов потребления благ при изменении уровня реального дохода. [3]

Результат совместного влияния эффекта замены и эффекта дохода зависит от их направления и величины. При росте цены данного блага эффект замены для этого вида благ всегда отрицателен, то есть состоит в сокращении объема спроса на дорожающий товар. Эффект же дохода различен в зависимости от отношения потребителя к данному виду благ. Спрос на нормальные (полноценные) блага растет при увеличении дохода, поэтому при понижении реального дохода соответствующий компонент в уравнении Слуцкого отрицателен. Сумма двух отрицательных величин также отрицательна, поэтому общий итог повышения цены для полноценных благ, несомненно, заключается в сокращении объема спроса на них. При этом влияние эффектов замены и дохода однонаправлено (рис. 1).

Рисунок 1

 

Когда потребитель считает данное благо нейтральным (при изменениях дохода спрос на такое благо не меняется), то эффект дохода равен нулю и общее изменение потребления такого блага совпадает с эффектом замены (рис. 2).

Рисунок 2

 

В этом случае наклон кривой спроса будет, очевидно, более крутым, чем наклон кривой спроса на нормальное благо.

Если потребитель считает благо неполноценным (спрос на него при увеличении дохода падает), но абсолютная величина эффекта дохода меньше величины эффекта замены, то общий результат повышения цены по-прежнему отрицателен, хотя он будет еще меньше по абсолютной величине, чем в предыдущем случае (рис. 3).

Рисунок 3

 

Если в последнем случае эффект замены и эффект дохода равны по абсолютной величине, то спрос на такое неполноценное благо будет абсолютно неэластичным (рис. 4).

Рисунок 4

 

Получается, что в этом случае закон спроса продолжает действовать, но его действие нейтрализуется равносильным действием понижения реального дохода для неполноценных благ. [3]

И только когда абсолютная величина эффекта дохода при изменении цены менее ценного блага больше величины эффекта замены, то общий эффект повышения цены будет положительным. Такой товар будет называться благом (товаром) Гиффена, и кривая спроса на него будет иметь положительный наклон (рис. 5).

Рисунок 5

 

Данный анализ эффектов замены и дохода проведен по методологии Джона Хикса, при которой данный уровень реального дохода определяется как обеспечивающий данный уровень благосостояния потребителя (данный уровень полезности). Разработавший основные положения этого анализа Евгений Евгеньевич Слуцкий (его исследования были осуществлены двумя десятилетиями ранее, однако стали известны мировой экономической общественности позже результатов Хикса) использовал менее строгий с точки зрения теории полезности, но зато более эмпирически легкий и потому более прагматичный способ определения данного уровня реального дохода. Он предложил считать неизменным реальный доход в том случае, когда после изменения цен потребитель может купить тот же самый набор благ, что и до данного изменения. Поэтому при подходе Слуцкого промежуточная бюджетная линия должна проходить через точку, изображающую исходный оптимальный набор благ (рис. 6).

 

Рисунок 6

 

Таким образом, величины номинального денежного дохода, обеспечивающего данный уровень реального дохода, по Хиксу и по Слуцкому чаще всего не совпадают. Очевидно, что при методологии Слуцкого такая промежуточная бюджетная линия будет касаться чаще всего более высокой кривой безразличия, чем исходной кривой безразличия, что требуется при методологии Хикса. Поэтому, имея возможность купить тот же набор благ, что и до изменения цен, потребитель фактически окажется на более высоком уровне благосостояния, чем перед изменением цен. Это и определяет менее строгий подход к определению неизменного уровня реального дохода. [4]

 

 

ВАРИАНТ 5

 

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

 

Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

 

Таблица 1 – Исходные данные

	P1	P2	P3	P4	∑	Y	X
P1
P2
P3
P4
∑
Z
X

 

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (450, 260, 130, 110).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

 

Таблица 2 - Завершаем состояние баланса

Объекты

 

2. Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

Элементы матрицы коэффициентов прямых затрат рассчитаем по формуле, получим:

Элементы матрицы полных затрат рассчитаем по формуле , воспользуемся встроенной функцией МОБР, получим:

Элементы матрицы косвенных затрат рассчитаем по формуле , получим:

 

3. Проверить выполнение условия, гарантирующего существование решения.

Проверка условия , гарантирующего существование решения:

, , ,

4. Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (450, 260, 130, 110), воспользуемся встроенной функцией МУМНОЖ, получим:

5. Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта, воспользуемся встроенной функцией МУМНОЖ, получим: