Області практичного використання МАІ

МАІ дозволяє:

- групі людей взаємодіяти з проблеми, що цікавлять їх;

- групі людей модифікувати свої думки;

- розглядати проблеми конфліктів в групі людей, що мають загальні цілі.

МАІ призначений для фахівців, що займаються розробкою методів ухвалення рішень і експертних систем, а також для осіб, що ухвалюють управлінські рішення. Серед них можуть бути працівники управління, економісти, фінансисти, соціологи, політики, консультанти, оцінювачі, працівники охорони здоров'я, військові, психологи, працівники соціальної сфери, науковці і т.д.

За свідченням Т. Сааті метод успішно застосовувався при переговорах про вільну торгівлю між Канадою і США, а також для вирішення конфліктів на півдні Африки і в Пенджабі [.].

Нижче приведені приклади вирішуваних з допомогою МАІ типових завдань.

1. Рейтинг клієнтів (який з клієнтів частіше купує мої товари? хто з потенційних клієнтів є найбільш перспективним?).

2. Аналіз ризиків (наприклад: вкладення в якому з проектів, що розглядаються керівництвом банку, найменш ризиковані?).

3. Розподіл ресурсів.

Приклад. Керівництво заводу розглядає перспективні проекти розвитку. Для них створюється модель рейтингування. У результаті кожному проекту приписується частка від одиниці. Ці долі показують, який відсоток від наявних ресурсів (сировини, грошей і т.п.) треба вкласти в кожен проект.

4. Планування від досягнутого.

Приклад. Виходячи з наявних: основних фондів, кадрів, сировини, інфраструктури, партнерів, конкурентів, кон'юнктуру, впливи держави, наявної фінансової підтримки складається рейтинг можливих положень підприємства через рік, якщо все залишиться "як зараз": банкрутство, бум основного виробництва, перепрофілювання, збільшення експорту, захоплення або втрата ринків і т.п. Коли рейтинг відомий, вживаються заходи по підтримці позитивних тенденцій і придушенню негативних тенденцій.

5. Планування бажаного майбутнього.

Приклад. Рейтинг найбільш перспективних сценаріїв розвитку регіону відомий. Керівництвом складається рейтинг дій, які треба здійснити, щоб найбільш перспективні сценарії здійснилися.

6. Комбіноване планування для визначення пріоритетів діяльності, що дозволяє зближувати результати планування від досягнутого і планування бажаного майбутнього.

7. Вибір оптимальної стратегії. Це може бути комплекс завдань по плануванню, аналізу ризиків, розподілу ресурсів і т.д.

8. Аналіз "ефективність - вартість".

Приклад. При дослідженні можливостей розробки корисних копалин регіону одержані рейтинги: а) по головному критерію "ефективність (висока) здобичі": вугілля - 0,45; залізняк - 0,3; фосфорити - 0,15; вапняк - 0,1; б) по головному критерію "вартість (низька) здобичі": фосфорити - 0,5; залізняк - 0,3; вапняк - 0,1; вугілля - 0,1. Тоді, знаходячи відносини відносної оцінки ефективності до вартості, виходить рейтинг по критерію "ефективність-вартість": вугілля - 4,5; залізняк - 1; вапняк - 1; фосфорити - 0,3. Ухвалюється рішення розробляти вугілля і руду і не розробляти вапняк і фосфорити.

9. Ухвалення кадрових рішень.

Приклад. Складається рейтинг співробітників фірми по критерію "корисність за останній місяць". Критерій складається з чинників: компетентність, комунікабельність, участь в проектах, що принесли прибуток, і т.п. Лідери рейтингу заохочуються.

10. Вирішення конфліктів.

Приклад. Члени керівництва корпорації по-різному оцінюють ситуацію, схиляються до реалізації різних проектів і не можуть домовитися. Директор не хоче ухвалювати авторитарного рішення. З урахуванням специфіки діяльності корпорації складається (можливо, загальними зусиллями) рейтинг проектів, за яким вибирається проект, що влаштовує всіх. (При складанні рейтингу в даному випадку особливо важливо те, що відбувається обмін думками, свого роду ділова гра і суперечка переходять в конструктивне русло.)

11. Пошук істотних чинників. Рейтинг складено. Відкидаються деякі чинники. Якщо рейтинг у принципі не змінився, то відкинуті чинники неістотні. Завдання визначення істотних чинників особливо актуальне при рішенні масштабних проблем і проблем стратегічного планування.

12. Діагностика можливих сценаріїв розвитку ситуації.

13. Побудова залежностей.

Приклад. Складаємо прогнози рейтингу цінних паперів на початок кожного з наступних двадцяти тижнів. Тоді для кожного виду цінних паперів можна намалювати графік прогнозованих змін його рейтингу щодо інших паперів по двадцяти позиціях. По графіку визначаємо тенденцію: зростання, падіння, коливання, коли зростання і коли падіння. Потім ухвалюємо рішення про стиль гри в даному секторі ринку акцій.

Можна привести і багато інших прикладів завдань, для вирішення яких успішно застосовуються методи підтримки ухвалення рішень на основі рейтінгованія альтернатив. Численні посилання на успішне застосування МАІ при рішенні різноманітних задач можна знайти в спеціальній літературі і в мережі Internet [.].

 

 

Ієрархії

 

В процесі управлінської діяльності людина оперує з моделями фактичних ситуацій, що вимагають рішення. При цьому ступінь визначеності, вивченості ситуації безпосередньо відображається на структурованості (подробиці) моделі, а саме: певнішої ситуації повинна відповідати більш структурована модель.

Про модель ми говоритимемо з позицій системного аналізу, тобто методології рішення проблем, заснованої на концепції систем.

Сукупність яких-небудь елементів є системою, якщо [.]:

1) задані зв'язки, що існують між цими елементами;

2) кожний з елементів усередині системи вважається нероздільним;

3) з світом поза системою система взаємодіє як ціле;

4) при еволюції в часі між елементами сукупності зберігається однозначна відповідність.

Таким чином, будь-яка система характеризується [.]: (1) цілісністю; (2) відносною відособленістю від навколишнього середовища (межами); (3) зв'язками із зовнішнім середовищем; (4) наявністю частин (елементів) і зв'язків між ними (структурованістю); (5) підлеглістю всієї організації системи деякій меті (або сукупності цілей).

Стикаючись з безліччю контрольованих або неконтрольованих елементів, що відображають складну ситуацію, людський розум, створюючи модель, об'єднує елементи в групи відповідно до розподілу деяких властивостей між елементами. Модель дозволяє повторювати даний процес таким чином, що групи, або точніше визначальні їх загальні властивості, розглядаються як елементи наступного рівня системи. Ці елементи в свою чергу можуть бути згруповані відповідно до іншого набору властивостей, створюючи елементи ще одного, вищого рівня, і так до тих пір, поки не буде досягнутий єдиний елемент - вершина, яку ототожнюють з метою процесу ухвалення рішень. Така модель - тобто система напластовуваних рівнів, кожний з яких складається з багатьох елементів або чинників - відноситься до класу ієрархічних.

Ієрархія є певний тип системи, заснований на припущенні, що елементи системи можуть групуватися в незв'язані множини. Елементи кожної групи знаходяться під впливом елементів деякої, цілком певної групи і, у свою чергу, роблять вплив на елементи іншої групи. Вважатимемо, що елементи в кожній групі ієрархії (рівень, кластер) незалежні. Приклад графічного представлення ієрархії приведений на рис. 3.1.

 

 

 

Рис. 3.1 – Приклад графічного представлення ієрархії

Основним завданням ієрархії є оцінка вищих рівнів виходячи з взаємодії різних рівнів ієрархії, а не з безпосередньої залежності від елементів на цих рівнях.

 

 

Зупинимося докладніше на деяких елементах і властивостях ієрархічних структур.

1) Вузол - загальна назва для всіх можливих рішень (альтернатив), головного критерію (головної мети) рейтингування рішень, всіх чинників, від яких, так чи інакше, залежить рейтинг. Назва вузла співпадає з назвою відповідного рішення, критерію або чинника. Помітимо, що з математичної точки зору схема ситуації прийняття рішення (структура моделі), яка будується в методі аналізу ієрархій, є графом. Таким чином, поняття "вузол" цілком виправдане. Ясно також, що рішення, критерій і чинники є "вузлами" проблеми прийняття рішення.

2) Рівень - група всіх однотипних (рівноправних, однорідних, гомогенних і т.п.) вузлів. Назва рівня відображає призначення, функції групи вузлів в ситуації прийняття рішення. Кожен вузол визначається не тільки своєю назвою, але і назвою рівня, якому він належить. Ясно, що окремий рівень утворюють альтернативні рішення (вузли цього рівня однотипні в тому сенсі, що вони є рішеннями; інші вузли такими не є). Головний критерій рейтінгованія, як правило, один - це окремий рівень. На рейтинг роблять вплив декілька груп чинників - це також рівні.

3) Вершина - вузол, відповідний головному критерію (головної мети) відбору альтернатив.

4) Зв'язок - вказівка на наявність впливу одного вузла (домінуючого) на інший (підлеглий).

На схемі зв'язок зображається стрілкою. Напрям зв'язку (і відповідної стрілки) співпадає з напрямом впливу. З погляду теорії графів [.] зв'язок - дуга направленого графу. Зв'язок від вузла-чинника до вузла-рішення означає, що перевага (важливість, оптимальність) рішення оцінюється з погляду дії даного чинника. Зв'язок від вершини до вузла-чинника означає, що важливість обліку чинника оцінюється з погляду головного критерію рейтінгованія альтернатив.

Зв'язок від вузла-чинника до вузла-чинника означає, що важливість обліку другого чинника розглядається з погляду першого чинника.

5) Кластер - група вузлів одного рівня, підлеглих деякому вузлу іншого рівня - вершині кластера (домінуючому вузлу). Кластери утворюються при розстановці зв'язків між вузлами, тобто при розстановці зв'язків відбувається формування кластерної структури. Важливість вузлів кластера один щодо одного оцінюється у відповідність з тим, який вузол є вершиною кластера.

Кластер визначається: 1) своєю вершиною, 2) назвою рівня, 3) списком вузлів.

6) Система (структура моделі, схема ситуації прийняття рішення) - сукупність всіх вузлів, згрупованих по рівнях, і всіх зв'язків між вузлами. З математичної точки зору системи, якими доводиться оперувати в методі аналізу ієрархій, є - направленими графами (мережами). Зв'язки утворюють шляхи від одних вузлів до інших. Всі шляхи так чи інакше є частинами основних шляхів, провідних від головного критерію рейтингування через чинники до альтернатив, тобто основні шляхи, по суті, є логічними ланцюжками, що ведуть до вибору однієї з альтернатив.

Ця система є ієрархічною (але не є строгою ієрархією).

Помітимо, що навіть для простих завдань структури моделей, що будуються за допомогою методу аналізу ієрархій, являють собою досить складні схеми. Проте це свідчить лише про те, що метод дозволяє розкрити реальну складність завдань, які людині доводиться вирішувати в думках.

Назва системи відображає її призначення, приналежність до сфери діяльності, в якій приймається рішення.

7) Ієрархія - система, в якій рівні розташовані і пронумеровані так, що: 1) нижній рівень містить рейтингуємі альтернативи, 2) вузли рівнів з великими номерами можуть домінувати тільки над вузлами рівнів з меншими номерами. Таким чином, в ієрархії зв'язку визначають шляхи однієї спрямованості - від вершини до альтернатив через проміжні рівні, які складаються з вузлів-чинників. Система є строгою ієрархією, якщо допустимі зв'язки тільки між сусідніми рівнями від верхнього рівня до нижнього.

8) Система із зворотними зв'язками. Система має зворотні зв'язки, якщо при будь-якому способі нумерації рівнів в системі є вузли, домінуючі і над вузлами рівнів з великими номерами, і над вузлами рівнів з меншими номерами, тобто система має зворотні зв'язки, якщо ні при яких перестановках рівнів вона не зводиться до ієрархії. Крім того, зрозуміти відмінності в структурі ієрархії і системи із зворотними зв'язками можна, розглядаючи шляхи, утворені зв'язками. Якщо в системі немає жодного такого рівня, що по шляхах, що починаються у вузлах цього рівня, можна потрапити у вузли того ж рівня, то система є ієрархією, тобто в ієрархії будь-який шлях може перетинатися з кожним рівнем лише одного разу. Якщо в системі є такі рівні, що по шляху, що починається в одному з вузлів цього рівня, можна потрапити в один з вузлів того ж рівня, то система має зворотні зв'язки. Тобто в системі із зворотними зв'язками обов'язково є шляхи, що перетинають деякі рівні хоч би двічі.

Формування структури без зворотних зв’язків (ієрархії) і формування структури із зворотними зв’язками проводяться за певними правилами.

Розглянемо тепер конкретний приклад складання ієрархічної моделі [.].

Припустимо, що уряду якоїсь розвиненої країни необхідно вирішити проблему (або створити сценарій) розподілу енергетичних ресурсів між трьома її найбільшими користувачами (по термінології, запропонованій Т. Сааті, акторамі або дійовими особами): (1) населенням або побутовим споживачем (ПС), (2) засобами комунікації або транспортом (ТР), промисловим виробництвом (ПР). Перераховані споживачі складають третій, або нижчий рівень ієрархії (див. рис. 3.2). Цілями, по відношенню до яких оцінюються ці споживачі, є внесок у розвиток економіки (Е), внесок в якість навколишнього середовища (С) і внесок в національну безпеку (Б). Перераховані цілі складають другий рівень ієрархії. Вони ж є свого роду силами, що впливають на загальну мету - сприятливе соціальне і політичне положення в країні (Бл), яка позиціонується на самому верхньому рівні ієрархії.

Очевидно, що модель дуже проста. Тут можна було б визначити набагато більше елементів і більше рівнів (що визначається ступенем складності питання, на яке необхідно відповісти). При цьому, проте, модель швидко ускладнюється і стає важкою для розуміння. Тому слід ретельно будувати ієрархію з урахуванням відповідності дійсності і нашого розуміння ситуації. Досвід показує, що навіть вельми груба на вигляд ідеалізація може дозволити глибше вникнути в суть проблеми.

 

 

 

 

Рис. 3.2 – Приклад конкретної ієрархічної моделі

 

Вкажемо на наступні переваги ієрархій.

1. Ієрархічне представлення системи можна використовувати для опису того, як впливають зміни пріоритетів (відповідних внесків) на верхніх рівнях на пріоритети елементів нижніх рівнів.

2. Ієрархія надає докладнішу інформацію про структуру і функції системи на нижніх рівнях і забезпечує розгляд чинників (дійові особи одного рівня, залучені в процес) і їх цілей на вищих рівнях.

3. Природні системи, складені ієрархічно, тобто за допомогою модульної побудови і потім збірки модулів, будуються набагато ефективніше, ніж системи, зібрані в цілому.

4. Ієрархії стійкі і гнучкі; вони стійкі в тому сенсі, що малі зміни викликають малий ефект, а гнучкі в тому сенсі, що додавання до добре структурованої ієрархії не руйнують її характеристик.

Слід визнати, що на практиці не існує встановленої процедури генерування цілей, критеріїв і видів діяльності для включення в ієрархію або навіть в більш загальну систему. Це залежить від тих цілей, які вибираються для декомпозиції складної системи.

Звичайно ця процедура починається з вивчення літератури для збагачення думками, і часто, знайомлячись з чужими роботами, дослідник як би проходить через стадію мозкового штурму для складання переліку всіх концепцій, істотних для завдання, незалежно від їх співвідношення або порядку.

Слід пам'ятати, що основні цілі встановлюються на вершині ієрархії, а в самому її низу знаходиться рівень різних можливих результатів (сценаріїв). Це природна форма, яку приймають ієрархії, пов'язані з плануванням і конфліктами.

 

 

 

Вимірювання суджень

 

Центральне питання на мові ієрархії - це питання про те, наскільки сильно впливають окремі чинники найнижчого рівня на вершину - загальну мету.

В процесі пізнання чого-небудь складного людина визначає об'єкти або ідеї і відносини між ними. При цьому спочатку проводиться розкладання (декомпозиція) досліджуваної складної події (об'єкту) на прості складові. Потім, визначаються (встановлюються і вимірюються) всі відносини між складовими. Завершується весь процес з'єднанням (синтезом) виділених елементів в єдине ціле.

Вимірювальні шкали, за допомогою яких можна було б оцінити соціальні величини (вага того або іншого сектора економіки, установи, відділу, тієї або іншої людини на рівень життя в країні або на кінцевий продукт виробництва), на жаль, відсутні. Але саме соціальні величини, як найбільш важливі характеристики життя суспільства, вимагають зручного методу шкалірування, який дозволив би на практичній повсякденній основі одержати розумні співвідношення між такими величинами як гроші і якість навколишнього середовища, здоров'я і щастя і подібними реаліями. МАІ пропонує ефективний спосіб побудови вимірів для таких речей і їх використання для прийняття рішень.

Розглянемо можливі підходи до рішення проблеми вимірювань.

Припустимо, що є деяка безліч предметів (наприклад, каменів) S ₁,…, S_n, кожний з яких легкий настільки, що його неважко утримати в руці, і потрібно оцінити їх відносні ваги у відсутності приладу, що зважує.

Серед можливих способів дозволу цієї проблеми вкажемо два.

Перший полягає в тому, щоб визначити (вгадати) вагу кожного предмету, узявши за одиницю вимірювання (еталон) найлегший, порівняти таким чином всі предмети і, розділивши потім знайдену вагу кожного S_i на суму вагів всіх n предметів, одержати його відносну вагу. Це потребує (п - 1) порівнянь.

Другий спосіб полягає в порівнянні вагів всіляких пар предметів: спочатку ми порівнюємо вагу предмету S ₁звагами предметів S _2,…, S_n, потім вагe предмету S ₂ з вагами предметів S _3,…, S_n, і т.д. до тих пір, поки у нас не сформується думка про відносну вагу (відношення вагів) для кожної пари предметів. В цьому випадку загальне число необхідних порівнянь виявляється рівним . При цьому кожен предмет методично порівнюється зі всіма іншими.

Звичайно, другий спосіб вимагає більшого часу, ніж перший, але виявляється точнішим.

Будь-яким вимірюванням (у тому числі і з використанням приладів) властиві помилки (погрішності), серйозним слідством яких є та обставина, що вони можуть привести (і нерідко приводять) до неузгоджено висновків.

Наведемо зовсім простий приклад помилкового порівняння: предмет А в 1,5 разу важче за предмет В, який в свою чергу в 1,5 разу важче за предмет С, останній же по вазі майже не відрізняється від предмету А.

Узгодженість (або транзитивність) вимірювань є вельми важливою їх характеристикою.

При цьому під узгодженістю при порівнянні предметів по вазі мається на увазі не просто результат типу: "якщо А важче В і В важче С, то А важче С ", а кількісно точніший: "якщо А в 2 рази важче В, а В в 3 рази важче С, то А в 6 разів важче С.

Зауваження 1. Як правило, чим краще людина знайома з ситуацією, тим більше вона послідовна в своїх думках. Хоча зворотне і необов'язково вірно - відмінна узгодженість в думках зовсім не означає, що людина добре розбирається в ситуації.

Зауваження 2. Попарні порівняння дозволяють підвищити узгодженість оцінок.

Проблема порівняння виникає всюди - і при вимірюванні фізичних величин, і при оцінці досконалих вчинків.

Для отримання добрих результатів в порівняннях потрібно уміти:

1. знаходити відповідну чисельну шкалу порівнянь

2. визначати ступінь неузгодженості наших думок.

Кількісні оцінки, що вводяться при парних порівняннях, будують виходячи з деяких емпіричних правил, що спираються на хистку підставу досвіду. Проте, придбане досвідченим шляхом дивовижним чином виявляється корисним в багатьох, часто абсолютно несхожих ситуаціях.

При будь-якому підході до розв’язання завдання порівняння важливе значення має вибір шкали порівнянь. Головна вимога - шкала порівнянь повинна бути проста і природна.

Ось деякі міркування (по Т. Сааті), що обґрунтовують вибір шкали.

Почнемо з діапазону. Використання шкали парних порівнянь в межах від 0 до ∞ може виявитися даремним. Річ у тому, що наша здатність розрізняти знаходиться у вельми обмеженому діапазоні і, коли є значна невідповідність між порівнюваними об'єктами, діями або обставинами, наші припущення тяжіють до того, щоб бути довільними, і звичайно виявляються далекими від дійсності.

Оскільки одиниця є стандартом вимірювання, то верхня межа повинна бути не дуже далека від неї, хоч і достатньо віддалена для того, щоб більш менш виразно представити наш діапазон здатності розрізняти.

Тому і число порівнюваних об'єктів повинне бути достатньо мало. Звичайні межі - це 7±2.

Є всі підстави поставити питання: чому вибираються величини від 1 до 9? Відповідь грунтується на наступному.

Найбільший внесок в дослідження питань стимулів і реакцій внесли Э. Вебер (1795- 1878), Г. Фехнер (1801 - 1887), С. Стівенc (1906 - 1973).

У 1846 році Вебер сформулював закон, що стосується стимулу вимірної величини S. Він виявив, наприклад, що люди, що тримають в руці предмети з різною вагою, можуть розрізняти предмети вагою 20 г від 21 г, проте не можуть уловити різницю, якщо 2-ої предмет важить 20,5 р. З іншого боку, тоді як вони не можуть розрізняти предмети вагою 40 і 41 г, різниця предметів вагою 40 і 42 г сприймається. І т. д., аж до великих вагів.

Закон Вебера стверджує, що зміна сприйняття має місце при збільшенні стимулу на постійну частку самого стимулу.

У 1860 році Фехнер досліджував послідовність ледве помітних збільшень стимулів. Був одержаний наступний результат.

Припустимо, що в досвіді зафіксований стимул величиною S ₀. Наступний стимул з ледве помітною відмінністю згідно закону Вебера повинен бути рівний:

 

.

Далі:

,

…………………………………………………

, (n = 0, 1, 2, …) (4.1)

Таким чином, стимули з помітними відмінностями розташовуються в геометричній прогресії. В той же час відповідні сприйняття складають арифметичну прогресію в дискретних крапках, де спостерігаються ледве помітні відмінності. Останні виходять, якщо вирішити відносно п одержане рівняння (4.1). Маємо

, (4.2)

тобто сприйняття - лінійна функція логарифма стимулу. Тому, якщо позначити сприйняття через М, а стимул через S, то психофізичний закон Вебера-Фехнера запишеться у вигляді:

(4.3)

На практиці якісні відмінності в реакціях на стимули нечисленні. Приблизно їх п'ять. Додаткові є компроміси між сусідніми реакціями. Поняття компромісу особливо гідне уваги при осмисленні процесу думки у протилежність відчуттям. Це збільшує число відмінностей до 9.

Є декілька причин для установки верхньої межі шкали:

1. Якісні відмінності значущі на практиці і володіють елементом точності, коли величина порівнюваних предметів одного порядку або предмети близькі щодо властивості, використаної для порівняння.

2. Здатність людини проводити якісні розмежування добре представлена 5-ма визначеннями: рівний, слабкий, сильний, дуже сильний і абсолютний.

3. Можна прийняти компромісні рішення між сусідніми визначеннями, коли потрібна велика точність. Разом - 9 значень.

Практичний метод, використовуваний для оцінки окремих предметів, полягає в класифікації стимулів в трихотомію зон: неприйняття, байдужості, прийняття. Для тоншої класифікації в кожну з цих зон закладений принцип трихотомії - ділення на низький, середній і високий ступень. Виходить 9 відтінків значущих особливостей. Дослідження у області маркетингу показали, що немає необхідності мати більше 7 значень шкали для виділення стимулів. Отже, беремо не більше 9 градацій.

Опишемо один із способів того, як практично додати кількісне наповнення порівнянню об'єктів, дій або обставин і побудувати відповідну таблицю порівнянь.

Хай дані елементи А, В, С, D і т.д.

Таблиця порівнянь, що має вигляд

	A	B	C	D	…
A
B
C
D
…

 

будується за наступними правилами:

якщо А і В однаково важливі, заносимо в позицію (А, В) таблиці порівнянь число 1

якщо А трохи важливіше В - число 3

якщо А значно важливіше В - число 5

якщо А явно важливіше В - число 7

якщо А по своїй значущості абсолютно перевершує В - число 9.

Числа 2, 4, 6 і 8 використовуються для полегшення компромісів між оцінками, що злегка відрізняються від основних чисел.

Раціональні дроби використовуються у разі, коли бажано збільшити узгодженість всієї матриці при малому числі думок.

Очевидно, одержана описаним способом таблиця по своїй математичній суті є матриця, до якої застосуємо апарат матричного числення.

Матриці

Введемо деякі поняття. Матриця - це масив чисел у вигляді прямокутної таблиці, наприклад

.

Горизонтальна послідовність чисел в матриці називається рядком, а вертикальна - стовпцем. Матриця, що складається тільки з одного рядка або з одного стовпця називається вектором, а з однаковим числом рядків і стовпців - квадратною (число рядків або стовпців такої матриці визначають її порядок). У загальному вигляді матриця, що містить m рядків і n стовпців, може бути описана так:

 

, (5.1)

або

, (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m). (5.2)

Треба відзначити, що з квадратною матрицею асоціюються її власні вектори і відповідні власні значення l, які задовольняють наступній матричній рівності […]

. (5.3)

Розглянемо процедуру знаходження l і на прикладах, в яких матриця 2-го порядку перемножується з вектором-стовпцем (відповідно до відомого правила "рядок на стовпець"):

 

 

1) ,

2) .

У першому з розглянутих прикладів ні власний вектор, ні власне значення для заданої матриці не визначені. У другому ж показано, що и .

Покажемо тепер, як дане завдання може бути вирішене в загальному вигляді.

Вважатимемо, що для матриці визначені власний вектор і власне значення l. Тоді повинне задовольнятися рівняння (5.3), тобто

.

Записаному матричному рівнянню можна поставити у відповідність наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

або (5.4)

Кожне з рівнянь системи (5.4) описує пряму лінію, що проходить через початок координат в площині . Ці рівняння описуватимуть одну і ту ж пряму, якщо

.

Дану умову можна трансформувати в так зване характеристичне рівняння вигляду

. (5.5)

Ясно, що квадратне рівняння (5.5) має не більше двох коренів.

 

Приклад. Використовуючи квадратне рівняння (5.5) знайдемо власні числа для матриці . Одержуємо

или .

Обчислення з використанням дискримінанту дають: ;

Матриці, що виходять в процесі використання МАІ, відноситься до класу позитивних зворотньо-симетричних матриць. У таких матриць для будь-яких i та k виконується співвідношення . З цього, зокрема, витікає, що .

Матриця А називається узгодженою, якщо для будь-яких i, k та l має місце рівність

.

Для зворотньо-симетричних матриць справедливо наступне твердження.

Теорема (приведена без доказу). Позитивна звороньо-симетрична матриця є узгодженою тоді і тільки тоді, коли порядок матриці n і її найбільше власне значення співпадають, тобто

. (5.6)

Слід зазначити, що якщо елементи позитивної і узгодженої зворотньо-симетричної матриці А трохи змінити ("поворушити"), то її максимальне власне значення також незначно зміниться, що приведе до порушення умови узгодженості матриці (5.6).

Оцінити ступінь близькості позитивної зворотньо-симетричної матриці А до узгодженої можна по значенню показника, званого індексом узгодженості (ІУ), який дорівнює

. (5.7)

 

Крім того, для цих цілей може бути використано так зване відношення узгодженості

ВУ = ІУ / М(ІУ),

де М(ІУ) - середнє значення (математичне очікування) індексу узгодженості випадковим чином складеної матриці парних порівнянь (див. табл. 5.1), яке ґрунтується на результатах статистичного моделювання, одержаних Т. Сааті [.].

 

Таблиця 5.1 – Середнє значення індексу узгодженості залежно від порядку матриці

Порядок матриці (n)	М(ІУ)	Порядок матриці (n)	М(ІУ)	Порядок матриці (n)	М(ІУ)
	0,00		1,24		1,51
	0,00		1,32		1,54
	0,58		1,41		1,56
	0,90		1,45		1,57
	1,12		1,49		1,59

 

У неузгоджених зворотньо-симетричних матриць і практично завжди , тому ІУ ³ 0 і ВУ ³ 0. Вважається, що якщо ВУ не перевищує 0,10, то можна бути задоволеним ступенем узгодженості думок.

Завдання про точне обчислення власного значення і власного вектора матриці А з n > 4 відноситься до нерозв'язних. В цьому випадку необхідно використовувати наближені методи, засновані, наприклад, на одному з наступних алгоритмів.

 

Алгоритм 1

Крок 1: складаємо елементи кожного рядка матриці, і результати підсумовування представляємо у вигляді вектора стовпця такої ж розмірності, що і у матриці.

Крок 2: складаємо докупи всі елементи одержаного вектора стовпця.

Крок 3: ділимо кожний з елементів вектора стовпця на знайдену суму.

 

Алгоритм 2

Крок 1: складаємо елементи кожного стовпця початкової матриці і записуємо одержані результати в стовпець.

Крок 2: замінюємо кожен елемент стовпця на зворотний йому.

Крок 3: складаємо елементи стовпця із зворотних величин.

Крок 4: ділимо кожний з елементів зворотного стовпця на одержану суму.

 

Алгоритм 3

Крок 1: підсумовуємо елементи кожного стовпця.

Крок 2: ділимо елементи кожного стовпця матриці А на одержані суми.

Крок 3: складаємо елементи кожного рядка одержаної вище матриці.

Крок 4: записуємо кожну суму у відповідний рядок вектора стовпця.

Крок 5: ділимо кожний з елементів останнього стовпця на порядок матриці.

 

Алгоритм 4

Крок 1: перемножуємо елементи кожного рядка і записуємо одержані

результати в стовпець.

Крок 2: витягуємо корінь n-ой ступеня з кожного елементу одержаного стовпця.

Крок 3: складаємо елементи одержаного стовпця.

Крок 4: ділимо на одержану суму всі елементи стовпця.

Зауваження. Обчислення по двох різних алгоритмах повинні приводити до практично однакових результатів. Рекомендується використовувати алгоритм 4.