Методические указания к заданиям 1 и 2

Средними величинами в статистике называют обобщающие показатели, выражающие типичные, характерные для определенных условий места и времени размеры и количественные соотношения явлений общественной жизни.

В статистике различают несколько видов средних величин, а именно: арифметическую, гармоническую, геометрическую и др.

В зависимости от частоты повторения вариант средние исчисляются как простые невзвешенные, так и взвешенные.

Среднюю арифметическую невзвешенную рассчитывают по формуле:

,

В задании 1 вид и форма средней выбирается исходя из экономического содержания исчисляемого показателя. Так, например, средняя урожайность определяется отношением валового сбора к посевной площади. Если в условии задачи по бригадам (хозяйствам и т.п.) имеются данные об урожайности и посевной площади, то исходя из экономического содержания показателя для определения средней урожайности применяется средняя арифметическая взвешенная:

где - значение осредняемого признака (урожайность),

- частота (посевная площадь),

n- число единиц совокупности.

Средняя гармоническая невзвешенная определяется по формуле

Если же в условии даны показатели об урожайности культуры и ее валовом сборе, то для расчета средней урожайности применяется формула средней гармонической взвешенной:

где - сумма значений осредняемого признака по группе (валовый сбор);

- значение осредняемого признака (урожайность).

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине заданного признака, т.е. когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.

Аналогичен подход для расчета средней цены, среднего процента выполнения плана, средней производительности труда и т.п.

Средняя геометрическая определяется по формуле

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения среднегодовых темпов роста в рядах динамики.

Как сказано выше, при выборе того или другого вида средней следует исходить из того, что средняя применена правильно тогда, когда она имеет реальный экономический смысл.

Разновидностью средней являются мода и медиана. Эти величины также используются в качестве характеристик вариационного ряда.

Мода (М0) - варианта, встречающаяся в изучаемой совокупности чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Для дискретного ряда распределения мода определяется наиболее просто: варианта, против которой располагается наибольшая частота, и будет модой.

В интервальном ряду наибольшая частота указывает не на модальную варианту, а на содержащий моду интервал. Поэтому в модальном интервале необходимо определить модальную варианту. При этом надо иметь в виду, что при расчетах будет получено не точное, а некоторое условное значение моды, так как неизвестен характер распределения частоты внутри модального интервала.

Вычисление моды в интервальном ряду производится по следующей формуле:

,

где х_Мо - начало (нижняя граница) модального интервала (15);

i - величина интервала (2);

f_Мо - частота модального интервала (30);

f _Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному (20);

f _М0+1 - частота интервала, следующего за модальным (25).

Воспользуемся данными табл. 1.1. и рассчитаем моду:

Медиана (Ме)- варианта, находящаяся в средине ряда распределения. Для ее определения достаточно расположить в порядке возрастания или убывания все варианты. Срединная варианта и будет являться медианой. Расчет медианы для интервального ряда производится по формуле

,

где х_Ме - начало (нижняя граница) медианного интервала (15);

i- величина интервала (2);

- сумма накопленных частот ряда (100);

s_Ме-1 - накопленная частота вариант, предшествующих медианному (35);

f_Ме - частота медианного интервала (30).

Воспользуемся данными табл. 1.1. и рассчитаем медиану. В табл. 1.1. Ме лежит между 50 и 51 частотами, а они находятся в сумме накопленных частот, равной 65, поэтому интервал 15-17 является медианным. Определяем медиану

Для характеристики размеров колеблемости признаков в статистике применяется следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации и др.

Размах вариации представляет собой разность между наибольшим (х_max) и наименьшим (x_min) значениями вариант, т.е.

R=х_max-х_min

Например, размах вариации производительности труда рабочих в бригаде (см. табл. 1.1) равен: 21-9=12 дет. в смену. Среднее линейное отклонение () определяется из отношения суммы, взятой по абсолютной величине (без учета знака) отклонения всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности. Оно бывает незвешенное и взвешенное и определяется соответственно по формулам:

,

,

Дисперсия - это средняя из квадратов отклонений значений признака от его средней арифметической величины. Она определяется по формуле средней арифметической простой:

или средней арифметической взвешенной

Если имеются два взаимоисключающих друг друга варианта, то вариация признака называется альтернативной. Обозначая наличие признака - 1, а отсутствие - 0, и долю вариантов обладающих данным признаком - p, а долю вариантов, не обладающих им - q и замечая, что p+q=1, получаем среднюю:

 

Дисперсию альтернативного признака определяем по формуле:

Следовательно, дисперсия альтернативного признака

Среднее квадратичное отклонение - это корень квадратный из дисперсии - определяется по формулам средней арифметической простой:

или средней арифметической взвешенной

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

Мерой сравнения степеней колеблемости для двух, трех и более вариационных рядов служит показатель, который носит название коэффициента вариации и определятся по формуле:

Результаты расчета средней и показателей вариации студент должен представить в таблице по форме табл. 1.1.

 

Таблица 1.1.

 

Пример определения средней и показателей вариации.

Количество деталей в смену, шт.	Число рабочих, чел.	Накопленные частоты	Центральная варианта хi
9-11 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21					-5,8 -3,8 -1,8 +0,2 +2,2 +4,2	5,8 3,8 1,8 0,2 2,2 4,2	29,0 38,0 36,0 6,0 55,0 42,0	33,64 14,44 3,24 0,04 4,84 17,64	168,20 144,40 64,8 1,2 121,0 176,4
–		–		–	–		–
	–	–