Загальна характеристика експериментально-статистичного моделювання

Технічні об’єкти (ТО), в тому числі електромеханічні пристрої, є складними стохастичними системами. Якщо скористатися елементарною моделлю довільної системи у вигляді функціонального перетворювача з векторами параметрів на вході Х і виході У, то найпростіша математична модель системи запишеться як У=А{Х}, а математичне моделювання зведеться до пошуку конкретного вигляду оператора перетворення А. Враховуючи, що як складна стохастична система ТО матиме і детерміновану й стохастичну складові, побудова моделі ТО буде неможливою без оброблення інформації про аналогічні технічні об’єкти, результатів технологічних експериментів, знання загальних принципів і закономірностей функціонування ТО.

Статистичні, або експериментально-статистичні, моделі отримують статистичним обробленням експериментальних даних, зібраних на досліджуваному об’єкті. Структура статистичної моделі вибирається вельми довільно. З метою спрощення застосованого математичного апарату статистична модель часто набуває форми полінома, в якому детерміновані фактори виступають у ролі змінних x₁…x_n, а вплив стохастичних факторів схований у коефіцієнтах полінома. Відповідність моделі об’єктові обмежується виключно кількісним аспектом, область застосування – найближчим довкіллям точок, в яких проводилися спостереження. Побудова таких моделей не є переважно надто довготривалою і трудомісткою.

Експериментальні методи побудови моделей об’єктів застосовуються тоді, коли не вистачає знань про алгоритми функціонування реального об’єкта або коли розроблення аналітичних чи алгоритмічних моделей неможливе чи недоцільне внаслідок їх складності. Експериментальні моделі не такі універсальні, як теоретичні, проте простіші за своєю структурою і дозволяють застосовувати однотипний математичний апарат.

Експериментальне моделювання базується на активному (спеціально спланованому і проведеному) або пасивному експерименті і подальшому статистичному аналізі результатів.

Методи статистичного аналізу

Метод найгіршого випадку – використовується для оцінки впливу змінювань зовнішніх параметрів на розкид вихідних, оскільки правильне функціонування об’єкту, що проектується, повинне забезпечуватися при будь-яких значеннях зовнішніх параметрів усередині заданих діапазонів. Як початкові дані вказуються максимально можливі відхилення елементів вектора зовнішніх параметрів Q від номінальних значень. Ця інформація завжди є в технічному завданні (ТЗ) на проектування.

Найгірший випадок за і -м вихідним параметром y_i відповідає максимальним відхиленням усіх елементів вектора Q від номінальних значень Q_ном у бік погіршення вихідного параметра y_i з точки зору вимог ТЗ. Умови працездатності за вихідним параметром, які вказано в ТЗ, представляються у вигляді

y_i < TT_i або y_i > ТТ_i,

де ТТ_i – технічна вимога на параметр.

Отже, передусім необхідно визначити напрям відхилення q_i від номінального значення, тобто знак для кожного y_i з урахуванням його ТТ_i. Завдання зводиться до аналізу чутливості вихідного параметра y_i до змінювання зовнішнього параметра q_i і визначенню знаку коефіцієнта чутливості sign(a_ij). Зовнішні параметри q_i для найгіршого випадку розраховуються за формулою

 

,

 

де знак «+» відповідає умові y_i < ТТ_i, знак «-» – y_i > ТТ_i.

У загальному випадку для n вихідних і l зовнішніх параметрів визначається матриця чутливості А з елементами . Спеціальні вимоги до точності обчислення елементів a_ij не накладаються (важливо лише визначити знаки a_ij), тому для визначення матриці використовується метод прирощень. Для розрахунку кожного вихідного параметра в найгіршому випадку y_iНС необхідно виконати один варіант аналізу. Загальна кількість варіантів аналізу становить (n+l+ 1).

Імовірнісні методи – використовуються для оцінювання впливу випадкового розкиду значень внутрішніх параметрів на розкид вихідних параметрів. Початковими даними для них служать умови працездатності за усіма вихідними параметрами Y і закони розподілення вірогідності внутрішніх параметрів X, що представлені у будь-якому вигляді: аналітичному, гістограм, таблиць результатів вимірювання параметрів.

Статистичні зв’язки внутрішніх параметрів між собою задаються у вигляді коефіцієнтів кореляцій, обчислених на підставі результатів вимірювання цих параметрів. Для отримання таких даних виконуються експериментальні виміри для великої кількості комплектуючих виробів і розробляються відповідні програми статистичної обробки отриманих результатів. Найбільшого поширення набули імовірнісні методи статистичного аналізу – аналітичний та чисельний, заснований на застосуванні методу Монте-Карло (метод статистичних випробувань).

Закони розподілення параметрів у_i можна характеризувати функціями розподілення F_i(Y_i), рівними вірогідності того, що у_i виявиться менше деякої величини Y_i. Вірогідність придатності за кожним параметром у_i дорівнює P_i(y_i>TT_i)=1 – F_i(TT_i) або P_i(y_i<TT_i)=F_i(TT_i) залежно від умов працездатності.

Аналітичний метод статистичного аналізу характеризується тим, що за допомогою методу моментів знаходиться апроксимація функції F_i(Y_i). Цей метод має порівняно невисоку точність і надмірну трудомісткість при великій кількості внутрішніх параметрів.

Метод Монте-Карло – один з найбільш ефективних чисельних методів статистичного аналізу, що добре враховує імовірнісну природу розсіювання випадкових значень вихідних характеристик. Математичне моделювання за цим методом повністю передає сутність та характер натурних експериментів. В практичній постановці зводиться до багатократного «розігрування» (згідно зі встановленими імовірнісними розподіленнями) випадкових значень х_i і визначенню для кожного випадкового їх набору відповідних значень y_i. Після завершення необхідного числа випробувань N_ТР статистична обробка послідовностей випадкових значень y_i дає необхідну інформацію про розподілення значень вихідних показників і параметри цього розподілення.

В результаті по кожному вихідному показнику можна отримати його номінальне значення (при нульових допусках) y_jНОМ, математичне очікування, яке за законом великих чисел може бути прийняте рівним середньому арифметичному набутих значень y_i:

.

Крім того, визначають імовірнісні межі діапазону розсіювання y_imin … y_imax, графік щільності розподілення вірогідності W_N значень y_i, що побудований на цьому діапазоні (у вигляді гістограми), вірогідність попадання цих значень в задані межі та інше. Як вихідні параметри дослідження можуть бути обрані будь-які показники об’єкту, що дають інформацію про його функціонування.

Сучасні прикладні програми для персональних комп’ютерів дозволяють моделювати випадкові величини, розподілені за теоретичними законами. Точність методу Монте-Карло багато в чому залежить від заданої кількості випробувань N. Якщо, наприклад, задати похибку оцінки математичного очікування та СКВ в межах 0,01..0,001% з довірчою вірогідністю 0,9..0,95, то буде потрібно велике число випробувань (до 10⁸). Проте в практичних задачах часто виявляються прийнятними погрішності оцінок математичного очікування і СКО в межах 10..24% з довірчою вірогідністю 0,9.0,95, що забезпечується при N = 50…200.

Кореляційний аналіз – це розділ математичної статистики, який розглядає методи вивчення взаємозалежності між досліджуваними ознаками.

Перша основна задача визначення взаємозв’язку полягає у визначенні на основі спостереження над досліджуваними змінними того, як змінювалася би функція зв’язку при зміні одного з аргументів при решті аргументів незмінних в умовах, коли реально ця решта факторів також не лишається абсолютно постійною внаслідок коливань неконтрольованих і некерованих факторів й своєю зміною впливає на досліджувану залежність, що є характерним для стохастичних процесів.

Друга задача – це визначення міри спотворюючого впливу інших факторів на залежність, що нас цікавить. Задачі пошуку кореляції завжди розв’язуються при заданій кількості ознак, яка визначається наявними засобами дослідження і його метою.

Кореляційний аналіз дає змогу визначити форму та силу зв’язку між параметрами ТО при статистичній залежності між ними, коли кожному значенню одного параметра відповідає множина значень іншого.

Регресійний аналіз (або теорія регресії) дозволяє визначити теоретичну лінію регресії, тобто здійснити вибір типу регресійної кривої і розрахунок її параметрів, якщо між параметрами існує стохастична або кореляційна залежність. Сила зв’язку цих параметрів визначається коефіцієнтом кореляції, в той час як дослідження і оцінка математичного рівняння цієї залежності становить задачу регресійного аналізу. Інколи регресійний аналіз визначають просто як кількісну оцінку зв’язку між У та Х у вигляді лінії регресії. Цей процес називається вирівнюванням емпіричної лінії регресії.

Отримане під час регресійного аналізу рівняння являтиме собою експериментально-статистичну модель досліджуваного процесу, яка дозволить здійснити оптимізацію процесу в заданому діапазоні значень аргументу Х, прогнозувати значення У в цьому діапазоні та його найближчому довкіллі.

Вибір методу побудови моделі повинен враховувати особливості системи функціональних зв’язків, характер розподілення випадкових значень х_i, а також вимоги до об’єму інформації про вихідні показники у_i. Для завдань імовірнісного аналізу електромеханічних пристроїв залежність у_j = f_j(х_i) представляється в загальному вигляді складними і нелінійними рівняннями, для яких не може бути гарантована явна вираженість і диференційованість. Вхідні параметри є, як правило, безперервними у межах поля допуску, випадковими величинами, а імовірнісні закони їх розподілення можуть бути в принципі різні. Для вихідних показників зазвичай вимагається повна статистична характеристика на основі методів, що використовуються в теорії вірогідності.

Важливо відмітити, що методи статистичного експерименту застосовні для дослідження як стохастичних, так і детермінованих систем.

 

Особливості обробки результатів ПФЕ типу 2ⁿ

з паралельними дослідами в одній точці факторного простору

Часто експериментаторові заздалегідь відома хороша відтворюваність дослідів на об’єкті дослідження, що дозволяє йому не проводити перевірку однорідності дисперсій в усіх точках факторного простору, вважаючи здійсненність цієї умови - фактором встановленим. Така апріорна інформація різко скорочує кількість дослідів, оскільки не потрібно повторювати досліди для кожного рядку матриці планування.

В цьому випадку для розрахунку помилки експерименту досить поставити декілька паралельних дослідів в одній з точок факторного простору. Зазвичай такою точкою приймають центр плану, де реалізується 3…5 дослідів, і по них розраховується згідно з формулою

; (1)

де У_0k – значення змінної стану в центрі плану; – середнє значення змінної стану в центрі плану; N₀ – кількість дослідів в центрі плану.

Крім того, з алгоритму розрахунку рівняння регресії, який наведений в «Конспекті лекцій. 1 частина» на стор. 27…29, виключаються пункти 3), 4), й розрахунок числа ступенів свободи дисперсії відтворення здійснюється за формулою . У іншому алгоритм залишається тим самим.