Описание экспериментальной установки. Определение ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников

Определение ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников

Принадлежности: установка ФМ13, блок электронный.

Цель работы: определение ускорения свободного падения с помощью

математического и физического маятников.

 

КРАТКАЯ Теория

 

Гармонические колебания представляют собой периодический процесс, в котором смещение системы от положения равновесия происходит с течением времени по закону синуса или косинуса, т.е. по гармоническому закону:

x= Asin( t+ ) или x= Acos( t+ )

Величина А (наибольшее значение отклонения) называется амплитудой колебаний, -круговой частотой колебаний. Через промежуток времени Т= функции синуса и косинуса проходят через одни и те же значения, т.е. движение повторяется. Этот промежуток времени называется периодом колебаний. Аргумент тригонометрической функции ( t+ ) или ( t+ ) называется фазой колебаний.

Рассмотрим механическую колебательную систему, состоящую из практически нерастяжимой, очень легкой нити и подвешенного к ней груза массы m, размеры которого малы по сравнению с длиной нити, а масса велика по сравнению с ее массой (рис.1).

 

Рис.1.

Такая система ближе всего подходит по своим свойствам к идеальному математическому маятнику.

Математическим маятником называют систему, представляющую собой материальную точку, подвешенную на тонкой невесомой и нерастяжимой нити. Отклоним груз от положения равновесия в сторону, а затем отпустим. Груз будет двигаться к положению равновесия с ускорением , которое возникло под действием силы натяжения нити и силы тяжести =m . Достигнув положения равновесия О, где ускоряющая сила равна нулю, груз пройдет по инерции положение равновесия и далее будет тормозиться той же силой, которая его ускоряла ранее. Затем он остановится и пойдет обратно – так возникнут собственные колебания маятника. В общем случае колебания маятника не являются гармоническими, но они близки к гармоническим.

Обозначим угол отклонения маятника через и выясним, как он будет изменяться со временем. Сила , действующая на груз массой m, составляется из двух сил: силы тяжести =m , направленной отвесно вниз, и силы натяжения нити , направленной вдоль нити к точке подвеса. Последняя перпендикулярна к траектории движения, поэтому тангенциальная составляющая , действующая вдоль дуги, будет зависеть только от силы тяжести m , и угла отклонения от положения равновесия:

 

F=Psin = mg sin (1)

Если угол отклонения все время остается очень малым ( < ),то можно приближенно считать:

sin (в радианах).

Учтем, что x-отклонение грузика по дуге радиуса от положения равновесия и -угол отклонения связаны соотношением:

.

Тогда выражение (1) запишется в виде:

F= - mg (2)

Знак “минус” ставится в связи с тем, что сила F направлена против положительного направления смещения x.

Отсюда видно, что величина силы, под действием которой происходит движение груза, меняется пропорционально смещению x от положения равновесия (x=0) и всегда направлена к положению равновесия. Нужно отметить, что под действием такой силы система совершает гармонические колебания.

Напишем уравнение движения груза:

ma=m =F, (3)

где и -соответственно первая и вторая производные по времени.

Подставляя (2) в (3), получим m = - mg (4)

или + =0 (5)

Решением этого уравнения будет функция:

t + ). (6)

Обозначим и запишем уравнение движения груза (6) в таком виде:

. (7)

Таким образом, мы нашли, что математический маятник совершает гармонические колебания.

Очевидно, что смещение груза не изменится, если фаза изменится на величину 2 . Фаза нарастает на величину 2 , когда время изменится на величину периода T. Следовательно, .

Отсюда:

T= и g= (8)

Из формулы (8) следует, что при малых отклонениях период колебаний математического маятника обратно пропорционален корню квадратному из ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник считают физическим. Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. Собственные колебания физического маятника будут происходить так же, как и колебания рассмотренного выше математического маятника.

Пусть абсолютно твердое тело совершает колебания в вертикальное плоскости относительно горизонтальной оси О, перпендикулярной к чертежу (рис.2). Расстояние от центра масс С до оси равно d, тогда при повороте тела от положения равновесия на угол возникает возрастающий момент силы тяжести:

M= - mgdsin ,

где m - масса тела.

Рис.2.

Момент силы направлен так, что тело движется к положению равновесия, в котором момент М становится равным нулю.

В соответствии с основным законом динамики вращательного движения: М= J , напишем уравнение моментов, полагая, что трение на оси отсутствует:

где J - момент инерции тела относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О, - угловое ускорение (вторая производная угла смещения по времени).

При малых углах отклонения sin тогда

или (9)

Это уравнение по виду совпадает с уравнением (5). Следовательно, будет изменяться по гармоническому закону с частотой и с периодом

Т=2 (10)

Период колебаний физического маятника существенно зависит не только от расстояния от оси вращения до центра тяжести d, но и от момента инерции маятника J относительно оси О, т.е. от расположения отдельных элементов массы маятника.

Из сопоставления формул (8) и (10) получается, что математический маятник с длиной будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника - это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Если к оси физического маятника подвесить “математический” маятник, т.е. груз m малых размеров на нити и подобрать длину этой нити так, чтобы она была равной приведенной длине физического маятника, то отклоненные на одинаковый угол оба маятника колеблются с одинаковым периодом, так что груз все время находится в одной и той же точке физического маятника. Эта точка (лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения) называется центром качаний физического маятника. Центр качаний всегда лежит дальше от оси вращения, чем центр тяжести (.

Так как период маятника зависит от g, то маятником можно пользоваться для определенной величины g. При точных измерениях ни один маятник нельзя рассматривать как математический, поэтому при точных измерениях для расчета ускорения силы тяжести пришлось бы пользоваться формулой (10). Но расчет момента инерции маятника не может быть произведен с большой точностью.

Для устранения этих трудностей используют свойство центра качаний, которое заключается в следующем. Если перенести точку подвеса физического маятника О^' (рис.3) в центр качаний О, то прежняя точка подвеса окажется новым центром качаний. Точка подвеса и центр качаний обратимы.

 

 

Рис.3.

 

 

Таким образом, во всяком физическом маятнике всегда можно найти две такие точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую из них период остается одним и тем же. Расстояние между этими точками определяет собой приведенную длину данного маятника. На этом свойстве (свойство сопряженности) основано применение оборотного маятника для определения ускорения силы тяжести g.

Оборотные маятники в зависимости от предъявляемых к ним требований имеют самую различную форму. Обычно они состоят из металлического стержня длиной свыше 1 метра, на поверхность которого нанесены миллиметровые деления. По стержню могут передвигаться и закрепляться тяжелые грузы 1 и 2, призмы А и В. Различные комбинации грузов и их положений на стержне с призмами дают различные типы оборотных маятников.

Один из них изображен на рис.4, где

 

 

 

Рис.4.

С – центр тяжести маятника,

- расстояние от ребра призмы А до С,

- расстояние от ребра призмы В до С,

- период качания маятника вокруг ребра призмы А,

- период качания маятника вокруг ребра призмы В.

Если амплитуда колебаний маятника мала, то период колебания с достаточной точностью определяется формулой:

Тогда и соответственно равны:

и (11)

где и - моменты инерции маятника относительно ребер (осей вращения) призмы А и призмы В.

Пользуясь теоремой Гюйгенса-Штейнера, можно доказать, что в случае равенства периодов , величину ускорения можно определить по формуле:

g= (12)

где - приведенная длина.

Однако добиться полного совпадения периодов колебания около обеих осей чрезвычайно трудно. Обычно в процессе измерения находят такое положение призм и грузов, при котором маятник, подвешенный на призмах А и В, колеблется приблизительно с одинаковыми периодами ( с точностью до 0,5%) и рассчитывают g по формуле (12).

 

Описание экспериментальной установки

 

Экспериментальная установка представлена на рис.5. Она включает в свой состав: основание, вертикальную стойку, математический и физический (оборотный) маятники, имеющие узлы подвеса на верхнем кронштейне, кронштейн для установки фотодатчика, фотодатчик.

Основание снабжено тремя регулируемыми опорами и зажимом для фиксации вертикальной стойки.

Вертикальная стойка выполнена из металлической трубы, на которую нанесена миллиметровая шкала.

Математический маятник имеет бифилярный подвес, выполненный из капроновой нити, на которой подвешен груз в виде металлического шарика, и устройство для изменения длины подвеса маятника.

Физический (оборотный) маятник имеет жесткий металлический стержень с рисками через каждые 10 мм для отсчета длины, две призмы, два груза с возможностью перемещения и фиксации по всей длине стержня.

Узлы подвески математического и физического (оборотного) маятников расположены на диаметрально противоположных относительно вертикальной стойки сторонах кронштейна.

Кронштейн имеет зажим для крепления на вертикальной стойке и элементы фиксации фотодатчика.

 

 

Рис.5.

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1