Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр

Фирма "Фармацевт" — производитель медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний период (препараты сердечно-сосудистой группы, анальгетики), на другие — на осенний и весенний периоды (антиинфекционные, противокашлевые).

Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь составили:

по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) — 20 р.;

по второй группе (антиинфекционные, противокашлевые препараты) — 15 р.

По данным наблюдений за несколько последних лет службой маркетинга фирмы установлено, что она может реализовать в течение рассматриваемых двух месяцев

в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы;

в условиях холодной погоды — 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.

В связи с возможными изменениями погоды ставится задача — определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 р. — второй группы.

Решение. Фирма располагает двумя стратегиями:

A ₁ — в этом году будет теплая погода; A ₂ — погода будет холодная.

Если фирма примет стратегию A ₁ и в действительности будет теплая погода (стратегия природы B ₂), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит 77 500р.

В условиях прохладной погоды (стратегия природы В ₂ ) препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только в количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит 16500р.

Аналогично, если фирма примет стратегию А ₂ и в действительности будет холодная погода, то доход составит 85850р.

При теплой погоде доход составит 8150р.

Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу

Цена игры лежит в диапазоне 16500 р. ≤ v ≤ 77500 р.

Из платежной матрицы видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 16 500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 77500 р.

Найдем решение игры.

Обозначим вероятность применения фирмой стратегии А ₁через x ₁, стратегии А ₂ — через x ₂, причем х ₁ = 1 — х ₂. Решая игру графическим методом, получим _опт = (0,56; 0,44), при этом цена игры v = 46 986 р. Оптимальный план произ водства лекарственных препаратов составит

Таким образом, фирме целесообразно производить в течение сентября и октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46 986 р.

В условиях неопределенности, если не представляется возможным фирме использовать смешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем критерии природы.

1. Критерий Вальде:

фирме целесообразно использовать стратегию A ₁.

2. Критерий максимума:

целесообразно использовать стратегию А ₂.

3. Критерий Гурвица: для определенности примем α = 0,4, тогда для

стратегии фирмы А ₁для стратегии А ₂

фирме целесообразно использовать стратегию А ₂.

4. Критерий Сэвиджа. Максимальный элемент в первом столбце — 77 500, во втором столбце — 85 850.

Элементы матрицы рисков находятся из выражения

откуда r ₁₁ = 77500 - 77500 = 0, r ₁₂ = 85 850 - 16 500 = 69 350, r ₂₁ = 77 500 - 8150 = 69 350, r ₂₂ = 85 850 - 85 850 = 0.

Матрица рисков имеет вид

целесообразно использовать стратегию A ₁ или А ₂.

Следовательно, фирме целесообразно применять стратегию A ₁ или А ₂.

Отметим, что каждый из рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша.

Пусть известно для рассматриваемой задачи, что вероятности теплой и холодной погоды равны и составляют 0,5, тогда оптимальная стратегия фирмы определяется так:

Фирме целесообразно использовать стратегию A ₁ или А ₂.

Quot;Дерево" решений

Примеры, которые мы рассматривали до сих пор, включали получение единого решения. Однако на практике результат одного решения приводит к необходимости принятия следующего решения и т.д. Эту последовательность принятия решений нельзя выразить таблицей доходов, поэтому приходится использовать другой алгоритм принятия управленческих решений.

Графически подобные процессы могут быть представлены с помощью "дерева" решений. Такое представление облегчает описание многоэтапного процесса принятия управленческого решения в целом.

Рассмотрим "дерево" решений, которое применяют тогда, когда нужно принять несколько взаимосвязанных решений в условиях неопределенности в случае принятия решения, зависящего от исхода предыдущего или исходов испытаний.

Составляя дерево решений, рисуют "ствол" и "ветви", отображающие структуру проблемы. Располагают "дерево" решений слева направо. "Ветви" обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возникающие в результате этих решений.

Квадратные "узлы" на дереве решений обозначают места, в которых принимаются решения, круглые "узлы" — места исходов. Так как не представляется возможным влиять на появление исходов, то в круглых узлах вычисляют вероятности их появления. Когда все решения и их исходы указаны на "дереве", оценивается каждый из вариантов и проставляются денежные доходы. Все расходы, вызванные решениями, проставляются на соответствующих "ветвях".

Рассмотрим задачу с применением "дерева" решений.

Выбор оптимальной стратегии развития предприятия в условиях трансформации рынка

Фирма может принять решение о строительстве среднего или малого предприятия. Малое предприятие впоследствии можно расширить. Решение определяется будущим спросом на продукцию, которую предполагается выпускать на сооружаемом предприятии. Строительство среднего предприятия экономически оправданно при высоком спросе. С другой стороны, можно построить малое предприятие и через два года его расширить.

Фирма рассматривает данную задачу на десятилетний период. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятности высокого и низкого уровней спроса равны 0,7 и 0,3 соответственно. Строительство среднего предприятия обойдется в 4 млн р., малого — в 1 млн р. Затраты на расширение через два года малого предприятия оцениваются в 3,5 млн р.

Ожидаемые ежегодные доходы для каждой из возможных альтернатив:

— среднее предприятие при высоком (низком) спросе дает 0,9 (0,2) млн р.;

— малое предприятие при низком спросе дает 0,1 млн р.;

— малое предприятие при высоком спросе дает 0,2 млн р. в течение 10 лет;

— расширенное предприятие при высоком (низком) спросе дает 0,8 (0,1) млн р.;

— малое предприятие без расширения при высоком спросе в течение первых двух лет и последующем низком спросе дает 0,1 млн р. в год за остальные восемь лет.

Определить оптимальную стратегию фирмы в строительстве предприятий.

Решение. Данная задача является многоэтапной, так как если фирма решит строить малое предприятие, то через два года она может принять решение о его расширении.

В этом случае процесс принятия решения состоит из двух этапов: решение в настоящий момент времени о размере предприятия и решение о необходимости его расширения, принимаемое через два года.

На рис. 31.7 задача представлена в виде "дерева" решений. Предполагается, что спрос может оказаться высоким и низким. Дерево имеет два типа вершин: "решающие" вершины, обозначенные квадратными узлами, и "случайные" вершины, обозначенные круглыми узлами.

Начиная с вершины 1, являющейся "решающей", необходимо принять решение относительно размера предприятия. Вершины 2 и 3 являются "случайными". Фирма будет рассматривать возможность расширения малого предприятия только в том случае, если спрос по истечении первых двух лет установится на высоком уровне. Поэтому в вершине 4 принимается решение о расширении или нерасширении предприятия.

Вершины 5 и 6 будут "случайными".

Произведем расчеты для каждой из альтернатив. Вычисления начнем со 2-го этапа. Для последних восьми лет альтернативы, относящиеся к вершине 4, оцениваются так:

где ДР — доход с расширением, ДБР — доход без расширения предприятия.

Таким образом, в вершине 4 выгоднее не проводить расширение, при этом доход составит l,36 млн р.

Теперь для дальнейших расчетов оставим одну "ветвь", выходящую из вершины 4, которой соответствует доход 1,36 млн р. за остальные восемь лет. Перейдем к вычислениям 1-го этапа. Для вершины 1

где ДС — доход среднего предприятия, ДМ — доход малого предприятия.

Сравнивая получаемые в вершине 1 доходы среднего и малого предприятий, видим, что более предпочтительным является вариант строительства среднего предприятия.

Таким образом, фирме целесообразно построить среднее предприятие.

Принятие решения о замене оборудования в условиях неопределенности и риска

Фирма может принять решение о замене старого оборудования на новое того же вида или его ремонте. Отремонтированное оборудование впоследствии можно частично заменить на новое, более современное, или отремонтировать его заново.

Решение определяется будущим спросом на продукцию, которую производят на этом оборудовании.

Полная замена оборудования экономически оправданна при высоком уровне спроса. С другой стороны, можно отремонтировать старое оборудование и через один год, например, заменить его на новое, более совершенное, или заново его отремонтировать.

В данной задаче процесс принятия решения состоит из двух этапов: решение в настоящий момент времени о замене или ремонте оборудования и решение, принимаемое через один год, относительно частичной его замены и ремонта.

Пример 5. Рассмотрим конкретную задачу о замене оборудования фирмы, представленную в виде "дерева" решений.

Предполагается, что спрос может оказаться высоким, средним и низким.

Дерево имеет два типа вершин: "решающие" и "случайные".

Начиная с "решающей" вершины 1 необходимо принять решение о полной замене оборудования или его ремонте.

Вершины 2 и 3 являются "случайными". Фирма будет рассматривать возможность установления более совершенного оборудования или повторного ремонта старого в том случае, если спрос по истечении одного года установится на высоком уровне. Поэтому в вершине 4 принимается решение о частичной замене старого оборудования более совершенным или ремонте старого. Вершины 5 и 6 "случайные".

Предположим, что фирма рассматривает эту задачу на пятилетний период. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятности высокого, среднего и низкого уровней спроса составляют 0,6, 0,3 и 0,1 соответственно. Замена новым оборудованием того же вида, что и старое, обойдется в 2,5 млн р., а ремонт старого — в 0,8 млн р.

Затраты на частичную замену оборудования на более совершенное, чем старое, оцениваются в 1,5 млн р., а повторный ремонт старого — в 0,8 млн р.

Ежегодные доходы для каждой стратегии фирмы следующие.

1. Замена старого оборудования на новое того же вида при высоком, среднем и низком уровнях спроса дает 0,95; 0,7 и 0,45 млн р. соответственно.

2. Ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса оценивается в 0,3; 0,15 и 0,1 млн р. соответственно.

3. Частичная замена оборудования на более совершенное при высоком, среднем и низком уровнях спроса составит 0,9; 0,6 и 0,4 млн р. соответственно.

4. Повторный ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса предполагает 0,3; 0,2 и 0,1 млн р. соответственно.

Определить оптимальную стратегию фирмы в замене оборудования.

Решение. Оценим результаты каждой стратегии и определим, какие решения следует принимать в "решающих" вершинах 1 и 4.

Вычисления начнем с этапа 2. Для последних 4 лет альтернативы, относящиеся к вершине 4, оцениваются так:

где ДЧЗ — доход от частичной замены оборудования на более совершенное, ДДР — доход от замены оборудования, прошедшего дважды ремонт. Так как ДЧЗ > ДДР, то в вершине 4 выгоднее произвести частичную замену оборудования на более совершенное, при этом доход составит 1,54 млн р.

Для дальнейших расчетов в вершине 4 можно оставить одну ветвь, которой соответствует доход в 1,54 млн р. за 4 года.

Вычислим доходы на 1-м этапе для "решающей" вершины 1:

где ДЗН — доход от замены старого оборудования на новое того же вида, ДЗО — доход от отремонтированного оборудования и дальнейшей замены на более совершенное.

Так как ДЗН > ДЗО, то оптимальным решением в вершине 1 является полная замена старого оборудования на новое того же вида.

Ответ: Оптимальной стратегией фирмы в замене оборудования является полная замена старого оборудования на новое того же вида, при этом доход составит 1,625 млн р.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти оптимальные стратегии и цену игры.

Построить игру, заданную задачей линейного программирования.

31.8. L() = x ₁ + 2 x ₂ — x ₃ → max при ограничениях:

Решить задачу с использованием матричных игр.

31.9. Розничное торговое предприятие разработало несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели прибыли представлены в табл. 31.12.

Определить: а) оптимальный план продажи товаров и цену игры;

б) какой стратегии следует придерживаться торговому предприятию, если наиболее вероятной является ситуация: C ₁ — 30%, С ₂ — 30%, С ₃ — 40%?

31.10. Предприятие планирует выпуск трех партий новых видов товаров широкого потребления в условиях неясной рыночной конъюнктуры. Известны отдельные возможные состояния P ₁, P ₂, P ₃, P ₄, а также возможные объемы выпуска изделий по каждому варианту и их условные вероятности, которые представлены в табл. 31.13.

Определить предпочтительный план выпуска товаров широкого потребления.

31.11. Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение августа-сентября на единицу продукции составили: платья — 7 ден. ед., костюмы — 28 ден. ед. Цена реализации составляет 15 и 50 ден. ед. соответственно.

По данным наблюдении за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды 1950 платьев и 610 костюмов, а при прохладной погоде — 630 платьев и 1050 костюмов.

В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход от реализации продукции. Задачу решить графическим методом и с использованием критериев "природы", приняв степень оптимизма а = 0,5.