Операция 3.1. Построение цепи (контура, цикла) перераспределения поставок.

Улучшение плана осуществляется по одной из небазисных клеток, для которой условие оптимальности оказалось невыполненным. В нашем плане имеется четыре такие клетки. Выбираем одну из них, для которой условие оптимальности не выполняется в наибольшей степени. В нашем плане это клетка А₂В₄. Для нее условие оптимальности не выполнено на 4 единицы (10 – 0 – 6 = 4). Для этой клетки строим цепь перераспределения поставок. Цепь перераспределения поставок – это такая замкнутая ломаная линия, которая проходит по клеткам матрицы ходом шахматной ладьи. В вершинах контура обязательно лежит одна небазисная клетка (несоответствующая условию оптимальности, найденная ранее), а остальные соответствуют только базисным клеткам. Линии контура могут пересекаться. Для небазисной клетки А₂В₄ цепь будет проходить по клеткам А₁В₄, А₁В₃, А₂В₃ (табл. 2.7).

Таблица 2.7

Возможные варианты построения цикла перераспределения

 

В нашем случае форма цепи простая. Однако цепь может иметь любую форму, в том числе и причудливую (см. табл. 2.7). Её нужно научиться отыскивать, используя эвристические подходы. При этом необходимо учитывать, что каждая небазисная клетка транспортной матрицы обязательно имеет одну цепь перераспределения поставок.

Операция 3.2. Перераспределение поставок.

Перераспределение поставок (см. табл. 2.6) производится по цепи. Вначале определим объем перераспределения поставок. Для этого присвоим клеткам – вершинам цепи – знаки. В небазисную клетку А₂В₄ ставим «+», поскольку в нее будет вводиться поставка. Далее, чередуя «+» с «–», расставляем знаки по остальным вершинам контура. Величина объема перераспределения поставок принимается равной минимальной поставке в отрицательной клетке. Для нашего случая это 50 единиц груза. Перераспределение заключается в том, что к поставкам в положительных клетках найденный объем прибавляется, а для отрицательных клеток отнимается. Результат представлен в табл. 2.6.

Функционал F' нового плана, представленного в табл. 2.6 (выделенные поставки), составляет 1950 ткм, что на 200 ткм меньше значения функционала F предыдущего плана.

Полученный улучшенный план, представленный в табл. 2.6, в свою очередь, требует проверки на оптимальность, поэтому необходимо вернуться к операции 2.

Совокупность действий, описанных в операциях 2 и 3, в процессе решения задачи повторяется до тех пор, пока не будет получен оптимальный план. Эта совокупность носит итеративный (циклический) характер, поэтому она называется итерацией. Через определенное число итераций план становится оптимальным. После этого осуществляется переход от второй операции к четвертой (табл. 2.8).

Таблица 2.8

Повторение операций 2, 3

 

От матрицы к матрице грузооборот (затраты на транспортировку) должны снижаться. Если план не оптимален, то необходимо произвести повторный расчёт потенциалов, проверить небазисные клетки на соответствие условию оптимальности.

Покажем дальнейшее решение задачи, основываясь на данных табл. 2.6. Результат действий второй и третьей итераций приведен в табл. 2.8.

Проверка плана на оптимальность свидетельствует о том, что для двух клеток условия оптимальности не выполняются. После перераспределения поставок по клетке А₄В₃, получаем новый план (табл. 2.9).

Таблица 2.9

Оптимальный план поставок

Проверка плана перевозок на оптимальность по условию (2.8) показала, что для всех небазисных клеток матрицы условия оптимальности выполняются. Функционал F'' оптимального плана равен 1920 ткм. Таким образом, получен план перевозок, обеспечивающий минимальный объем перевозочной работы для транспортировки всего груза между станциями погрузки и выгрузки.

 

2.3. Решение транспортной задачи линейного программирования

с помощью надстройки «Поиск решения» в MS Excel

 

Рассмотрим последовательность решения предыдущего примера надстройки «Поиск решения» в MS Excel.

Вначале вводятся исходные данные (рис. 2.1).

 

 

Рис. 2.1. Исходные данные

 

Расчет ограничений транспортной задачи необходимо выполнять в нижеприведенной последовательности: в ячейки столбика С15:С18 вводим зависимость с помощью функции СУММ Мастера функций. Для этого в соответствующем диалоговом окне вводим адрес строки. На рис. 2.2 представлен адрес для ячейки С15. Аналогичные расчеты следует выполнить для всех пунктов производства и потребления.

 

 

Рис. 2.2. Ввод ограничительных уравнений

 

Затем в ячейку D12 вводим целевую функцию (рис. 2.3), представляющую собой сумму произведений себестоимости перевозки тонны груза на один километр и соответственно объем перевозок, условно принятый за единицу по всем пунктам производства и потребления.

 

Рис. 2.3. Ввод целевой функции

 

На следующем этапе запускаем «Поиск решения» и заполняем соответствующие ячейки (рис. 2.4.). В поле с единицами располагаются изменяемые ячейки.

Следует помнить, что при вводе ограничений должны соблюдаться равенства содержимого ячеек рассчитанных сумм указанным в условии значениям (балансовые ограничения транспортной задачи). Введенные зависимости должны быть равны объему производства и потребления соответственно.

 

Рис. 2.4. Этап «Поиск решения»

 

Во вкладке «Параметры» отметить «Линейная модель» и «Неотрицательная значения». Затем нажать «Выполнить» и сохранить полученное значение (рис. 2.5.).

 

Рис. 2.5. Результаты этапа «Поиск решения»

 

Как видно из рис. 2.5, функционал (F = 1920 ткм), найденный с помощью метода потенциалов, совпадает со значением целевой функции определённой с помощью надстройки «Поиск решения» в MS Excel.

 

2.4. Оптимизация загрузки производственных мощностей

предприятий по производству запасных частей

для железнодорожного транспорта

 

Железнодорожный транспорт в больших объемах потребляет разнообразные запасные части для поддержания активной части своих производственных фондов в работоспособном состоянии. Запасные части для предприятий железнодорожного транспорта изготавливаются на заводах по ремонту подвижного состава и производству запасных частей и других специализированных предприятиях. Снижение издержек, связанных с обеспечением предприятий железнодорожного транспорта запасными частями весьма актуально. Учитывая большую протяженность железных дорог России, эта задача должна решаться комплексно как для производственной, так и для транспортной составляющей затрат. Для решения этой задачи с успехом может быть использована экономико-мате­ма­­ти­ческая модель так называемой транспортной задачи линейного программирования. В частности, ее разновидность – открытая модель транспортной задачи. Для построения экономико-математической модели рассматриваемой задачи введем следующие обозначения:

а_i – производственные мощности предприятий по производству запасных частей по пунктам размещения i;

b_j – потребности в запасных частях в пунктах j;

x_ij – объемы перевозок запасных частей между пунктами производства и пунктами потребления i, j;

З_i – затраты на производство единицы (удельные затраты) запасных частей у предприятий по пунктам i;

с_ij – затраты на транспортировку единицы запасных частей между пунктами производства и потребления;

а_i^' – загрузка производственных мощностей предприятий по производству запасных частей по пунктам размещения i.

Тогда экономико-математическая модель может быть сформулирована следующим образом: найти совокупность переменных а_i^', минимизирующих целевую функцию F:

 

. (2.9)

 

В данной задаче предполагается, что суммарная мощность всех предприятий должна превышать общие потребности. Это весьма важно, поскольку при равенстве задача оптимизации теряет смысл, так как будет возможен только один вариант решения при стопроцентной загрузке мощностей. Следовательно, имеет место открытая транспортная задача. Нереализованная продукция относится на счёт фиктивного потребителя.

Допустим, имеется три предприятия по производству запасных частей и пять пунктов потребления. Объемы производства будем измерять в тоннах, а затраты в тысячах рублей. Рассмотрим процесс оптимизации на примере. Известны показатели, характеризующие производственные мощности. Они имеют следующие значения:

а₁ = 500 т; а₂ = 400 т; а₃ = 700 т;

З₁= 45 тыс. руб.;З₂ = 49 тыс. руб.; З₃ = 40 тыс. руб.

Потребности в пунктах потребления:

b₁ = 350 т; b₂ = 320 т; b₃ = 190 т; b₄ = 270 т; b₅ = 230 т.

Затраты на транспортировку одной тонны запасных частей между пунктами производства и потребления представлены в матрице (табл. 2.10).

Таблица 2.10