Властивості операції множення матриці на число

ЛЕКЦІЯ № 2

 

Тема № 2. Матриці. Ранг матриці

з навчальної дисципліни Лінійна алгебра та аналітична геометрія

напряму підготовки УПРАВЛІННЯ ІНФОРМАЦІЙНОЮ БЕЗПЕКОЮ

освітньо-кваліфікаційного рівня БАКАЛАВР

Лекція розроблена

Кандидатом фізико-математичних наук Жихарєвою Ю.І.

 

Навчальна та виховна мета:

 

1. Студенти повинні знати теоретичні питання з теми «Дії з матрицями»: правила виконання та властивості дій з матрицями.

2. Студенти повинні вміти виконувати дії з матрицями: додавання, віднімання, множення на число, множення матриць; знаходити обернену матрицю; знаходити ранг матриці.

3.Розвиток мислення студентів, залучення до вивчення математики, як необхідної складової фахівця технічного університету

 

 

План.

1. Операції над матрицями. Основні властивості операцій над матрицями.

2. Ранг матриці.

3. Оберненість матриць. Обчислення оберненої матриці.

 

ЛІТЕРАТУРА:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – К.: ЦУЛ, 2002 – 401 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – Москва: Наука, – 1988 – 240 с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч 1-2. Москва.: Высшая школа, 1986.

4. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум. - К.:ЦУЛ, 2003 – 536 с.

5. Овчинніков П.Ф., Яремчик Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. – К.: Техніка, ч.І 596 с., ч.ІІ 792 с., 2000.

 

 

Конспект лекції

 

Операції над матрицями.

Основні властивості операцій над матрицями

Додавання та віднімання матриць

Нехай і – дві матриці однієї розмірності, причому – елемент , –елемент . Ці елементи будемо називати відповідними елементами матриць і .

Визначення. Сумою двох матриць одної розмірності називається матриця тої ж розмірності, кожний елемент якої являє собою суму відповідних елементів матриць і .

, де , , .

Властивості операції додавання матриць

Для будь –яких матриць , , однієї розмірності

1. - комутативність.

2. – асоціативність.

3. А + О = А, де - нульова матриця тієї ж розмірності, що й А..

4. , де - матриця протилежна , отримана заміною кожного елемента на протилежний.

 

Приклад. Нехай матриця А – кількість студентів 1-го та 2-го курсу факультету телекомунікацій, які вивчають англійську мову (1 стовпець), французьку мову (2), німецьку мову (3), іспанську мову (4), В – аналогічно, але факультету радіотехніки. Знайти кількість підручників для студентів з кожної мови (суму матриць)

і .

 

Множення матриці на число

Визначення. Добутком матриці на число називається матриця тієї ж розмірності, що й , кожний елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента А на число . Позначається .

, де , .

 

Властивості операції множення матриці на число

Для будь-яких матриць , однієї розмірності і для будь яких чисел

1. - асоціативність множення на число;

2. - дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел;

3. - дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць;

4. ;

5. .

 

Операція множення матриць

Означення. Добутком матриці розмірності на матрицю розмірності називається матриця розмірності , -й елемент якої дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці . Позначається .

, де , , .

 

Приклад. Знайти добуток матриць і

Розв’язання: