Деякі аспекти характеристики економіки та її структури як об’єкта моделювання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ВИКОНАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(для студентів заочної форми навчання)

 

дисципліни Оптимізаційні методи і моделі

Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво

Напрям підготовки 6.030509 Облік і аудит

 

Кременчук

2010 р.

Методичні вказівки щодо виконання самостійних занять дисципліни " Оптимізаційні методи і моделі " складені на основі галузевого стандарту підготовки бакалавра і навчального плану напряму підготовки 6.030509 «Облік і аудит»

Укладач: ________________ Коросташов В.А., викладач вищої категорії, ктн

^{(підпис)}

 

Методичні вказівки щодо проведення практичних занять обговорено і схвалено на засіданні циклової комісії загальнотехнічних дисциплін

Протокол № ______ від „___“______________2010 р.

 

Голова циклової комісії

_________ Головіна Н.П.

^{(підпис)}

„___“_____________ 2010р.

 

ПОГОДЖУЮ

Завідувач навчально-методичного кабінету

_________ _______________

^{(підпис) (П.І.Б.)}

„____“ _____________2010 р.

 

ПЕРЕВІРЕНО

Методист навчального відділу

_________ _______________

^{(підпис) (П.І.Б.)}

„____“ _____________2010 р.

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Самостійна робота студента є основним засобом оволодіння навчаль-ним матеріалом у час, вільний від обов'язкових навчальних занять. Навчальний матеріал дисципліни, передбачений робочим навчальним планом для засвоєння студентом в процесі самостійної роботи, виноситься на підсумковий контроль поряд з навчальним матеріалом, який опрацьовувався при проведенні навчальних занять.

Мета самостійної роботи - зробити дисципліну Оптимізаційні методи і моделі одним з основних інструментів дослідження економіко-соціальних систем. Економіко-математичне моделювання включає всі етапи вивчення таких систем, починаючи від виявлення мети роботи системи і кінчаючи встановленням робочих процедур приведення системи до стану оптимального функціонування; роль економіко-математичного моделювання полягає в знаходженні надійних методів розв'язування відповідних задач.

В результаті виконання самостійної роботи студен) повинен

ЗНАТИ:

- Основні класи економіко-математичних моделей, що можуть бути використані в практичній роботі з моделювання соціально-економічних систем. Методи пошуку оптимальни значень критерію оптимальності.

- Сутність оптимізаціонного моделювання та його етапи.

- Методи тестування економічної інформації.

- Методи оцінювання параметрів моделі з урахуванням особливостей конкретної економічної інформації.

- Методи оцінювання прогнозних властивостей моделі.

ВМІТИ:

- Формулювати та будувати економіко-математичні моделі. Визначати їх адекватність реальним соціально-економічним та виробничим процесам. Проводити дослідження за допомогою моделей з використанням відповідного математичного апарату.

- Ідентифікувати змінні моделі.

Визначати основні економічні характеристики взаємозв`язку та правильно їх тлумачити.

 

2 ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

№ п/п	Найменування модулів, розділів, тем	Кількість годин
	Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки
	Оптимізаційні економіко-математичні моделі
	Задача лінійного програмування та методи її розв'язування
	Теорія двоїстості та двоїсті оцінки в аналізі задач лінійного програмування.
	Цілочислове програмування
	Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
ВСЬОГО

 

3 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

ТЕМА 1 КОНЦЕПТУАЛЬНІ АСПЕКТИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІКИ

Історична довідка.

Загальні відомості про економіко-математичні моделі і моделювання.
Предмет, зміст і завдання курсу. Поняття економіко- математичної моделі.
Суть моделювання. Оригінал і модель. Фізична і математична моделі.
Класифікація економіко- математичних моделей.
Роль і місце методів моделювання в розв'язуванні проблем в умовах економічної реформи і різних організаційних форм виробництва, завдань управління народним господарством. Зв'язок дисципліни з іншими курсами економіко- математичного циклу. Загальна характеристика теоретичних основ методу моделювання. Основні етапи застосування методу. Завдання дисципліни. Порядок вивчення курсу.

Деякі аспекти характеристики економіки та її структури як об’єкта моделювання

Необхідно зауважити, що термін «економіка» в українській мові має два значення: економіка може означати як науку, так і господарську систему. Основне призначення економіки як господарської системи — забезпечення суспільства предметами споживання та послугами, котрі створюють умови для життя і безпеки людини, суспільства, країни. Економіка як економічна теорія — це суспільна наука, що вивчає аспекти прийняття рішень людьми, які намагаються задовольнити свої матеріальні бажання, використовуючи обмежені ресурси.
Слід наголосити, що економічна теорія у цілому та макро- і мікроекономіка зокрема, ґрунтується на органічному поєднанні емпіричних спостережень з моделями.
Модель — це уявний або реальний об’єкт, який у процесі свого вивчення замінює об’єкт-оригінал.
З точки зору використання моделей економічна теорія мало чим відрізняється від інших наук. Причини використання модельного підходу різноманітні, проте, мабуть, одними з найголовніших є недоступність об’єкта-оригіналу або небезпечність безпосереднього експерименту з цим об’єктом.
Оскільки економіка — це наука про людей, то експериментувати потрібно над людьми, що м’яко кажучи, не завжди морально та етично. Такі явища, як, наприклад, екологічні катастрофи тощо, краще описувати і передбачати на модельному рівні. Тому й створюються моделі катастроф, щоб вони ніколи не сталися. Економіст має справу не лише з моделями того, що вже відбулося чи відбудеться, а й того, що може не відбутися ніколи.
Зауважимо, що, спектр різновидів моделей, котрі використовують економісти, досить широкий. Модель є інструментом економічного аналізу. І чим різноманітніший інструментарій має у своєму арсеналі економіст, тим більша ймовірність отримання вірогідних результатів.
Тисячолітня історія науки свідчить, що без теорії немає науки. І економічна наука не може претендувати у цьому розумінні на якусь винятковість. Економіст «утопиться» в океані фактів і чисел, якщо не буде озброєний методами їх систематизації, оброблення, пояснення, передбачення. А це й є теорія. Теорія ж неможлива без моделей. Немає науки без теорії, а теорії немає без моделей.
Нагадаємо, що економіко-математичне моделювання разом з іншими економічними дисциплінами мають спільний об’єкт дослідження — економіку як соціально-економічну систему.
Соціально-економічна система — це складна ймовірнісна динамічна система, що охоплює процеси виробництва, обміну, розподілу й споживання матеріальних та інших благ. Соціально-економічні системи належать до класу кібернетичних, тобто керованих, систем.
Але слід зазначити, що економіко-математичні методи й моделі мають свій напрям дослідження економіки (соціально-економічних систем), свій власний предмет — передусім за все, це кількісні та логічні взаємозв’язки й закономірності поточного функціонування і розвитку соціально-економічних систем.
Центральним поняттям кібернетики є поняття «система». Єдиного означення цього поняття поки що не існує. Можливим є таке формулювання:
Системою називають комплекс взаємопов’язаних елементів разом із відношеннями (зв’язками) між цими елементами та між їхніми атрибутами, які спільно реалізують певні цілі.
Основним методом дослідження систем є метод моделювання, тобто спосіб теоретичних і практичних дій, спрямованих на створення та використання моделей. Метод моделювання ґрунтується на принципі аналогії, тобто можливостях вивчення реального об’єкта не безпосередньо, а шляхом дослідження подібного йому й більш доступного дослідженню об’єкта — його моделі.
Одним із важливих аспектів у економіко-математичному моделюванні є поняття адекватності моделі, тобто відповідності моделі модельованому об’єктові чи процесові. Адекватність моделі — дещо умовне поняття, оскільки повної відповідності моделі реальному об’єктові не може бути. Йдеться не просто про адекватність, а про відповідність тим властивостям, які вважаються суттєвими для дослідника, відповідають меті дослідження та усталеній системі гіпотез. Зазначимо, що перевірка адекватності економіко-математичних моделей є непростою. Вона обтяжена складністю вимірювання економічних величин. Але без такої перевірки застосування результатів моделювання в аналізі та управлінських рішеннях може не лише виявитися малокорисним, а й призвести до негативних наслідків.
Слід наголосити, що соціально-економічні системи належать до так званих складних систем, яким притаманна низка властивостей, котрі потрібно враховувати під час моделювання. Інакше неможливо твердити про адекватність побудованої моделі. Серед цих властивостей зазначимо, зокрема, такі:

• емерджентність як прояв у найяскравішій формі властивості цілісності системи, тобто наявність у економічної системи таких властивостей, які не є притаманними жодному з її елементів, котрий розглядається окремо, поза системою;
• динамічність економічних процесів, що полягає в зміні у часі параметрів і структури економічних систем під впливом як внутрішніх, так і зовнішніх чинників (навколишнього середовища);
• невизначеність щодо розвитку економічних явищ (процесів);
• неможливість ізолювати процеси, що здійснюються в економічних системах, від процесів у навколишньому середовищі з тим щоб спостерігати та досліджувати їх незалежно;
• активна реакція на нові чинники, що з’являються.

Використовуючи системний підхід у дослідженні економіки, вирізняють, зокрема, макро- та мікроекономічні моделі. Перші відображають функціонування та розвиток усієї економічної системи чи її великих підсистем, другі — господарських одиниць та їх об’єднань.

Економічні колізії та моделювання економіки

Нагадаємо, що ще з часів Адама Сміта точаться суперечки, виникають колізії між економічними теоріями відносно доцільності втручання держави в економічні процеси. Міра державного втручання залежить від конкретних обставин. Так, зокрема, у періоди системних трансформацій соціально-економічних процесів роль державного регулювання, на нашу думку, суттєво зростає.
Механізм ринкових відносин є ефективним у багатьох сферах економічного буття, проте є сфери, де ринок безсилий. Більше того, буквальне використання ринкової логіки може призвести до критичної ситуації. Деякі з цих сфер добре відомі як практикам, так і вченим. Так, наприклад, ринкові механізми не можуть правильно зорієнтувати в пошуках ефективних рішень у ситуаціях:

• монополії чи олігополії;
• значного розриву в часі між витратами й економічним ефектом (затримки реалізації значних за обсягом інвестицій);
• зниження додаткових витрат на виробництво продукції за спадаючих цін (ефект науково-технічного прогресу) тощо.

Головний «ворог» ринкових механізмів як механізмів організації ефективного функціонування економіки — це, звичайно, монополія.
У п. 2.2 цього розділу наведено економіко-математичну модель, яка математичною мовою описує колізії, що виникають у ситуації, коли ринкові механізми зіштовхуються з монополією.

Проблеми методології макроекономічного аналізу

Зауважимо, що розвиток сучасної макроекономічної теорії відбувається значною мірою на іншій методологічній основі порівняно з викладеною у підручниках для вищих економічних навчальних закладів теоретичною базою. Проблема полягає у значних семантичних розбіжностях між «канонічним» викладенням макроекономічних моделей і сучасним станом макроекономічного моделювання.
У сучасному макроекономічному моделюванні домінує підхід, що ґрунтується на динамічних моделях раціональної поведінки типового агента на ефективному ринку. Така поведінка формує раціональні очікування в умовах невизначеності, ризику та відсутності арбітражу. Моделювання макроекономічної поведінки у багатьох випадках уявляється як задача оптимального управління, зокрема динамічного програмування Р. Беллмана, що формулюється для детермінованих чи стохастичних процесів.
Наголосимо, що у макроекономічному моделюванні вирішальну роль відіграє адекватне формулювання якісної гіпотези, що характеризує, зокрема, межі використання певної макроекономічної моделі.
Різні макроекономічні процеси, наприклад, позики держави на вільному ринку, емісія грошей, інфляція тощо, можуть бути змодельовані випадковими процесами, що описуються стохастичними диференційними рівняннями. Однак паралельно стохастичній інтерпретації макроекономічних процесів останнім часом інтенсивно розвивається альтернативний, у певному сенсі, підхід до аналізу макроекономічної динаміки, який вбачає джерело і природу невизначеності у принциповій нелінійності економічних процесів. Виявлення множинності точок рівноваги, граничних циклів, біфуркацій і хаосу, асиметрії інформації змушує економістів по-новому аналізувати макроекономічні системи. Теорія сучасної нелінійної динаміки, наприклад методи обчислення розмірності фрактала, дає змогу обчислити для таких процесів, зокрема, автокореляцію, хоча природа таких залежностей зовсім інша, ніж стохастичних процесів.

Незважаючи на сучасний бурхливий розвиток наукового підходу — «синергетичної економіки», що спирається на суттєву нелінійність економічних процесів, багатьох науковців у науковій та навчальній літературі для спрощення обмежуються здебільшого лінійними моделями.
У математичному аспекті важливим є поняття лінійності, котре означає, що будь-яка лінійна комбінація розв’язків також буде розв’язком. Використовуючи цей принцип, можна побудувати розв’язок для більш загальної ситуації, відшукавши розв’язки в часткових випадках. Тому про якісні властивості у загальному випадку можна судити виходячи з властивостей часткових. У лінійних моделях відгук (реакція) об’єкта на зміну умов є пропорційним величині цих змін.
Для явищ, математичні моделі котрих є нелінійними, знання про поведінку частини об’єкта не гарантують знань про поведінку об’єкта в цілому, а його відгук на зміну умов може якісно залежати від кількісної величини (обсягів) цих змін. Більшість реальних процесів і відповідних (адекватних) їм математичних моделей є нелінійними. Лінійні ж моделі відповідають частковим випадкам і, як правило, послуговують лише як перше наближення до реальності. У п. 2. 2. цього розділу як приклад лінійної, моделі розглядається найпростіша модель популяцій — модель Мальтуса. Показано, що моделі популяцій відразу ж стають нелінійними, якщо враховувати обмеженість доступних популяції ресурсів.

Ризик, невизначеність та конфліктність розвитку соціально-економічних процесів

З погляду теорії систем економіку слід віднести до класу динамічних, слабоструктурованих систем великої складності. Крім того, економіка має яскраво виражену ієрархічну, багаторівневу структуру, за якої більш вищий рівень ієрархії інтегрує за певними правилами (алгоритмами) інформаційні сигнали (потоки) нижчих рівнів ієрархії та оперує інформаційними агрегатами.
Економічна кібернетика розглядає економіку, її структурні та функціональні блоки як системи, в яких відбуваються процеси регулювання й управління, що реалізуються рухом і перетворенням інформації. Наголосимо, що інформація, з одного боку, є генератором розвитку соціально-економічної системи, і водночас, з іншого — джерелом невизначеності та породженого цим ризику в економіці. Тут принципово важливим є інноваційний характер інформації, яка, за означенням, не може бути повністю передбачуваною.
Невизначеність — це те, що не піддається однозначній оцінці. Наголосимо, що економічний ризик породжується невизначеністю (невідомістю, недостовірністю, неоднозначністю), конфліктністю, наявністю альтернатив щодо рішень, планів, проектів і внутрішньо притаманний економіці та бізнесу.
У низці випадків з огляду на обрані цілі доводиться приймати рішення на підставі побудови системи гіпотез, зокрема, через відсутність вичерпної, достовірної інформації. А це призводить до ризику відхилення від цілей, недоотримання очікуваних результатів, можливих збитків, які можуть виникнути через недостатню обґрунтованість (помилковість, неадекватність) тих чи інших гіпотез (припущень).
Ступінь ризику залежить також і від ставлення суб’єкта прийняття рішень (управлінської команди) до нього: схильності, несхильності, байдужості. Тому всі чинники невизначеності, конфліктності та зумовленого ними ризику розділяють на об’єктивні та суб’єктивні.
Отже, можна дати таке означення економічного ризику, що базується на принципах системного аналізу.
Ризик, яким обтяжена економічна діяльність, — це економічна категорія, що відбиває особливості сприйняття заінтересованими суб’єктами економічних відносин об’єктивно існуючих невизначеності та конфліктності, іманентних процесам цілепокладання, управління, прийняття рішень, оцінювання.
Існує ціла система показників кількісної оцінки ступеня ризику. Але від жодного кількісного показника (кількісної оцінки) ступеня ризику не слід очікувати, що він показуватиме адекватні результати за будь-яких обставин. Тобто встановлення певного єдиного показника, як кількісної міри (ступеня) ризику, є спробою подолати невизначеність, характеризуючи випадкову величину (ефективність, збитки) одним числом. На нашу думку, кількісна оцінка ризику є багатовимірною величиною (вектором), компоненти якої відбивають різні грані ризику й формуються залежно від мети дослідження, прийнятої системи гіпотез, суб’єктивного чинника, що характеризує ставлення суб’єкта ризику до невизначеності та ризику, тощо.

ТЕМА 2.ОПТИМІЗАЦІЙНІ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ. КЛАСИФІКАЦІЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ.

Місце математичного програмування в розв'язуванні задач дослідження операцій. Основна задача ЛП. Загальні відомості про лінійне програмування
Загальна задача лінійного програмування.
Основна задача лінійного програмування. Основні поняття.
Економічна постановка задачі лінійного програмування.
Математичне формулювання задачі лінійного програмування.
Математична модель — це абстракція реальної дійсності (світу), в якій відношення між реальними елементами, а саме ті, що цікавлять дослідника, замінені відношеннями між математичними категоріями. Ці відношення зазвичай подаються у формі рівнянь і/чи нерівностей, відношеннями формальної логіки між показниками (змінними), які характеризують функціонування реальної системи, що моделюється.
Сутність методології математичного моделювання полягає в заміні досліджуваного об’єкта його «образом» — математичною моделлю — і подальшим вивченням (дослідженням) моделі на підставі аналітичних методів та обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються за допомогою комп’ютерних програм. Робота не із самим об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість відносно швидко і безболісно досліджувати його основні (суттєві) властивості та поведінку за будь-яких імовірних ситуацій (це переваги теорії). Водночас обчислювальні (комп’ютерні, симулятивні, імітаційні) експерименти з моделями об’єктів дозволяють ретельно та досить глибоко вивчати об’єкт, що недоступно суто теоретичним підходам (це перевага експерименту).
Вже сама постановка питання щодо математичного моделювання будь-якого об’єкта породжує чіткий план дій, який умовно можна поділити на три етапи: модель — алгоритм — програма (рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1. Узагальнена схема математичного моделювання

На першому етапі обирається (чи будується) «еквівалент» об’єкта, що відображає в математичній формі найважливіші (ключові) його властивості — закони, яким він підпорядковується, зв’язки, що притаманні складовим його частинам, тощо. Математична модель (чи її фрагменти) досліджуються теоретичними методами, що дає змогу отримати важливі (концептуального характеру) нові знання про об’єкт.
Другий етап — вибір (чи розроблення) алгоритму для реалізації моделі на комп’ютері. Модель подається у формі, зручній для застосування числових методів, визначається послідовність обчислювальних і логічних операцій, котрі необхідно здійснити, щоб отримати шукані величини із заданою точністю.
На третьому етапі створюються програми, що «переносять» модель і алгоритм на доступну комп’ютерну мову. Їх можна назвати «електронним» еквівалентом досліджуваного об’єкта, що є придатним для безпосереднього експериментування на комп’ютері.
Створивши тріаду: «модель — алгоритм — програма», дослідник (системний аналітик) отримує універсальний, гнучкий і відносно дешевий інструмент, який тестується в «пробних» обчислювальних експериментах. Після того як адекватність (достатній рівень відповідності, зважаючи на цілі та прийняту систему гіпотез) тріади щодо досліджуваного об’єкта засвідчена, з моделлю проводять різноманітні та детальні «досліди», які дають нову інформацію про необхідні якісні та кількісні властивості й характеристики об’єкта. Процес моделювання супроводжується поліпшенням та уточненням, за необхідності, всіх складових (ланок) тріади.

Особливості, принципи математичного моделювання

Головна особливість моделювання полягає у тому, що це метод опосередкованого пізнання за допомогою об’єктів-заміщувачів. Саме ця особливість моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій і методів пізнання.
Сформулюємо принципи, які визначають ті загальні вимоги, яким повинна задовольняти правильно побудована математична модель деякого об’єкта (системи).
Принцип 1. Полярність діалектичної пари «модель — об’єкт». Ця діалектична пара завжди полярна, має два полюси — «модель» і «об’єкт».
Принцип 2. Первинність об’єкта. З двох взаємно пов’язаних полюсів діалектичної пари «модель — (об’єкт) один із них — (об’єкт) є первинним, інший (модель) — похідним від нього.
Принцип 3. Зумовленість моделі об’єктом. Наявність полюсу «модель» зумовлює необхідність наявності полюсу «об’єкт».
Принцип 4. Множинність моделей щодо об’єкта дослідження. Як «модель» для об’єкта, так і «об’єкт» для даної «моделі» семантично та інтерпретаційно багатозначні: «об’єкт» описується не однією, а багатьма «моделями», «модель» віддзеркалює властивості не одного, а багатьох «об’єктів».
Принцип 5. Адекватність. Цей принцип передбачає відповідність моделі меті дослідження, прийнятій системі гіпотез за рівнем складності й організації, а також відповідність реальній системі (об’єкту). Доки не вирішено питання, чи правильно відображає модель досліджувану систему (об’єкт), цінність моделі незначна.
Принцип 6. Спрощення за умови збереження суттєвих (ключових) властивостей об’єкта (системи). Модель повинна бути в деяких аспектах суттєво простішою від прототипу — в цьому власне й полягає сенс моделювання, тобто модель ігнорує несуттєві властивості об’єкта. Цей принцип може бути названий принципом абстрагування від другорядних деталей.
Практичні рекомендації щодо зменшення складності моделі:

• зменшення кількості змінних за допомогою виключення несуттєвих змінних або їх об’єднання. Процес перетворення (редукції) моделі в модель з меншою кількістю змінних і обмежень називають агрегуванням;
• зміна природи змінних величин й параметрів. Змінні величини й параметри наближено розглядаються як постійні, дискретні — як неперервні тощо;
• зміна функціональної залежності між змінними. Нелінійна залежність замінюється зазвичай лінійною, дискретна функція розподілу ймовірностей — неперервною тощо;
• зміна обмежень (збільшення, виключення чи модифікація). Після зняття обмежень одержуємо оптимістичне рішення, після введення — песимістичне. Варіюючи обмеженнями, можна знайти можливі граничні значення ефекту чи ефективності. Такий спосіб часто застосовують для знаходження попередніх оцінок ефективності рішень на етапі постановки задач;
• обмеження точності моделі. Точність результатів моделі не може бути вищою за точність вхідних даних.

Принцип 7. Блочна побудова. За дотримання цього принципу блочної побудови полегшується розроблення складних моделей і з’являється можливість використання накопиченого досвіду та адаптації готових блоків із мінімально необхідними зв’язками між ними. Виокремлення блоків відбувається з урахуванням розподілення моделі за етапами й режимами функціонування об’єкта (системи).
Складні об’єкти (системи) потребують розроблення цілої ієрархії моделей. Виокремлюють такі рівні, як вся система, підсистеми, підсистеми керування тощо.
Існують різні форми зображення математичної моделі. Найтиповіші групи їх різновидів — інваріантна, алгоритмічна, аналітична, схемна.
Наголосимо, що використання математичних методів в економічному аналізі жодною мірою не зводиться до підбору прийнятих формул, підстановки в них певних чисел та певного чаклування, в результаті чого виходить «відповідь».
Нагадаємо рекомендації відомого американського вченого Р. Хемінга: «Мета обчислень — розуміння, а не числа»; «перш ніж розв’язувати задачу, подумай, що робити з її розв’язком».

Основні дефініції економіко-математичного моделювання

Якщо йдеться про математичну модель, що описує механізм функціонування певної гіпотетичної економічної чи соціально-економічної системи, то таку модель називають економіко-математичною чи просто економічною.
Під економіко-математичною моделлю розуміють концентроване вираження найсуттєвіших економічних взаємозв’язків досліджуваних об’єктів (процесів) у вигляді математичних функцій, нерівностей і рівнянь.
Математична модель — це об’єкт, котрий створюється системним аналітиком для отримання нових знань про об’єкт-оригінал і відбиває лише суттєві (з погляду системного аналітика) властивості об’єкта-оригіналу.
Модель вважається адекватною об’єкту-оригіналу, якщо вона з достатнім ступенем наближення, на рівні розуміння системним аналітиком модельованого процесу відбиває закономірності процесу функціонування реальної економічної системи у зовнішньому середовищі.
Як було зазначено, під моделюванням розуміють процес побудови, вивчення й використання моделей.
Процес моделювання включає три системотвірних елементи:

• суб’єкт дослідження (системний аналітик);
• об’єкт дослідження;
• модель, яка опосередковує відносини між об’єктом, який вивчається, та суб’єктом, який пізнає (системним аналітиком).

У загальних рисах можна виокремити чотири основні етапи процесу математичного моделювання економічних систем і подати їх за такою узагальненою схемою (рис. 2.1.2).

 

 

Рис. 2.1.2.Узагальнена схема процесу
економіко-математичного моделювання.

Головним гальмом для практичного застосування математичного моделювання в економіці є проблема наповнення розроблених моделей конкретною та якісною інформацією. Точність і повнота первинної інформації, реальні можливості її збору й опрацювання справляють визначальний вплив на вибір типів прикладних моделей. З іншого боку, завдання моделювання економіки висувають нові вимоги до системи інформації.
Залежно від модельованих об’єктів і призначення моделей використовувана в них вхідна інформація має суттєво відмінний характер і походження. Вона може бути розподіленою на дві категорії: щодо минулого розвитку та сучасного стану об’єктів (економічне спостереження й опрацювання); про майбутній розвиток об’єктів, яка включає дані про очікувані зміни, внутрішні параметри та зовнішні умови (прогнози). Інша категорія інформації є результатом самостійних досліджень, які також можуть проводитися за допомогою моделювання.
Методи економічних спостережень і використання їхніх результатів розробляються економічною статистикою. З огляду на це варто визначити лише специфічні проблеми економічних спостережень, які стосуються моделювання економічних процесів. В економіці чимало процесів є масовими: вони характеризуються закономірностями, що не проявляються на підставі лише одного чи кількох спостережень. Тому моделювання в економіці має спиратися на масові спостереження.
Інша проблема породжується динамічністю економічних процесів, мінливістю їхніх параметрів і структурних відношень. Унаслідок цього доводиться постійно вивчати економічні процеси, здійснювати їх моніторинг. Оскільки спостереження за цими процесами й опрацювання емпіричних даних зазвичай забирають досить багато часу, то, будуючи економіко-математичні моделі, необхідно коригувати вхідну інформацію з урахуванням її надходження із деяким запізненням у часі.
Дослідження кількісних відношень економічних процесів і явищ спирається на економічні виміри. Точність проведення вимірювань значною мірою впливає на точність кінцевих результатів кількісного аналізу. Тому застосування математичного моделювання загострило проблему вимірювання та кількісного зіставлення різних аспектів і явищ соціально-економічного розвитку та повноти одержуваних даних, захисту їх від навмисних і технічних викривлень (деформації).

Етапи економіко-математичного моделювання

В різних галузях знань, зокрема в економіці, етапи моделювання набувають специфічних рис. Проаналізуймо послідовність і зміст етапів одного циклу економіко-математичного моделювання.
1. Постановка економічної проблеми та розроблення концептуальної моделі. Головне на цьому етапі — чітко сформулювати сутність проблеми (цілі дослідження), припущення, що приймаються, і ті питання, на які необхідно одержати відповіді. З урахуванням цілей дослідження проводиться якісний аналіз об’єкта; виокремлюються, абстрагуючись від другорядних, найважливіші риси і властивості об’єкта, що моделюється. З позиції системного підходу вивчаються структура об’єкта й головні взаємозв’язки між його елементами (підсистемами). Обираються та обґрунтовуються основні показники й система гіпотез, що пояснюють поведінку та розвиток об’єкта і на основі яких буде відбуватись подальша формалізація.
На цьому етапі моделювання широко застосовуються якісні методи описання систем, знакові та мовні моделі. Таке попереднє, наближене зображення системи називають концептуальною моделлю.
2. Розроблення математичних моделей. Це етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відношень (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). На цьому етапі проводиться теоретичне (аналітичне) дослідження моделі, обираються методи дослідження й розв’язку.
Метою теоретичного (аналітичного) дослідження є з’ясування загальних властивостей моделі. Найважливіший момент — доведення існування розв’язку для моделі. Знання загальних властивостей моделі настільки важливе, що часто задля доведення подібних властивостей дослідники свідомо йдуть на ідеалізацію первинної моделі. У тому разі, коли аналітичними методами не вдається з’ясувати загальні властивості моделі, а спрощення моделі спричиняється до недопустимих (неадекватних) результатів, переходять до числових методів дослідження.
3. Реалізація моделі у вигляді ППП та проведення розрахунків. Цей етап включає розробку алгоритмів для числового розв’язування задачі, складання програм на ЕОМ (можливе використання існуючих ППП з відповідною адаптацією) і безпосереднє проведення розрахунків. Труднощі цього етапу зумовлені передусім великою розмірністю економічних задач, необхідністю опрацювання значних масивів інформації. Завдяки високій швидкодії сучасних ЕОМ вдається проводити числові «модельні» експерименти, вивчаючи «поведінку» моделі за різних значень деяких умов. Дослідження, що проводяться за допомогою числових методів, можуть стати суттєвим доповненням до результатів аналітичного дослідження. Клас економічних задач, які можна розв’язувати числовими методами, значно ширший, ніж клас задач, доступних аналітичному дослідженню.
4. Перевірка адекватності моделі. Вимога адекватності є суперечною вимозі простоти, і це слід враховувати, перевіряючи модель на адекватність. Початковий варіант моделі попередньо перевіряється за такими основними аспектами: чи всі суттєві параметри включені в модель; чи містить модель несуттєві параметри; чи правильно відображені функціональні зв’язки між параметрами; чи правильно визначені обмеження на значення параметрів тощо.
Для встановлення відповідності створюваної моделі оригіналу використовують такі методи:
порівняння результатів моделювання з окремими експериментальними результатами, одержаними за однакових (подібних) умов;
використання інших схожих моделей;
порівняння структури і функціонування моделі з прототипом.
Головним шляхом перевірки адекватності моделі досліджуваного об’єкта виступає практика. Але вона потребує накопичення статистики, котра не завжди буває достатньою для отримання надійних даних. Для багатьох моделей перші два методи виявляються менш прийнятними. Тоді залишається лише один шлях: висновок про подібність моделі та прототипу робити на підставі порівняння їхніх структур і виконуваних функцій. Такі висновки не мають формального характеру, оскільки ґрунтуються на досвіді та інтуїції дослідника.
Згідно з результатами перевірки моделі на адекватність приймається рішення про можливість її практичного використання чи проведення коригування.
5. Аналіз числових результатів та прийняття відповідних рішень. Результати досліджень подаються у вигляді, зручному для огляду, і на основі обробки отриманих результатів проводиться аналіз матеріалів дослідження моделі. На цьому, завершальному, етапі виникає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про можливість практичного застосування останніх, і, найголовніше, про досягнення цілей дослідження.
Звернімо увагу на зворотні зв’язки етапів, які виникають унаслідок того, що в процесі дослідження виявляються недоліки попередніх етапів моделювання. Недоліки, які не вдається виправити на проміжних етапах моделювання, усуваються в наступних циклах. Але результати кожного циклу мають і цілком самостійне значення. Розпочавши дослідження від побудови простої моделі, можна швидко одержати корисні результати, а потім перейти до створення досконалішої моделі.

Для класифікації економіко-математичних моделей використовують різні класифікаційні ознаки.
За цільовим призначенням економіко-математичні моделі поділяються на теоретико-аналітичні, що використовуються під час дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів, і прикладні, що застосовуються у розв’язанні конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління).
Відповідно до загальної класифікації математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, а також проміжні форми (структурно-функціональні). Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’язків. Прикладом функціональної моделі може слугувати модель поведінки споживачів в умовах товарно-грошових відносин.
Моделі поділяють на дескриптивні та нормативні. Прикладом дескриптивних моделей є виробничі функції та функції купівельного попиту, побудовані на підставі опрацювання статистичних даних. Типовим прикладом нормативних моделей є моделі оптимального (раціонального) планування, що формалізують у той чи інший спосіб цілі економічного розвитку, можливості і засоби їх досягнення.
За характером відображення причинно-наслідкових аспектів розрізняють моделі жорстко детерміновані і моделі, що враховують випадковість і невизначеність.
За способами відображення чинника часу економіко-математичні моделі поділяються на статичні й динамічні.
Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних залежностей. Важливо виокремити клас лінійних моделей, що набули значного поширення завдяки зручності їх використання. Відмінності між лінійними і нелінійними моделями є суттєвими не лише з математичного погляду, а й у теоретико-економічному плані, адже багато залежностей в економіці мають принципово нелінійний характер.
За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які включаються в модель, вони поділяються на відкриті і закриті. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна містити хоча б одну ендогенну змінну. Повністю закриті економіко-математичні моделі, тобто такі, що не містять екзогенних змінних, надзвичайно рідкісні. Переважна більшість економіко-математичних моделей посідає проміжну позицію і розрізняється за ступенем відкритості (закритості).
Класифікація видів математичних моделей може проводитися й за такими ознаками: аналітичне та комп’ютерне моделювання (рис. 2.1.3).

Рис. 2.1.3. Аналітичне та комп’ютерне моделювання

Для аналітичного моделювання характерним є те, що процеси функціонування елементів системи записують у вигляді деяких математичних співвідношень (алгебраїчних, інтегро-диференційних, кінцево-різницевих тощо) чи логічних умов.
Комп’ютерне моделювання характеризується тим, що математична модель системи (використовуючи основні співвідношення аналітичного моделювання) подається у вигляді деякого алгоритму та програми, придатної для її реалізації на комп’ютері, що дає змогу проводити з нею обчислювальні експерименти. Залежно від математичного інструментарію (апарату), що використовується в побудові моделі, та способу організації обчислювальних експериментів можна виокремити три взаємопов’язані види моделювання: чисельне, алгоритмічне (імітаційне) та статистичне.
У чисельному моделюванні для побудови комп’ютерної моделі використовуються методи обчислювальної математики, а обчислювальний експеримент полягає в чисельному розв’язанні деяких математичних рівнянь за заданих значень параметрів і початкових умов.
Алгоритмічне (імітаційне) моделювання (може бути детермінованим та стохастичним) — це вид комп’ютерного моделювання, для якого характерним є відтворення на комп’ютері (імітація) процесу функціонування досліджуваної складної системи.
Статистичне моделювання — це вид комп’ютерного моделювання, який дозволяє отримати статистичні дані відносно процесів у модельованій системі.

Можна виокремити щонайменше чотири аспекти застосування математичних методів і моделей у вирішенні практичних проблем.
1. Удосконалення системи економічної інформації. Математичні методи й моделі дають змогу упорядковувати економічну інформацію, виявляти недоліки в наявній інформації та розробляти вимоги до підготовки нової інформації чи її коригування. Розроблення і застосування економіко-математичних моделей вказують шляхи вдосконалення системи економічної інформації, орієнтованої на вирішення певних завдань планування та управління.
2. Інтенсифікація і підвищення точності економічних розрахунків. Формалізація економічних задач і застосування комп’ютерів значно прискорюють типові, масові розрахунки, підвищують точність і скорочують трудомісткість, дають змогу проводити багатоваріантні економічні дослідження та обґрунтування складних заходів, недосяжні за панування «ручної» технології.
3. Поглиблення кількісного аналізу економічних проблем. Завдяки застосуванню економіко-математичного моделювання створюються нові можливості економічного аналізу; вивчення чинників, які впливають на економічні процеси; кількісного оцінювання наслідків змін умов розвитку економічних об’єктів тощо.
4. Розв’язання принципово нових економічних задач. За допомогою математичного моделювання вдається розв’язувати економічні задачі, які в інший спосіб розв’язати практично неможливо, наприклад, відшукання оптимального варіанта народногосподарського плану, імітація народногосподарських заходів, автоматизація контролю за функціонуванням складних економічних об’єктів.
Сфера практичного застосування економіко-математичного моделювання обмежується можливостями та ефективністю формалізації економічних проблем і ситуацій, а також станом інформаційного, математичного, технічного забезпечення використовуваних моделей. Намагання будь-якою ціною застосувати математичну модель може не дати очікуваних результатів через відсутність необхідних умов.

ТЕМА 3ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ТА МЕТОДИ ЇЇ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

Класифікація задач математичного програмування. Багатокритеріальна оптимізація.

Приклади економічних задач математичного програмування. Основні властивості розв'язків задачі лінійного програмування. Розв'язування задач графічним методом. Алгоритм розв'язування задачі лінійного програмування.

Загальна задача лінійного програмування та методи її розв`язування.

В загальному вигляді математична модель задачі лінійного програмування (ЗЛП) подається у вигляді:

Знайти максимум (мінімум) цільової функції

(3.1)

за умов

(3.2)

(3.3)

Потрібно знайти значення змінних , які задовольняють умовам (2) і (3), тоді як цільова функція набуває екстремального значення.

Форми запису ЗЛП

Задачу (1) – (3) зручно записати у вигляді:

(3.4)

За умов

(i=1,…m), X_j (j=1,2,…,n) (3.5)

Або у векторно-матричному вигляді

(3.6)

За умов , де А- матриця коефіцієнтів при змінних; Х – вектор змінних; В – вектор вільних членів.

Геометрична інтерпретація ЗЛП

Рішення задачі здійснемо за таким алгоритмом.

1. Будуємо прямі лінії, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі (5) знаків нерівностей на знаки рівностей.

2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо многокутник розв`язків задачі ЛП.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значень цільової функції

5. Будуємо пряму , перпендикулярну до вектора

6. Переміщуючи пряму в напрямі вектора (для задач максимізації) або в протилежному напрямі (для задач мінімізації), знаходимо вершину многокутника розв`язків, де цільова цільова функція досягає екстремального значення.

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція досягає екстремального значення.

Розглянемо рішення ЗЛП графічним методом на такому прикладі:

Нехай фермер прийняв рішення вирощувати озиму пшеницю і цукрові буряки на площі 20 га, відвівши під цукрові буряки не менше як 5 га. Техніко-економічні показники вирощування цих культур маємо у табл. 2:

 

Таблиця 2 Показники вирощування сільськогосподарських культур

Показник (із розрахунку на 1 га)	Озима пшениця	Цукрові буряки	Наявний ресурс
Затрати праці, людино-днів
Затрати праці механізаторів, людино-днів
Урожайність, тонн	3,5		—
Прибуток, тис. грн.	0,7		—

 

Критерієм оптимальності є максимізація прибутку.

Запишемо економіко-математичну модель структури виробництва озимої пшениці та цукрових буряків, ввівши такі позначення:

x₁ — шукана площа посіву озимої пшениці, га;

x₂— шукана площа посіву цукрових буряків, га.

Задача лінійного програмування має такий вигляд:

 

(3.7)

 

за умов:

 

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

 

Геометричну інтерпретацію задачі зображено на рис. 1

Рис. 1 Область допустимих розв'язків задачі

Область допустимих розв'язків цієї задачі дістаємо так. Кожне обмеження, наприклад задає півплощину з граничною прямою . Будуємо її і визначаємо півплощину, яка описується нерівністю .З цією метою в нерівність підставляємо координати характерної точки, скажімо, і . Переконуємося, що ця точка належить півплощині . Цей факт на рис. 2.2 ілюструємо відповідною напрямленою стрілкою. Аналогічно будуємо півплощини, які відповідають нерівностям (39)—(43). У результаті перетину цих півплощин утворюється область допустимих розв'язків задачі (на рис. 2.2 — чотирикутник ABCD). Цільова функція Z = 0,7x₁+х₂ являє собою сім'ю паралельних прямих, кожна з яких відповідає певному значенню Z. Зокрема, якщо Z=0, то маємо Z = 0,7x₁+х₂=0. Ця пряма проходить через початок системи координат. Коли Z= 3,5, то маємо пряму 0,7x₁+х₂=3,5.

 

Завдання для самостійної роботи

Графічним методом визначити оптимальні плани задач лінійного програмування

 

Задача 1 Задача 2

 

Задача 3 Задача 4

 

Задача 5 Задача 6

 

Задача 7 Задача 8

 

Задача 9 Задача 10

 

Задача 11 Задача 12

 

Задача 13 Задача 14

 

Задача 15 Задача 16

 

Задача 17 Задача18

 

Задача 19 Задача 20

Задача 21 Задача 22

Задача 23 Задача 24

Задача 25 Задача 26

 

Задача 27 Задача 28

 

Задача 29 Задача30

 

Навчальні завдання розв`язування задач ЛП в середовищі електронних таблиць Excel

Підготовку вхідної інформації та розв`язання задачі в середовищі електронних таблиць можна поділити на шість основних етапів.

1. Задання таблиці вхідної інформації.

2. Задання діапазону комірок для незалежних змінних.

3. Задання комірок і формул для обмежень.

4. Задання комірки і формули для цільової функції.

5. Робота в діалоговому вікні "Поиск решения".

6. Аналіз розв`язку задачі.

 

Розв'язок задач лінійного програмування. Задача складання сумішей (раціону) та її розв`язок з використанням табличного процесору Excel.

Задача:

Їдальня готує дієтичний салат, використовуючи для цього варений буряк, моркву і квашену капусту. Салат повинен містити не менш 710 одиниць речовини А, не менш 73 одиниці речовини В, не менш 3550 одиниць речовини С. Дані про вміст цих речовин в продуктах наведені в таблиці. Визначити складові частини салату при загальній мінімальній вартості

Харчові речовини	Вміст речовин (г) у 1 кг овочів	Норми споживання речовин (т)
буряк	морква	капуста
А
В	0,3	0,4	0,2
С
Вартість овочів (грн)	0,4	0,5	0,4

 

Порядок виконання роботи:

1. Створити новий документ Excel.

2. Завантажити табличний процесор Excel і скопіювати до комірок ЕТ таблицю із вихідними даними.

3. Під таблицею увести до відповідних комірок наступну інформацію:

 

 

4. До комірки А11 занести формулу цільової функції із використанням вбудованої функції Excel СУММПРОИЗВ().

Інструкції:

а) необхідно клацнути у комірці А11 і вибрати пункт меню Вставка\Функция та у вікні майстра функцій вибрати категорію функцій Математические та функцію СУММПРОИЗВ:

 

 

б) далі у діалоговому вікні функції СУММПРОИЗВ () у рядку Массив 1 увести адресу блоку комірок із значеннями змінних (B9: D9) і натиснути клавішу Enter потім у рядку Массив2 виділити блок комірок із значенням вартості овочів(B6: D6) після цього у комірці А11 з'явиться результат попереднього розрахунку – 0

 

в) потім у комірку А12 уводиться назва Обмеження, а у комірку В12 текст Значення г) далі у комірки - А13: А15 уводяться формули обмеженнь (з використанням функції СУММПРОИЗВ(), а у комірки В13: В15 - їх значення.

5. Викликати програму Поиск решения і розв'язати задачу.

 

ТЕМА 4 ТЕОРІЯ ДВОЇСТОСТІ ТА ДВОЇСТІ ОЦІНКИ В АНАЛІЗІ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування. Після оптимізаційний аналіз задач лінійного програмування. Аналіз діапазону зміни коефіцієнтів цільової функції. Параметричне програмування. Параметричні зміни вектора обмежень.

Пряма задача. Знайти максимум (мінімум) цільової функції

(1)

за умов

(2)

(3)

Потрібно знайти значення змінних , які задовольняють умовам (2) і (3), тоді як цільова функція набуває екстремального значення.

Форми запису ЗЛП

Задачу (1) – (3) зручно записати у вигляді:

За умов

(i=1,…m), X_j (j=1,2,…,n)

Або у векторно-матричному вигляді

За умов , де А- матриця коефіцієнтів при змінних; Х – вектор змінних; В – вектор вільних членів.

Розглянемо тепер цю саму задачу з іншого погляду. Допустемо, що за певних умов доцільно продавати деяку частину або всі наявні ресурси. Необхідно визначити ціни ресурсів.

 

Тема 5 Цілочислове програмування. Загальна характеристика цілочисельних задач і методів їх розв'язування. Нерівності Гоморі. Метод Гоморі.

Постановка завдання.
Підприємство має запаси 4-х видів ресурсів (борошно, жири, цукор, фінанси), з яких виробляється 2 види продуктів (хліб і батон). Відомі:

норми витрат ресурсів на виробництво одиниці продукції;
• запаси ресурсів;
• ціни продуктів;
• попит на хліб.
Знайти оптимальний план виробництва, при якому дохід від реалізації виробленої продукції повинен бути максимальний.
Економіко-математична модель.
• Знайти план (кількість хліба і батонів) такий, щоб
• Дохід = 0,99 * Хліб +1,21 * Батон - мах
• При обмеженнях:
0,6 * Хліб +0,5 * Батон <= 120
0,05 * Хліб +0,08 * Батон <= 70
0,2 * Хліб +0,6 * Батон <= 65
0,2 * Хліб +0,24 * Батон <= 50
120 <= Хліб <= 150, а також Батон> = 0
Реалізація в Excel.
Створюємо таблицю з формулами, які пов'язують план, обмеження та цільову функцію (Прибуток):