Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів.

В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — це обмежений дохід: max u(x) (1.1) px = M де х=(х₁,...,х_n)′ – вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; n – число різноманітних товарів; u(х) –функція корисності споживача; р = (p₁,…,p_n) – вектор-рядок цін товарів; М – обсяг доходу споживача. Це задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа: L(x,л)=u(x)-л(px-M). Необхідними умовами локального екстремуму є: (1.2) (1.3) Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)= є вiд’ємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір , що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін: Якщо розв’язати (1.2), (1.3) відносно , отримаємо функцію попиту споживача:

 

Модель Еванса.

Маємо ринок одного товару. Час t вважатимемо неперервним.Позначимо через d = d (t) = F[ p (t)], s = s (t) = y[ p (t)] інтегрований попит і пропозицію в момент t, а через p (t) — ціну товару в цей момент. У моделі постулюється, що попит і пропозиція є лінійними функціями ціни: F(p) = a – bp, a > 0, b > 0 (попит зі зростанням ціни спадає); y(p) = a + b p, a > 0, b > 0 (пропозиція зі зростанням ціни зростає). Окрім цього, слушно вважати, що a > a (за нульової ціни попит перевищує пропозицію). Основна гіпотеза моделі полягає в тому, що зміна ціни пропорційна перевищенню попиту над пропозицією: D p = g (d – s)D t, g > 0. (9.1) Згідно з гіпотезою (9.1) взаємодія споживачів і виробників відбувається таким чином, що ціна, яка відображає цю взаємодію, неперервно пристосовується до ситуації на ринку: за перевищення попиту над пропозицією ціна зростає, у протилежному разі — спадає. Використовуючи зроблені припущення, можна прийти до такого диференційного рівняння щодо ціни: (9.2)

Це рівняння має стаціонарну (рівноважну) точку р ⁰ (коли ): (9.3) З виразу (9.2) видно, що за а за тому (у першому випадку ціна досягає рівноважного значення, зростаючи, а в другому — спадаючи, при цьому рівноважна ціна р ⁰ не залежить від початкової р ₀). Рівноважна ціна є абсцисою точки перетину прямих попиту і пропозиції, тобто за такої ціни попит дорівнює пропозиції.

Ці висновки отримані без розв’язку рівняння (9.2). Вони будуть такими самими, якщо прямо використати розв’язок цього рівняння:

Дискретний аналог моделі Еванса подано на рис. 9.1, де зображені прямі інтегрованого попиту і пропозиції і показано механізм виникнення послідовності p_n, що зростає від початкової ціни р ₀, за якої попит не дорівнює пропозиції. Час розподілено на інтервали D t, ціна в момент дорівнює: .

Рис. 9.1. Дискретний аналог моделі Еванса

Модель Вальраса.

Основна ідея Вальраса полягає у тому, щоб за певної системи цін індивідуальні плани (наміри) учасників стали спільними, тобто така система цін забезпечує розподіл ресурсів і продукції на основі розв’язання конфлікту між учасниками. Таку рівноважну ситуацію називають конкурентною рівновагою. У моделі Вальраса розглядається економіка з l споживачами (i = 1, …, l), m виробниками (k = 1, …, m) і n типами товарів (j = 1, …, n). Через p = (p ₁,…, p_n) позначатимемо вектор-рядок цін, а через x = (x ₁, …, x_n)¢ — вектор-стовпчик товарів. Модель Вальраса можна розглядати як формалізацію річного циклу виробництва і розподілу товарів у результаті взаємодії суб’єктів економіки (споживачів і виробників), кожний із яких має свої цілі. Кожен споживач володіє доходом K (p) і має своє поле переваг щодо товарів, яке може бути задане у вигляді індикатора переваг (функції корисності u (x)). Якщо позначити через множину допустимих наборів товарів, що є доступними споживачеві за цін p, X — область визначення u (x), то функція попиту споживача може бути задана таким чином:

(9.4)

тобто функція попиту — це така множина допустимих наборів товарів, кожний із яких (наборів) максимізує корисність споживача за заданого рівня цін p. Припускається, що дохід кожного споживача складається з двох частин: з доходу pb_i від продажу початкового запасу товарів b_i та доходу l_i (p) в результаті участі споживача у виробництві, тобто

Позначимо через вектор-стовпчик витрат—випуску k -го виробника Технологічні можливості фірми визначаються як множина всіх допустимих векторів витрат—випуску Y_k. Цю множину називають мно­жиною виробничих можливостей. Під функцією пропозиції фірми розуміють один чи кілька векторів витрат—випуску, котрі за заданих цін p максимізують прибуток: Вектор y набуває певних значень із загальноекономічної множини виробничих можливостей:

Розподіл виробництва здійснюється обранням вектора витрат—випуску y_k із технологічної множини виробничих можливостей Y_k для кожного виробника (k = 1, …, m), сума являє собою сукупний (інтегрований) виробничий процес.Такі сукупні процеси утворюють сукупну технологічну множину Y (загальноекономічну множину виробничих можливостей). Сума по всіх споживачах становить сукупну початкову власність. Під спільним розподілом виробництва і споживання мають на увазі такий набір векторів споживання і векторів витрат—випуску

для якого сукупний попит збігається із сукупною пропозицією, тобто (9.7)

Набір задає конкурентну рівновагу в моделі Вальраса, якщо:

(9.8)

(9.9)

(9.10)

Тут p ^* називають вектором конкурентних цін. Співвідношення (9.9), (9.10) іменують законом Вальраса у широкому розумінні, якщо ж у (9.9) має місце рівність, — це закон Вальраса у вузькому розумінні. Таким чином, конкурентна рівновага являє собою сумісний розподіл виробництва та споживання, а сукупний попит у цьому разі не перевищує сукупної пропозиції.