Математическое моделирование

ВВЕДЕНИЕ

 

Основной причиной, по которой я выбрала данную тему, является факт, что в современной науке ни одно исследование не может обойтись без математического метода моделирования. Математическое моделирование используется во всех отраслях науки: медицине, экономике и т.д.

Актуальность темы реферата: в настоящее время математическое (шире — информационное) моделирование, является неизбежной составляющей научно-технического прогресса. Так как системы, изучаемые современной наукой (экономическая, экологическая и т.д. системы), больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами.

Различным аспектам математического моделирования посвящено немало, хотя явно недостаточно, хороших и разных книг. В данной курсовой работе были задействованы тематические книги, научные статьи, пособия, статистические сайты. Отечественные авторы занимающиеся изучением данной темы: К. К. Васильев, М. Н. Служивый, А. А. Михайлов, И.А. Печерских, А.Г. Семенов и другие.

Целью курсовой является систематизация и углубление знаний по теме «Математическое моделирование в научном исследовании», приобретение навыков самостоятельной работы, а также овладение методикой исследования, обобщения и логического изложения материала.

Задачи:

1. Ознакомится с литературой по теме.

2. Составить план курсовой работы.

3. Глубоко и тщательно изучить и переработать имеющийся теоретический материал.

4. Вывести основные понятия.

5. Понять сущность математического моделирования.

6. Рассмотреть требования к математическим моделям.

7. Составить структурированный, связный текст.

8. Понять представленные теоретические сведенья.

9. В дальнейшем использовать знания на практике.

Объектом исследования является математическое моделирование.

Предметом исследования является математическое моделирование в научном исследовании.

При написании курсовой работы был использован методический материал: метод обобщения, анализ, индукция, дедукция, наблюдение, моделирование.

Краткое содержание:

Первый пункт: модель и моделирование. В данном пункте даны понятия: «модель», «моделирование». Рассмотрены требования к модели, уровни и задачи моделирования, свойства и типы модели, этапы моделирования, условия моделирования.

Второй пункт: математическое моделирования. Содержит четыре подпункта.

2.1 Определение понятия математической модели и ее свойства.

В данном подпункте рассмотрено математическое моделирование и выведено понятие, представлена классификация математической моли.

2.2 Требования к математическим моделям.

В данном подпункте рассмотрены основные требования к математическим моделям.

2.3 Алгоритм научных исследований с помощью математического моделирования.

В данном подпункте представлен алгоритм научных исследований.

2.4 Этапы построения экономико-математических моделей.

В данном подпункте рассмотрена общая схема процесса создания математической.

Третий пункт: применение математического моделирования в экономике.

В данном пункте рассматривается применение математического моделирования на макроуровне и на микроуровне.

Библиографический список содержит двадцать источником.

Ключевые слова: наука, организация научного исследования, научное исследование, модель, моделирование, математическое моделирование, экономико-математическое моделирование.

 

 

МОДЕЛЬ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

Термин "модель" достаточно часто используется в различных сферах человеческой жизни и имеет большое количество смысловых значений. Под словом "модель" понимается такой материальный или мысленно представляемый объект, который в ходе исследования замещает объект-оригинал так, что его изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Любая модель строится и исследуется при детерминированных допущениях, гипотезах[13].

Модель — это результат отображения одной структуры на другую. Перенеся физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), получим физико-математическую модель системы, или математическую модель физической системы[1].

Модель можно изобразить в виде графика[8].

Модель в широком смысле - это любой тип, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого - либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Само явление, объект или процесс называется образцом данной модели [3].

При этом требования к модели устанавливаются решаемой задачей и имеющимися средствами. Существует ряд отдельных требований к моделям:

1.Адекватность – довольно полное отображение свойств объекта;

2.Полнота – предоставление получателю всей нужной ему информации об объекте;

3.Гибкость – вероятность изображения различных ситуаций во всем диапазоне преобразования условий и параметров;

4.Трудоемкость разработки должна быть доступной для имеющегося времени и программных средств[2].

Информация —это абстракция.

Модель — это тот объект, та система, которая дает возможность облечь эту информацию в конкретное, например компьютерное, представление, содержание.

Моделирование — тот процесс, метод, который предоставляет возможность осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот.

Модели по их направлению бывают прагматическими, инструментальными познавательными.

¾ Познавательная модель — форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, обычно, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

¾ Прагматическая модель — средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, обычно, прикладная модель.

¾ Инструментальная модель — средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные модели отражают существующие, а прагматические — хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню моделирования модели бывают теоретическими, смешанными и эмпирическими[9].

¾ Эмпирическая — на основе эмпирических зависимостей, факторов;

¾ Теоретическая — на основе математических описаний;

¾ Смешанная или полуэмпирическая — использующая математические описания и эмпирические зависимости.

Трудность моделирования состоит из трех задач:

1.построения модели (эта задача менее конструктивна и формализуема, в том отношении, что нет алгоритма для построения моделей);

2.исследования модели (эта задача более формализуема, существуют методы исследования различных классов моделей);

3.использования модели (конкретизируемая и конструктивная задача).

Моделирование — это всеохватывающий метод использования, описания и получения знаний. Оно применяется в любой профессиональной деятельности.

В современной технологии и науке математическое моделирование актуализируется и усиливается успехами, проблемами других наук. Математическое моделирование нереальных и реальных систем неживой и живой природы позволяет связать реальные системы, разнообразные процессы (мышление включительно) и наши знания.

Моделирование – процесс применения, изучения, построения моделей.

То есть, можно сказать, что моделирование – это изучение объекта путем исследования и построения его модели, реализованное с определенной целью и заключается в замене эксперимента с оригиналом экспериментом на модели.

Представим более важные типы моделей (моделирования) с краткими определениями.

Статическая модель – модель, в которой среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в определенный момент времени дает только «фотографию» системы, ее срез.

Динамическая модель – это модель в которой среди параметров модели есть временной параметр, то есть модель отображает систему (процесс в системе) во времени.

Дискретная модель – это модель которая описывает поведение системы лишь в дискретный момент времени.

Непрерывная модель – это модель которая описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка

Имитационная модель – это модель которая предназначена для изучения или испытания, воспроизведения возможных путей поведения и развития объекта путем модификации всех или некоторых параметров модели.

Детерминированная модель – это модель в которой каждому входному набору параметров отвечает однозначно определяемый и вполне определенный набор выходных параметров. В другом случае модель называют недетерминированной, стохастической (вероятностной).

Технико-множественная модель – это модель представляемая с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности между и им ними.

Логическая модель – это модель представленная логическими функциями, предикатами.

Игровая модель – это модель которая описывает и реализует некую игровую обстановку между участниками игры.

Алгоритмическая модель – это модель описанная неким алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее развитие, функционирование, задействование такого непривычного типа моделей вполне обосновано, потому что не все модели могут быть реализованы и исследованы алгоритмически.

Лингвистическая, языковая модель – это модель представленная неким лингвистическим объектом, формализованная языковой структурой или системой. Порой такие модели называют синтаксическими, вербальными и так далее.

Визуальная модель – это модель позволяющая визуализировать связи и отношения моделируемой системы, особенно в динамике.

Натурная модель – это модель которая является материальной копией объекта моделирования.

Графическая, геометрическая модель – это модель представимая геометрическими объектами и образами.

Тип модели состоят в зависимости от информационной сущности моделируемой системы, от отношений и связей ее элементов и подсистем, а не от ее физической природы.

Рамки между моделями разнообразных типов или же отнесение модели к тому или иному типу порой весьма условны. Можно сказать о различных режимах использования моделей — стохастическом, имитационном и так далее.

Информационная модель:

В узком понимании – модель изучающая актуализирующая, описывающая информационные связи и отношения в исследуемой системе.

В еще более узком – модель основанная на данных, структурных данных, их информационно-логическом представлении и обработке.

Как узкое так и широкое понимание информационной модели необходимы, определяются решаемой проблемой и доступными для ее решения ресурсами, в первую очередь информационно-логическими.

Основные свойства любой модели:

¾ конечность — модель выражает оригинал только в конечном числе его отношений. Ресурсы моделирования конечны;

¾ упрощенность — модель выражает лишь необходимые стороны объекта и должна быть проста для воспроизведения или исследования;

¾ приблизительность — действительность приблизительно или грубо выражается моделью;

¾ адекватность моделируемой системе — модель обязана успешно описывать моделируемую систему;

¾ обозримость, наглядность основных свойств и отношений;

¾ технологичность и доступность для исследования или воспроизведения;

¾ информативность — модель должна иметь необходимую информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и давать возможность получить новую информацию;

¾ сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

¾ полнота — в модели обязаны быть учтены все основные отношения и связи, требуемые для обеспечения цели моделирования;

¾ устойчивость — модель обязана обеспечивать и описывать устойчивое поведение системы, даже если она вначале неустойчива;

¾ замкнутость — модель отображает и учитывает замкнутую систему необходимых основных связей, отношений, гипотез[2].

Основные этапы моделирования.

1.Постановка задачи.

Определение путей и целей анализа ее достижения и выработки общего подхода к исследуемой проблеме. На данном этапе необходимо полное понимание существа поставленной задачи. Порой, поставить задачу правильно сложнее чем ее решить. Постановка - процесс не формальный, общих правил нет.

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.

На данном этапе разрабатывается или подбирается подходящая теория. Если ее нет, устанавливаются причинно-следственные связи между переменными описывающими объект. Определяются выходные и входные данные, принимаются облегченные предположения.

3. Формализация.

Выбор системы условных обозначений и запись, с их помощью, отношения между составляющими объекта в виде математических выражений. Устанавливается класс задач, к которым может быть отнесена полученная математическая модель объекта. На данном этапе значения некоторых параметров может быть еще не конкретизированным.

4. Выбор метода решения.

На данном этапе устанавливаются окончательные параметры моделей с учетом условия функционирования объекта. Для полученной математической задачи разрабатывается специальный метод или выбирается какой-либо из уже известных.

5. Реализация модели.

Разработав алгоритм, пишется программа, которая тестируется, отлаживается и в итоге получается решение нужной задачи.

6. Анализ полученной информации.

Сопоставляется предполагаемое и полученное решение полученное и предполагаемое решение, проводится контроль погрешности моделирования.

7. Проверка адекватности реальному объекту.

Результаты, полученные по модели сравниваются с результатами полученными при проведении эксперимента, либо с имеющейся в объекте информацией.

Процесс моделирования является итеративным. Если этапы шесть и семь имеют неудовлетворительный результат нужно возвратится к одному из ранних этапов, который мог послужить поводом к разработке неудавшейся модели. Этот этап и все последующие уточняются и такое уточнение модели будет происходить до тех пор, пока не будут получены оптимальные результаты[1].

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются отличающиеся по сути методы и средства.

Метода моделирования применяют на практике. В зависимости от способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса: физические и математические[2].

Выгоду от моделирования можно получить только при соблюдении двух условий:

1.Модель дает точное представление свойств оригинала, значительных с точки зрения исследуемой операции;

2.Модель дает возможность устранить упомянутые выше проблемы, характерные проведению исследований на действительных объектах[2].

Следовательно, можно сделать вывод, что модель это какой-либо графический рисунок, а моделирование – это тот процесс, с помощью которого мы можем создать модель. В современной науке существует множество разнообразных моделей. Наука не стоит на месте, следовательно классификация модели и моделирования с каждым годом будет пополнятся.

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ