Покажемо, що М-абелева група відносно операції додавання. 1 страница

a. Операція додавання матриць замкнена, тобто для .

Нехай , , де

Тоді

Оскільки , то

b. Операція додавання матриць асоціативна, тобто

Дійсно, , ,

Оскільки – дійсні числа, то і тому .

c. У множині матриць M є матриця N, яка є нейтральним елементом відносно операції додавання матриць (нульовим елементом), тобто

.

Такою матрицею є нульова матриця, тобто

d. У множині матриць M існує для кожної матриці А протилежна матриця , тому .

Протилежною матрицею для даної матриці А є матриця

e. Операція додавання матриць комутативна.

Тоді для

Дійсно:

Оскільки для додавання дійсних чисел справедливий комутативний закон, то тобто

Покажемо тепер, що для множини М виконуються аксіоми векторного простору.

7. Для будь-якої матриці і чисел k,l, виконується рівність

[kl]

За означенням множення матриці на число

Оскільки дійсні числа, то тому

 

7.Для будь-якої матриці і дійсного числа 1.

Це випливає з означення множення матриці на число.

 

8. Операція множення матриці на число дистрибутивна відносно додавання матриць, тобто

Дійсно, ,

.

Оскільки – дійсні числа, то , тому .

9. Операція множення матриці на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто

Справді, якщо , , то за означенням множення матриці на число ,

.

Оскільки – дійсні числа, то ., тому .

Усі аксіоми векторного простору виконуються. Отже М – векторний простір над полем дійсних чисел .

II. Довести, що вектори ; ; утворюють базис та знайти координати вектора в цьому базисі.

Розв’язання. Оскільки розглядуваний простір має розмірність 3 (це ми визначили з кількості координат у заданих векторах), то досить довести, що система векторів лінійно незалежна. Обчислимо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

Легко бачити, що ранг цієї матриці дорівнює 3. Отже, система векторів лінійно незалежна і утворює базис.

Отже, кожний вектор можна розкласти за векторами цього базису, тобто , тоді числа будуть шуканими координатами вектора в базисі .

Запишемо цю рівність в координатній формі: , тоді

. Звідси

отже, вектор в базисі е має координати (1, -3, 3), тобто .

III. Довести, що кожна з двох даних систем векторів є базисом і знайти зв’язок між координатами того самого вектора в цих двох базисах.

Розв’язання. Нехай В і В₁ – задані системи векторів. , де ; ; , , де ; ; .

Розглядуваний простір має розмірність 3.

Доведемо, що системи векторів В і В₁ лінійно незалежні. Обчислимо ранги матриць, складених відповідно з координат векторів

; ;

〜

〜

; .

Отже В і В₁ – базиси.

Знайдемо зв’язок між ними.

Кожний вектор простору однозначно лінійно виражається через вектори базису В.

Нехай (*)

Матриця , рядками якої є координатні рядки векторів базису В₁ в базисі В, і є матрицею переходу від базису В₁. знайдемо її. Запишемо рівності (*) в координатній формі:

Звідси,

Розв’язуючи ці системи лінійних рівнянь, дістаємо:

отже матриця

для знаходження матриці Т^I переходу від базису В₁ до базису В можна було б скористатися тим же прийомом. Відомо проте, що . Знайдемо . , отже

Звідси одержуємо:

IV. Знайти базиси суми і перетину векторних підпросторів V i U, заданих як лінійні оболонки векторів і відповідно.

Розв’язання. Нехай V=L ; U=L’ . Базисом В суми S=V+U є кожна максимальна лінійно незалежна підсистема системи векторів .

Знайдемо спочатку базиси підпросторів V і U.

Нехай за умовою , , , , , .

Складаємо матриці А і С з координат заданих векторів та обчислюємо їх ранги.

,

,

Отже, базисом простору V є система векторів , а базисом простору U є система векторів . Знайдемо базис В простору V+U.

Складаємо матрицю В з координат векторів і знаходимо її ранг:

за базис простору S можна взяти такі вектори: .

Знайдемо тепер базис перетину .

Оскільки ; ; , то очевидно .

Отже базис простору Р складається з двох векторів. Знайдемо їх.
Оскільки простір Р складається з тих і тільки тих векторів , які належать як до простору V так і до простору U, то (1)

Ця рівність еквівалентна системі чотирьох лінійних однорідних рівнянь з невідомими рангу 4.

+

Знаходимо фундаментальну систему розв’язків цієї системи.

Оскільки перші чотири стовпчики матриці цієї системи лінійно незалежні (вони є координатами векторів , то за вільні невідомі можна взяти останні і . Тоді

звідси дістаємо загальний розв’язок системи:

, , , .

Узявши послідовно, ; і ; , дістаємо фундаментальну систему розв’язків

;

базис простору Р дістанемо, якщо в рівності (1) замість (або замість ) підставимо їх значення з і . Одержуємо:

і остаточно:

 

V. На вектори натягнута лінійна оболонка L.

а) побудувати ортонормований базис підпростору L;

б) знайти ортогональне доповнення ;

в) знайти відповідно проекції y i z вектора х на підпростори і ;

г) знайти кут між вектором х і підпростором ;

д) знайти відстань між вектором і підпростором .

Розв’язання.

а) знаходимо розмірність і базис підпростору . Складаємо матрицю із координат векторів і обчислюємо її ранг.

〜

〜

;

отже, , і вектори утворюють лінійно незалежну систему, тобто є базисом підпростору .

Застосуємо до векторів процес ортогоналізації. За перший вектор візьмемо вектор :

.

Вектор шукаємо у формі лінійної комбінації векторів і :

= + .

Оскільки повинен бути ортогональним до ,

;

звідки ;

отже, .

Вектор шукаємо у формі лінійної комбінації векторів і .

;

оскільки ортогональний до і до , то

звідки

.

Отже, =(9, -3, -5, 3).

Побудували нову систему попарно ортогональних ненульових векторів:

=(1, 2, 3, 4)

=(-1, 3, -3, 1)

=(9, -3, -5, 3), яка є лінійно незалежною, отже, ортогональним базисом підпростору .

Побудуємо ортогоналізований базис підпростору . Знаходимо норми векторів .

;

отже, ортонормованим базисом є система векторів:

=

= .

б) Щоб знайти ортогональне доповнення підпростору , що є лінійною оболонкою векторів достатньо знайти базис .

Відомо, що вектор ортогональний до будь-якого вектора з підпростору тоді і тільки тоді, коли він ортогональний до кожного вектора деякого базису цього простору.

Вектори лінійно незалежні (доведено вище), тому утворюють базис .

Нехай вектор – довільний вектор з ортогонального доповнення підпростору .

і .

Тоді мають місце співвідношення:

; ; .

Запишемо ці рівності у вигляді системи однорідних рівнянь:

всі розв’язки цієї системи утворюють підпростір. Знайдемо його базис, тобто фундаментальну систему розв’язків. Ранг матриці цієї системи дорівнює 3, отже фундаментальна система розв’язків складається з 4-1=3 вектора.

Нехай . Тоді маємо:

〜

〜

отже, вектор є базис ортогонального доповнення підпростору .