клетки доски 9х9 расставляют королей и коней, чтобы они били все клетки. Каким наименьшим числом фигур можно обойтись?

клетки доски 9х9 расставляют королей и коней, чтобы они били все клетки. Каким наименьшим числом фигур можно обойтись?

2. Из шахматной доски размером 8×8 вырезали квадрат размером 2×2 так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером 1×3. Определите, какой квадрат могли вырезать.

3. На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)

4. Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.

Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

5. Какое наименьшее число прямоугольников 2х1 клетки нужно закрасить на доске 8х8 клеток, чтобы любой квадрат 2х2 клетки содержал по крайней мере одну закрашенную клетку?

6. Какое наименьшее число прямоугольников 3х1 клетки нужно закрасить на доске 9х9 клеток, чтобы любой квадрат 3х3 клетки содержал по крайней мере одну закрашенную клетку?

7. Из доски 7х7 вырезали 7 прямоугольников 2х1. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать уголок из трех клеток, направленный в правый нижний угол.

8. Квадрат 15x15 разбит на квадратики 1x1. Из этих квадратиков выбрали несколько, и в каждом из выбранных провели одну или две диагонали. Оказалось, что никакие две проведенные диагонали не имеют общего конца. Какое наибольшее число диагоналей может быть проведено?

9. Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B – количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b).

10. Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.

11. Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых. Докажите, что найдется квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.

 

 

28-29 декабря 2016. Комбинаторные объекты

клетки доски 9х9 расставляют королей и коней, чтобы они били все клетки. Каким наименьшим числом фигур можно обойтись?

2. Из шахматной доски размером 8×8 вырезали квадрат размером 2×2 так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером 1×3. Определите, какой квадрат могли вырезать.

3. На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)

4. Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.

Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

5. Какое наименьшее число прямоугольников 2х1 клетки нужно закрасить на доске 8х8 клеток, чтобы любой квадрат 2х2 клетки содержал по крайней мере одну закрашенную клетку?

6. Какое наименьшее число прямоугольников 3х1 клетки нужно закрасить на доске 9х9 клеток, чтобы любой квадрат 3х3 клетки содержал по крайней мере одну закрашенную клетку?

7. Из доски 7х7 вырезали 7 прямоугольников 2х1. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать уголок из трех клеток, направленный в правый нижний угол.

8. Квадрат 15x15 разбит на квадратики 1x1. Из этих квадратиков выбрали несколько, и в каждом из выбранных провели одну или две диагонали. Оказалось, что никакие две проведенные диагонали не имеют общего конца. Какое наибольшее число диагоналей может быть проведено?

9. Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B – количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b).

10. Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.

11. Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых. Докажите, что найдется квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.