Лаймен, Бальмер және Пашен формулалары

Егер Ридберг тұрақтысы екенін ескерсек, онда былай жазуға болады: (1.9)

Егер , десек, онда: .

Осы өрнек Лаймен формуласы деп аталады. Сутегі атомының электрондары екінші, үшінші және төртінші орбитадан бірінші орбитаға көшкенде атомның шығаратын фотонының спектрлік сызықтары осы Лаймен формуласымен анықталады. Ал , десек, онда , бұл Бальмер сериясы деп аталады. Бұл формула үшінші, төртінші, бесінші және т.с.с. орбиталардан екеінші орбитаға электрон келіп түскенде атомның шығаратын фотонының жиіліктерін анықтап береді. Сол сияқты , болғанда . Бұны Пашен сериясы деп атайды.

Кванттық сандар. Біріншіден, с утегі атомының шығаратын спектрі сызықтық екенін анықтағанмен Бор теориясы әр түрлі жиіліктегі сәулеленудің интенсивтігі неге әр түрлі болатынын және басқа да құбылыстарды түсіндіре алмады. Сондықтан Бор теориясы жетілдіре түсті. Атомдағы электронның күйі төрт кванттық санмен анықталады. Оның біреуімен біз таныспыз. Ол бас квант саны, ол электронның ядромен әсерлесуінен пайда болған энергияны анықтайды, . Екінші сан азимуттық немесе орбиталық квант саны деп аталады. Электрон эллипс бойымен қозғалуы мүмкін. Сонда бас квант саны эллипстің үлкен осінің ұзындығын анықтап береді. Сонда эллипстің кіші және үлкен жартылай осьтерін анықтайтын қосымша квант санын енгізу қажет. Ол сан осы азимуттық немесе орбиталық квант саны еді. Оны енгізген А.Зоммерфельд болатын-ды. Орбиталық квант саны мына мәндерге ие бола алады; және . Көбінесе натурал сандарды әріппен белгілейді, яғни Орбиталық квант саны мен электронның механикалық импульсінің арасында мынандай байланыс бар:

(1.10)

Үшіншісін магниттік квант саны деп атайды, ол ; ; ;...... -ге тең. Бұл сан электрон орбиталарының «кеңістіктегі квантталуын» көрсетеді. Атомға сырттан магнит өрісі әсер еткенде механикалық импульс моментінің индукция өрісінің бағытына проекциясы -осіне) мынаған тең

(1.11)

Басқаша айтқанда магниттік квант саны орбитаның бағытын көрсетеді.

Төртіншісі спиндік квант саны деп аталады. Ол , ол екі мәнге ие болады. Спин – электронның меншікті қозғалыс мөлшерінің моменті. Спин саны бір орбитада жататын электронның екі жағдайда болатынын сипаттайтын сан:

(1.12)

Электронның атомдағы жағдайын сипаттауға осы төрт квант саны жеткілікті.

Көп электронды атомдар, Паули принципі. Көп электронды атомдардың спектрін зерттей келгенде, олардың сутегі атомдары тәрізді, энергетикалық дискритті деңгейлерге ие болатыны анықталды. Деңгейлердің дискриттігі атомда бірнеше электрондық қабаттардың бар болуымен түсіндіріледі. Әрбір электрондық қабатты бірнеше стационар орбиталардың жиынтығы деп қарастыруға болады. Бір электрондық қабатқа кіретін орбиталар бірінен-бірі орбиталардың түріне (формуласын) немесе кеңістіктегі орналасуына байланысты өзгеше болуы мүмкін. Сондықтан бір электрондық қабатта қозғалып жүрген электрондар бірінен-бірі өзгеше күйде болады. Электрондар әр түрлі орбиталармен, ал бір орбитада тек екі электрон ғана қозғалуы мүмкін. Яғни екі электронның спиндік сандары әр түрлі. Электрондар орбиталарда, электрондық қабаттарда қандай заңдылықтарға сүйеніп орналасқан деген сұрақ туады. Бұған жауап беру үшін Паули принципін қарастырайық.

Атомға (молекулаға, кристалға) кіретін электрондар бірдей энергетикалық күйде бола алмайды. Басқаша айтқанда квант сандары бірдей болатын екі электронды табу мүмкін емес.

Олай болса, атомда қанша электрон болса да, олардың күйлері біріне-бірі ұқсамайды.

Паули принципін пайдалана отырып электрондық қабатта ең көп дегенде қанша электрон орналаса алады деген сұраққа жауап беруге болады. Бір электрондық қабатта ең көп дегенде - электрон орналаса алады, мұндағы бас квант саны, ол электрондық қабаттардың нөмірін де көрсетеді. Мысалы, мұнда қабат, , мұнда қабат, болғанда қабат, болғанда қабат, , қабат, болғанда қабат, болса қабат бар. Сонымен қабатта ең көп дегенде электрон болады, ал қабатта ең көп дегенде электрон болады, қабатта 32 электрон, қабатта 50 электрон болады.

Шредингер теңдеуін сутек атомына қолдану. Кванттық механика теориясының негізгі теңдеуі – Шредингер теңдеуі болып табылады. Енді осы теңдеуді пайдаланып, сутек атомының энергия деңгейлерін есеп табайық. Сутегі атомының ядросының өрісіндегі электронның потенциалық энергиясы Кулон заңы бойынша мына формула арқылы өрнектеледі.

(1.13)

мұндағы -ядродағы оң зарядтардың саны (сутек үшін ) - электронның ядродан қашықтығы. Енді осы потенциалық энергияның мәнін Шредингер теңдеуінің орнына қойсақ, онда теңдеу мына түрге келеді.

(1.14)

Бұл теңдеудің шешуі өте күрделі болғандықтан, оның шешуін келтірмей-ақ, тек физикалық мәнін ғана түсіндірейік.

Бұл теңдеуді шешуде - функциясы әрбір нүктеде бір мәнді, шектеулі және үздіксіз болсын және шексіз қашықтықта нолге айналады деген шарттар қойылса, онда энергияның ондай мәндері мына формула арқылы анықталады.

(1.15)

мұнда бүтін бас кванттық сандар. Осы формула Бор теориясы бойынша алынған, сутек атомның стационар күйінлегі энергиясы мен бірдей екенін көреміз.

Кванттық механиканың бір артықшылығы (1.15) формуланы шығарғанда ешбір қосымша гипотезалар мен болжаулар пайдаланылмайды. Сөйтіп атом энергиясының дискретті мәндері, толқындық теңдеудің меншікті мәндері ретінде табылады.

Шредингердің теңдеуінің шешімінен энергияның дискретті әрбір мәніне (негізгі күйінен басқа) функцияның бірнеше мәндері сәйкес келеді. Мысалы, атомның негізгі күйі ғана , - функциясының мәндері сәйкес келеді. Айталық, кванттық сан болса, онда функцияның 9 мәні, яғни функцияның әрбір жаңа мәніне атомдағы электронның белгілі бір күйлері сәйкес келіп отырады.

 

Кванттық статистика элементтері

 

Кванттық статистика. Фазалық кенестік.Таралу функциясы.

Кванттық жүйе бірдей бөлшектерден, мысалы электрондардан тұрады. Электрондардың бәрі бірдей физиқалық қасиетке ие, яғни олардың массасы, электр зарядтары, спиндері және ішкі сипаттамалары (мысалы, кванттық сандары) бәрі бірдей. Бұндай бөлшектер «ұқсас бөлшектер» немесе «теңбе-тең» бөлшектер деп аталады. Ұқсас бөлшектің қасиеті: ұқсас бөлшектің ажыратылмау принципі.

Микробөлшектердің қозғалыс зандары - бұл «кванттық механика» зандары, ал жеке бөлшектердің қозғалысын зерттеуден, өте көп болшектен тұратын жүйенің қозғалысына әкелетін әдіс «статистикалық» деп аталады. Бұдан, осындай жүйеде өтетін процестерді қарастыратын теория «кванттық статистика» деп аталады.

Осыған дейін біздер денелердегі өтіп жататын процестердің термодинамиқалық суреттемесін қарастырдық. Классиқалық статистика макроскопиялық дене қозғалысын зерттеді. Макроскопиялық дене – ыдыстағы газ, құм, темірдің бөлігі, т.б., яғни өте үлкен бөлшектердің санынан тұратын кез келген дене. Макроскопиялық денелердің қозғалыс заңдары Ньютонның заңдарымен сипатталады.

Жылулык процесстерді қарастырсақ, денелер қызғанда, суығанда олардың температуралары өзгереді. Температура - дене күйінің негізгі сипаттамасы. Оның өзгерісі денеде үлкен өзгерістерді туғызады. Газ сұйыққа, сұйық қатты денеге немесе керісінше айналуы мүмкін. Бұндай процестерді классикалық механикадан кейін пайда болған ғылым - термодинамика зерттейді.

Термодинамика - макроскопиялық жүйенің микроскопиялық құрылысына үнілмей, сол жүйенің жылулық қасиеттерін зерттейді.

Жүйе N бөлшектен тұрады. Жүйе бөлшектерінің барлық координаттары мен импульстарының көп өлшемді кеністігін қарастырайық. Мұндай кеңістіктің әрбір нүктесіне 6N бөлшек сәйкес келеді. Әрбір бөлшектің күйі үш х,у,z координаталарымен және р_х , р_у , р _z сәйкес импульстың проекцияларымен анықталады. Соған сәйкес берілген кеңістіктегі өзара перпендикуляр координаттық осьтердің саны - 6N. Бұндай 6N -өлшемді кеңістік «фазалық кеңістік» деп аталады. Фазалық кеңістіктегі нүкте жүйенің бөлшектерінің координаталары мен импульстары арқылы анықталады. Фазалық кеңістікті кішкене 6N -өлшемді элементар ұяшықтарға бөлеміз. Ұяшық көлемі:

dq dp=dq₁, dq₂,..., dq_3n dP₁, d P₂,..., dP_3n.

q - барлық бөлшектердің координаталарының жиынтығы, р – олардың импульс проекцияларының жиынтығы. Зат бөлшектерінің корпускула-толқындық дуализм қасиеті және Гейзенбергтің анықталмағандық қатыстары мынаған әкеледі: элементар ұяшықтың көлемі (фазалық көлем) Планк тұрақтысының куб (h³ -тен) мәнінен кем болмауы тиіс. Берілген жүйенің ықтималдығын dW таралу функциясының көмегімен беруге болады f (q, p):

dW=f (q,р) dq dp (1.1)

dW – берілген q, p нүктеге жақын орналасқан dq dp фазалық көлем элементіне фазалық кеңістектегі нүктенің түсу ықтималдығы. Басқа сөзбен айтқанда, dW – координатасы мен импульсы q, q+dq және р, р+dр интервалындағы жүйенің болу күйінің ықтималдығы. (1.1) формула, яғни таралу функциясы - ол жүйенің белгілі бір күйінің ықтималдығының тығыздығы, сондықтан ол 1-ге дейін нормаланады:

Таралу функциясын біле отырып, f(q,p) кванттық статистиканың негізі есебін шешуге болады, қарастырылатын жүйені сипаттайтын шамалардын орташа мәндерін ашықтауға болады. Кез келген функцияның орташа мәні:

(1.2)

Егер бөлшектің қозғалысын, координаталарын, импульстарын қарастырмай кванталаттын энергия арқылы қарастырсақ, онда жүйе күйі үзіліссіз емес, дискретті таралу функциясымен сипатталады. Американ физигі Д.Гиббс таралу функциясының жалпы түрін көрсетті. Ол «Гиббстің канондық таралуы»деп аталады. Ол былай жазылады:

(1,3)

А -нормалау шартынан анықталған тұрақты.

n - берілген күйдің ықтималдығы, яғни берілген энергияға тек біреу емес,бірнеше әртүрлі күйлер сәйкес келеді.

2. Бозе-Эйнштейн және Ферми-Дирактың кванттық статистикалары.

Классиқалық физикадағыдай, кванттық статистиканың зерттеу объектісі -идеал газ. Себебі көбіне реал жүйені жуықтап идеал газ түрінде қарастырамыз. Өзара әсерлеспейтің бөлшектер жүйесінің күйі толтыру саны N_i деп аталатын шамамен сипатталады. N_i - көп ұқсас бөлшектерден тұратын бөлшектер жүйесінің кванттық сандарының жиынымен сипатталатын, кванттық күйлерді толтыру дәрежесін көрсететін сан.

Нольдік немесе бүтін спинді болшектер бозондар деп аталады. Мысалы: π-мезон,фотон.

Бозондардан құрылған бөлшектер жүйесі үшін, толтыру саны кез келген мәнді қабылдауы мүмкін: 0,1,2,......

Жартылай бүтін спинді бөлшектер фермиондар деп аталады. Мысалы: электрон,протон,нейтрон.

Фермиондардан құрылған бөлшектер жүйесі үшін толтыру саны тек қана 2 мәнді қабылдайды:

0- еркін күйлер үшін.

1- бос емес күй үшін.

Толтыру санының барлық қосындысы жүйе бөлшектерінің санына тең болуы керек.

Кванттық статистика берілген кванттық күйдегі бөлшектердің орташа санын санауға мүмкіндік береді, яғни < Ni >толтыру санының орташа мәнін анықтайды.

Бозондардан тұратын идеал газ –«бозе газ» –«Бозе-Эйнштейннің» кванттық статистикасымен сипатталады.

Бозондардың энергия бойынша таралуы Гиббстің үлкен канондық таралуынан шығады. Берілген кванттық күйдегі ұқсас бозондардың саны кез кезлген болуы мүмкін:

(1.4)

Бұл таралу «Бозе-Эйнштейн» таралуы деп аталады.

< N_i > - энергиясы E_i күйдегі бозондардың орташа саны.

к - Больцман тұрақтысы, Т – термодинамикалық температура, μ - химиялық потенциал. Ол жүйенің ішкі энергиясының өзгерісін анықтайды.

 

Фермиондардан туратын идеал газ - ферми газ - Ферми-Дирактың кванттық статистикасымен сипатталады.

Фермиондардың энергия бойынша таралуы:

(1.5)

< N_i > -энергиясы Е_і күйдегі фермиондардың орташа саны.

μ -химиялық потенциал.

Бұл таралу (1.5) Ферми-Дирак таралуы болып саналады.

Егер болса, онда Бозе -Эйнштейн және Ферми-Дирак таралулары классикалық Максвелл таралуына ауысады.

(1.6)

Өте жоғары температурада екі кванттық газдарда (бозе-газ және ферми-газ) классиқалық газге айналады. Егер бөлшектер жүйесінің қасиеттері классикалық статистикаға бағынатын жүйе қасиеттерінен айтарлықтай өзгеше болатын болса, онда бұл жүйе азғындалған жүйе.

Бозе-газ және ферми-газдың қозғалысы классикалық газге қарағанда өзгеше. Газдың азғындалуы өте төмен температурада және үлкен тығыздықта білінеді.

«Азғындалу параметрі» - .

, яғни азғындалу дәрежесінің өте кіші мәнінде Бозе-Эйнштейн және Ферми-Дирактың таралуы классикалық Максвелл-Больцман таралуына ауысады.

 

 

3. Металдағы азғындалған электрондық газ.

Электрондардың әртүрлі кванттық күйлер бойынша таралуы Паули принципіне бағынады, яғни бір күйде бірдей екі электронның (квант сандары бірдей) болуы мүмкін емес, олар қандай да бір сипаттамасымен өзгешеленуі керек. Сонымен қатар, кванттық теория бойынша, электрондар металда ең төменгі энергетикалық денгейде 0 К ельвинде орналаса алмайды. Паули принципі электрондарды «энергетикалық баспалдақтармен» жоғары шығуға мәжбүрлейді. Металдағы өткізгіштік электрондарын идеал газ деп қарастыруға болады. Ол Ферми-Дирак таралуына (1.4) бағынады. Егер - температурасы 0 Кельвиндегі электронды газдың химиялық потенциалы болса, онда (1.4) формуладағы энергиясы энергетикалық денгейдегі кванттық күйде электрондардың орташа саны:

= (1.7)

Егер E<μ₀ болса, осы (1.7)) формуладан T=0K -де таралу функциясы:

=1

егер E>μ₀ болса, таралу функциясы:

=0

Бұл функцияның графигі 1- суретте көрсетілген.

a) б)

1 1 T=0K

T=0K T>0K

0 E= E 0 E_F= E

1- сурет

0-ден μ₀ –ге дейінгі энергия аймағында <N (E)>=1. Е=μ₀ аймағында функция нольге дейін секірмелі өзгереді. Температурасы 0 Кельвинде барлық төменгі кванттық күйлер, Е=μ₀ күйге дейін электронмен толтырылады. Ал энергиясы Е>μ₀ күйлердің бәрі электроннан бос. μ₀ - 0Кельвин температурада металдағы өткізгіштік электрондарының максимал энергиясы. Бұл максимум энергия «Ферми энергия» деп аталады, белгіленуі E_F.

E_F= μ₀ болса, Ферми-Дирак таралуы былай жазылады:

= (1.8)

Электрондармен толтырылған ең жоғарғы энергетикалық деңгей «Ферми деңгейі» деп аталады. Ферми деңгейіне осы деңгейде электрондары бар Ферми энергия сәйкес келеді. Ферми деңгейі электрондық газдың тығыздығы көп болған сайын, жоғары орналасады.

4. Жылу сыйымдылықтың кванттық теориясы туралы түсінік. Фонондар.

Кванттық статистика газдардың (көбінесе, екі атомды) жылусыйымдылығының температураға тәуелділігін түсіндірудегі қиыншылықтарды жойды. Кванттық механикаға сәйкес, молекулалардың айналмалы қозғалысының энергиясы мен молекуладағы атомның тербеліс энергиясы дискретті мәндерге ие болады. Егер жылулық қозғалысының энергиясы көршілес энергия деңгейлерінің энергия айрымынан айтарлықтай аз болса (кТ=∆Е), онда молекулалардың соқтығысуы кезінде айналмалы және тербелмелі еркіндік дәрежелері іс жүзінде қозбайды. Сондықтан төмен температурада екі атомды газдың қозғалысы бір атомдыға ұқсас.

Көршілес айналмалы энергия деңгейлерінің арасындағы айырым, тербелмелі энергия айырымдарына қарағанда айтарлықтай кіші, яғни _, онда температураның артуымен басында айналмалы еркіндік дәрежесі қозады, нәтижесінде жылусыйымдылық артады; әрі қарай температура артуымен тербелмелі еркіндік дәрежесі артады және жылусыйымдылықтың одан әрі артуы жүреді.

Ферми-Дирактың таралу функциясы Т=0 және Т>0 температуралар үшін энергияның жіңішке аймағында (кТ) бір бірінен кәдімгідей айырмашылығы болады. Демек, металды қыздыру процесінде өткізгіштік электрондарының болмашы бөлігі қатысады. Металл мен диэлектриктің жылу сыйымдылықтарының арасындағы айтарлықтай айырмашылықтың болмауын кванттық механика осылай түсіндіреді.

Классикалық теория қатты дененің жылу сыйымдылығының температураға тәуелділігін түсіндіре алмады, ал кванттық статистика бұл мәселені шешті. А.Эйнштейн, кристалдық тордағы атомдардың тербелісі тәуелсіз деп жуықтап есептеп, кристалдық тордың жылусыйымдылығының сапалы кванттық теориясын жасады, оны әрі қарай Дебай дамытты. Дебай осциллятор жиілігінің үзіліссіз спектрін қарастыра отырып, кванттық осциллятордың орташа энергиясына негізгі үлесті серпімді толқындарға сәйкес келетін төмен жиілікті тербелістер енгізеді деп көрсетті. Сондықтан, қатты дененің жылулық қозуын кристалда таралатын серпімді толқындар түрінде сипаттауға болады. Заттардың корпускула-толқындық қасиетіне сәйкес, кристалдағы серпімді толқындарға энергиясы бар, фонондарды сәйкестендіреді. Фонон дегеніміз дыбыс толқындарының энергия кванты (дыбыс толқындары-серпімді толқындар). Фонондар өздерін микробөлшектер тәрізді көрсететін элементар толқулар (возбуждения). Электромагниттік толқындардың квантталуы фотондар жөніндегі түсінікке әкелсе, серпімді толқындардың квантталуы фонондар жөніндегі түсінікке әкелді.

Квазибөлшектер, соның ішінде фонондар кәдімгі бөлшектерден (электрон, протон, фотон) қатты айырмашылығы бар, себебі олар жүйенің көп бөлшектерінің ұжымдық қозғалысымен (коллективное движение) байланысты. Квазибөлшектер вакуумде пайда бола алмайды, олар тек кристалл ішінде бар болады. Фононның импульсының өзіндік қасиеті бар: кристалл ішінде фонондардың соқтығысуы кезінде олардың импульсы кристалдық торға дискретті порция түрінде беріледі – ол өзі бұл кезде сақталмайды. Сондықтан, фонондар жағдайында квазиимпульс жөнінде сөз болады.

Кристалдық тордың энергиясы Бозе-Эйнштейн статистикасына бағынатын фонондық газ энергиясы түрінде қарастырылады, өйткені фонондар бозондар болып есептеледі, олардың спині нольге тең. Фонондар шағылады және жұтылады, бірақ олардың саны тұрақты сақталмайды, сондықтан (1.4) формуладағы μ=0.

Квазибөлшектердің моделі – фонондар – П.Л.Капица ашқан сұйық гелийдің асқын аққыштық құбылысын түсіндіру үшін тиімді болды. Бұл құбылыстың теориясы әрі қарай асқын өткізгіштік құбылысын түсіндіруде қолданылды.