сследование свойств квадратичной регрессионной модели

3.5.1. Анализ значимости коэффициентов регрессии. Как и для ОЦКП, точность оценки коэффициентов регрессии при использовании РЦКП для разных групп неодинакова, поскольку условие нормировки и в этом случае не соблюдается, т.к. (u – номер любого столбца, кроме нулевого).

Проверка значимости коэффициентов проводится точно также, как и для коэффициентов, построенных на основании ОЦКП (пункт 2.5), однако, формулы для вычисления оценки дисперсий коэффициентов иные. Расчетные соотношения приведены ниже:

, (35)

, (36)

, (37)

, (38)

где s ² _воспр — дисперсия воспроизводимости, вычисленная в соответствии с (34).

Кроме того, если параллельные опыты проводились только в центре плана, то число степеней свободы для значения критерия Стьюдента вычисляется в соответствии с выражением γ = N - K -1+ N ₀(m -1), где K — количество коэффициентов регрессионной модели.

Необходимо помнить, что при РЦКП оценки коэффициентов регрессии при линейных членах и парных взаимодействиях не коррелированы с оценками других коэффициентов, а при квадратичных членах – коррелированны между собой и оценкой свободного члена. Исключение любого из квадратичных членов приводит к изменению оценок остальных, а также оценки свободного члена b ₀.

3.5.2. Проверка адекватности модели. Проверка адекватности полученной регрессионной модели проводится по критерию Фишера, в соответствии с расчетным соотношением (21).

Оценим остаточную дисперсию построенной регрессионной модели. Будем предполагать, что параллельные опыты проводятся только в центральных точках плана. Тогда остаточная сумма квадратов отклонений экспериментальных данных y_i и теоретических значений отклика может быть записана:

т.е. первое слагаемое представляет собой остаточную сумму квадратов отклонений в точках ПФЭ (или ДФЭ) и в «звездных» точках, а второе — сумму квадратов отклонений в центре плана. Эти слагаемые определяют общее рассеяние результатов наблюдений отклика относительно оценки регрессионной модели.

Перепишем последнее выражение в виде:

здесь — среднее значение отклика в центре плана.

Общее рассеяние связано со случайными погрешностями наблюдений, возникающими в результате влияния неконтролируемых факторов и систематическими погрешностями в случае неадекватности регрессионной модели и функции отклика. Третье слагаемое остаточной суммы связано с дисперсией, характеризующейся только случайной погрешностью опыта. Следовательно, с остаточной дисперсией (дисперсией адекватности) связана сумма:

Оценку остаточной дисперсии рассчитывают по формуле

, (39)

где y_i и — значения отклика экспериментальное и теоретическое, вычисленное в i -й точке факторного пространства, на основании модели (1). Степень свободы, связанная с числителем равна

. (40)

Если в каждой точке рототабельного центрального композиционного плана проводилось m параллельных опытов, то, проделав аналогичные выкладки, можно получить выражение для остаточной суммы, связанной с дисперсией адекватности. В этом случае значение отклика y_i в выше приведенных выражениях заменяется средним значением отклика , вычисленным по результатам экспериментов в каждой i-й точке факторного пространства.

Дисперсия воспроизводимости s ² _воспр вычисляется по формуле (9), если проводились параллельные опыты в каждой точке факторного пространства, при этом степень свободы будет равна

. (41)

Если параллельные опыты проводились только в центре плана, то дисперсия воспроизводимости вычисляется по формуле (34), а связанная с ней степень свободы равна γ ₂= N ₀-1.

Расчетное значение критерия Фишера сравнивается с табличным значением, определенным при заданном уровне значимости α и степенях свободы γ ₁ и γ ₂. Если F_расч < F_табл, то построенная модель является адекватной экспериментальным данным при уровне значимости α.

онтрольные вопросы.

1. В чем сущность рототабельного ЦКП и какие ММ он позволяет построить?

2. В чем сущность и цель стандартизации масштаба факторов?

3. Как составляется и какими свойствами обладает МП рототабельного ЦКП?

4. Как определяется число опытов РЦКП?

5. Что такое «звездное плечо» и из каких соображений выбирается его значение?

6. Как проверить воспроизводимость опытов?

7. Как определяется оценка дисперсии воспроизводимости?

8. Как рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения?

9. Как проверить статистическую значимость оценок коэффициентов регрессии?

10. Как проверить адекватность полученной ММ?

11. Как перейти к исходным физическим переменным?

12. В чем различия планов РЦКП и ОЦКП?

3.7. Пример расчета РЦКП

Расчет РЦКП проведен для примера, представленного в пункте 2.7. Условия проведения эксперимента приведены в таблице 6. Воспроизводимость опыта исследуем на основе проведения пяти параллельных опытов в центре плана. Матриц планирования и результаты проведения экспериментов представлены в таблице 11.

Замечание 1. Для наборов факторов ядра и «звездных точек» параллельные опыты не проводились, поэтому в колонке 14 таблицы 11приведены значения отклика y_i для i =1, N - N ₀.

Замечание 2. Для наборов факторов в центре плана ставились параллельные опыты, m=5 и по значениям откликов вычислялись средние значения и дисперсия отклика в каждой точке факторного пространства. Результаты вычислений приведены соответственно в колонках 14 и 15 таблицы 11.

Воспроизводимость опыта определяется по результатам эксперимента в центральных точках плана в соответствии с (34) Проведем анализ воспроизводимости опыта на основе критерия Кохрена в соответствии с (11): G_расч =0,385, табличное значение критерия определяем при уровне значимости α =0,05 и степенях свободы γ ₁= m -1=4, γ ₂= N ₀=5, получаем G_табл (α; γ ₁; γ ₂)=0,589. Так как G_расч < G_табл, опыт является воспроизводимым, и его результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессионного уравнения.

При расчете коэффициентов регрессионного уравнения используются значения отклика y_i для i =1, N - N ₀ и значения y_ср_i для i = N - N ₀+1, N.

В соответствии с расчетными формулами (23)-(33) можно определить коэффициенты регрессионной модели. Для анализа значимости коэффициентов необходимо вычислить погрешности определения коэффициентов модели на основании соотношений (35)-(38). Результаты расчетов в таблице 12.

Для принятия решения о значимости коэффициентов уравнения регрессии расчетное значение критерия Стьюдента t_расч сравнивается с табличным значением. Табличное значений критерия Стьюдента t_табл выбирается при уровне значимости α =0,05 и степени свободы γ = N - K -1+ N ₀(m -1)=21, t_табл=2,08. Неравенство t_расч < t_табл выполняется для коэффициента b ₁₁, который приравнивается к нулю и исключается из регрессионной модели.

Таблица 12 — Результаты анализа значимости коэффициентов для РЦКП.

	b ₀	b ₁	b ₂	b ₁₂	b ₁₁	b ₂₂
расчетные формулы	26, 30	27, 31	27, 31	28, 32	29, 33	29, 33
коэффициенты регрессионной модели	10,81	5,78	0,48	2,32	-0,06	-0,72
расчетные формулы
погрешности определения коэффициентов	0,184	0,094	0,094	0,152	0,108	0,108
t_расч	25,177	18,883	1,573	5,962	0,185	2,194
вывод	зн	зн	зн	зн	нзн	зн

Проверка адекватности построенной модели выполняется в соответствии с критерием Фишера (21). Согласно выражениям (34) дисперсия воспроизводимости равна s ² _воспр =0,749, остаточная дисперсия в соответствии с (39) составляет s ² _ост = 1,71. Расчетное значение критерия Фишера равно F_расч =2,29. Табличное значение критерия Фишера F_табл выбирается при уровне значимости α =0,05 и степенях свободы (40) и (41), F_табл =2,78. Неравенство F_расч < F_табл выполняется, поэтому построенная регрессионная модель считается адекватной экспериментальным данным.

Перейдем от кодированных значений факторов к натуральному исчислению в соответствии с выражением (7) и условиями проведения эксперимента в таблице 6:

P=22,66-9,165R1-1,637R2+3,843R1R2—2,38R2².

Таким образом, полученное выражение может представлять, как и модель (23), характер функциональной зависимости средней потребляемой мощности P интегральной транзисторно-транзисторной логической схемы в области изменения номиналов резисторов 4,2≤R1≤6,4кОм, 3,2≤R2≤4,3 кОм.

4. Индивидуальные задания для выполнения лабораторной работы

Задания выполняются в соответствии с индивидуальными вариантами, приведенными в Приложении Г. Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы.

Вариант задания представляет собой результаты ЦКП и содержит: ядро в виде ПФЭ типа 2², четыре «звездные» точки и пять точек в центре плана. В ходе эксперимента в каждой точке факторного пространства проводились три параллельных опыта. Порядок проведения опытов соответствует матрице эксперимента, представленной в таблице 1. При использовании ОЦКП можно выбрать любую строчку из центральных точек плана.

В ходе выполнения индивидуального задания требуется по предложенным экспериментальным данным построить регрессионные квадратичные модели на основе применения ОЦКП и РЦКП и провести регрессионный анализ моделей. Для этого необходимо:

— построить матрицу планирования экспериментов;

— проверить воспроизводимость опытов;

— рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения для двух центральных композиционных планов;

— проверить адекватность полученных моделей;

— провести анализ результатов и сделать выводы.

5. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА О ВЫПОЛНЕНИИ лабораторной работы

Отчет о выполненной работе должен содержать:

1. Цель работы.

2. Постановку задачи.

3. Матрицу планирования экспериментов.

4. Результаты проверки воспроизводимости опытов.

5. Результаты расчетов коэффициентов регрессионных моделей и проверки из статистической значимости.

6. Результаты проверки адекватности полученных моделейисходным экспериментальным данным.

7. Выводы и предложения о ходе дальнейших исследований, составленные на основании анализа регрессионных моделей.

Библиографический список

2. Космин В.В. Основы научных исследований: Учебное пособие для магистров / В.В. Космин. — М.: РИОР: ИНФРА-М, 2013. — 213 с.

3. Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных. / Н.И. Сидняев — М.: Юрайт-Издат, ООО, 2012. — 399с.

Приложение А

G-распределение Кохрена

(значение G*100 в зависимости от числа степени свободы γ₁, γ₂) и a = 0.05

γ₂ γ₁

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Распределение Стьюдента.

Значения t–критерия Стьюдента при 5%-ном уровне значимости

Число степеней свободы	Значения t-критерия
	12.71
	4.303
	3.182
	2.776
	2.571
	2.447
	2.365
	2.306
	2.262
	2.228
	2.201
	2.179
	2.160
	2.145
	2.131
	2.120
	2.110
	2.101
	2.093
	2.086
	2.080
	2.074
	2.069
	2.064
	2.060
	2.056
	2.052
	2.048
	2.045
	2.042
¥	1.960

Приложение В

Распределение Фишера.

Значения F–критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости

ν1 ν2									¥
	164.4	199.5	215.7	224.6	230.2	234.0	244.9	249.0	254.3
	18.5	19.2	19.2	19.3	19.3	19.3	19.4	19.4	19.5
	10.1	9.6	9.3	9.1	9.0	8.9	8.7	8.6	8.5
	7.7	6.9	6.6	6.4	6.3	6.2	5.9	5.8	5.6
	6.6	5.8	5.4	5.2	5.1	5.0	4.7	4.5	4.4
	6.0	5.1	4.8	4.5	4.4	4.3	4.0	3.8	3.7
	5.5	4.7	4.4	4.1	4.0	3.9	3.6	3.4	3.2
	5.3	4.5	4.1	3.8	3.7	3.6	3.3	3.1	2.9
	5.1	4.3	3.9	3.6	3.5	3.4	3.1	2.9	2.7
	5.0	4.1	3.7	3.5	3.3	3.2	2.9	2.7	2.5
	4.8	4.0	3.6	3.4	3.2	3.1	2.8	2.6	2.4
	4.8	3.9	3.5	3.3	3.1	3.0	2.7	2.5	2.3
	4.7	3.8	3.4	3.2	3.0	2.9	2.6	2.4	2.2
	4.6	3.7	3.3	3.1	3.0	2.9	2.5	2.3	2.1
	4.5	3.7	3.3	3.1	2.9	2.8	2.5	2.3	2.1
	4.5	3.6	3.2	3.0	2.9	2.7	2.4	2.2	2.0
	4.5	3.6	3.2	3.0	2.8	2.7	2.4	2.2	2.0
	4.4	3.6	3.2	2.9	2.8	2.7	2.3	2.1	1.9
	4.4	3.5	3.1	2.9	2.7	2.6	2.3	2.1	1.9
	4.4	3.5	3.1	2.9	2.7	2.6	2.3	2.1	1.9
	4.3	3.4	3.1	2.8	2.7	2.6	2.2	2.0	1.8
	4.3	3.4	3.0	2.8	2.6	2.5	2.2	2.0	1.7
	4.2	3.4	3.0	2.7	2.6	2.5	2.2	2.0	1.7
	4.2	3.3	3.0	2.7	2.6	2.4	2.1	1.9	1.7
	4.2	3.3	2.9	2.7	2.5	2.4	2.1	1.9	1.6
	4.1	3.2	2.9	2.6	2.5	2.3	2.0	1.8	1.5
	4.0	3.2	2.8	2.5	2.4	2.3	1.9	1.7	1.4
	3.9	3.1	2.7	2.5	2.3	2.2	1.8	1.6	1.3
¥	3.8	3.0	2.6	2.4	2.2	2.1	1.8	1.5	1.0

Приложение Г

25,40	26,63	24,66	28,21	29,58	27,39	5,04	5,28	4,89
59,76	59,54	57,72	66,37	66,13	64,11	11,85	11,81	11,45
47,40	47,23	46,17	52,64	52,45	51,28	9,40	9,37	9,16
82,07	78,17	81,11	91,15	86,82	90,09	16,28	15,50	16,09
33,49	35,05	36,70	37,20	38,93	40,77	6,64	6,95	7,28
67,32	67,22	68,83	74,77	74,66	76,45	13,35	13,33	13,65
41,47	41,13	43,81	46,05	45,68	48,66	8,22	8,16	8,69
59,59	59,77	60,86	66,18	66,39	67,60	11,82	11,85	12,07
49,84	49,01	48,80	55,35	54,44	54,20	9,88	9,72	9,68
45,64	52,89	48,00	50,69	58,74	53,31	9,05	10,49	9,52
48,15	45,02	52,92	53,48	50,00	58,78	9,55	8,93	10,50
49,15	45,87	51,74	54,58	50,94	57,47	9,75	9,10	10,26
53,34	48,89	45,61	59,24	54,30	50,65	10,58	9,70	9,05

2,52	2,64	2,45	2,29	2,40	2,23	29,16	31,62	33,66
5,93	5,90	5,72	5,39	5,37	5,21	72,89	71,16	75,80
4,70	4,68	4,58	4,28	4,26	4,17	59,22	59,73	57,64
8,14	7,75	8,04	7,41	7,05	7,32	95,08	99,11	101,75
3,32	3,48	3,64	3,02	3,16	3,31	43,84	46,29	45,24
6,68	6,67	6,83	6,08	6,07	6,21	85,31	83,32	83,95
4,11	4,08	4,34	3,74	3,71	3,95	54,15	50,54	48,13
5,91	5,93	6,04	5,38	5,39	5,49	75,02	69,40	74,06
4,94	4,86	4,84	4,50	4,42	4,40	59,83	60,40	57,93
4,53	5,24	4,76	4,12	4,77	4,33	58,64	62,57	57,97
4,78	4,46	5,25	4,35	4,06	4,78	66,69	63,47	61,58
4,87	4,55	5,13	4,43	4,14	4,67	61,56	57,30	63,35
5,29	4,85	4,52	4,81	4,41	4,12	59,90	59,99	60,06

19,41	21,05	22,41	9,71	10,52	11,20	4,85	5,26	5,60
48,53	47,37	50,47	24,26	23,69	25,23	12,13	11,84	12,62
39,42	39,76	38,37	19,71	19,88	19,19	9,86	9,94	9,59
63,30	65,98	67,74	31,65	32,99	33,87	15,83	16,49	16,93
29,18	30,82	30,11	14,59	15,41	15,06	7,30	7,70	7,53
56,79	55,47	55,89	28,40	27,74	27,95	14,20	13,87	13,97
36,05	33,64	32,04	18,02	16,82	16,02	9,01	8,41	8,01
49,94	46,20	49,30	24,97	23,10	24,65	12,49	11,55	12,33
39,83	40,21	38,57	19,91	20,10	19,28	9,96	10,05	9,64
39,04	41,65	38,59	19,52	20,83	19,30	9,76	10,41	9,65
44,40	42,25	40,99	22,20	21,13	20,50	11,10	10,56	10,25
40,98	38,15	42,17	20,49	19,07	21,09	10,25	9,54	10,54
39,88	39,94	39,98	19,94	19,97	19,99	9,97	9,98	10,00


4,42	4,79	5,10	5,33	5,70	6,01	3,46	3,70	3,91
11,04	10,78	11,48	11,95	11,69	12,39	7,77	7,60	8,05
8,97	9,05	8,73	9,88	9,96	9,64	6,42	6,47	6,27
14,40	15,01	15,41	15,31	15,92	16,32	9,95	10,35	10,61
6,64	7,01	6,85	7,55	7,92	7,76	4,91	5,15	5,04
12,92	12,62	12,72	13,83	13,53	13,63	8,99	8,79	8,86
8,20	7,65	7,29	9,11	8,56	8,20	5,92	5,57	5,33
11,36	10,51	11,22	12,27	11,42	12,13	7,98	7,42	7,88
9,06	9,15	8,77	9,97	10,06	9,68	6,48	6,54	6,29
8,88	9,48	8,78	9,79	10,39	9,69	6,36	6,75	6,30
10,10	9,61	9,33	11,01	10,52	10,24	7,16	6,84	6,65
9,32	8,68	9,59	10,23	9,59	10,50	6,65	6,23	6,83
9,07	9,09	9,10	9,98	10,00	10,01	6,49	6,50	6,50

14,99	15,86	14,51	8,82	9,33	8,54	8,2	8,7	7,9
34,98	34,13	33,61	20,58	20,08	19,77	19,9	19,4	19,1
26,02	26,13	26,11	15,31	15,37	15,36	14,7	14,7	14,7
46,21	46,42	48,43	27,18	27,31	28,49	26,5	26,7	27,8
20,30	23,57	20,27	11,94	13,87	11,92	11,3	13,2	11,3
41,23	40,62	38,31	24,25	23,89	22,54	23,6	23,2	21,9
24,69	25,61	23,08	14,52	15,07	13,58	13,9	14,4	12,9
35,92	35,49	36,55	21,13	20,88	21,50	20,5	20,2	20,8
30,51	30,80	30,76	17,95	18,12	18,10	17,3	17,5	17,4
28,14	29,97	28,45	16,55	17,63	16,73	15,9	17,0	16,1
31,71	32,13	28,62	18,65	18,90	16,84	18,0	18,3	16,2
29,76	30,90	27,10	17,51	18,18	15,94	16,9	17,5	15,3
28,25	28,68	24,05	16,62	16,87	14,15	16,0	16,2	13,5


7,4	7,9	7,2	4,83	5,13	4,66	2,85	3,01	2,75
18,1	17,7	17,4	11,79	11,49	11,31	6,64	6,48	6,38
13,3	13,4	13,4	8,67	8,71	8,70	4,94	4,96	4,95
24,1	24,3	25,3	15,69	15,77	16,47	8,77	8,81	9,19
10,3	12,0	10,3	6,68	7,82	6,67	3,85	4,47	3,85
21,5	21,2	19,9	13,96	13,75	12,95	7,82	7,71	7,27
12,6	13,1	11,8	8,21	8,53	7,65	4,68	4,86	4,38
18,6	18,4	19,0	12,11	11,96	12,33	6,82	6,73	6,94
15,7	15,9	15,9	10,23	10,33	10,32	5,79	5,84	5,84
14,5	15,5	14,6	9,41	10,04	9,51	5,34	5,69	5,40
16,4	16,6	14,7	10,65	10,80	9,57	6,02	6,10	5,43
15,3	16,0	13,9	9,97	10,37	9,05	5,65	5,86	5,14
14,5	14,8	12,3	9,44	9,59	7,98	5,36	5,44	4,56

7,05	7,64	8,14	27,94	29,58	30,94	11,51	13,15	14,51
17,62	17,20	18,33	57,06	55,90	58,99	40,63	39,47	42,57
14,32	14,44	13,94	47,95	48,29	46,90	31,52	31,86	30,48
22,99	23,96	24,60	71,83	74,51	76,27	55,40	58,08	59,84
10,60	11,19	10,94	37,71	39,34	38,64	21,28	22,92	22,21
20,63	20,15	20,30	65,32	64,00	64,42	48,89	47,57	47,99
13,09	12,22	11,64	44,58	42,17	40,57	28,15	25,74	24,14
18,14	16,78	17,91	58,47	54,73	57,83	42,04	38,30	41,40
14,46	14,60	14,01	48,36	48,74	47,09	31,93	32,31	30,67
14,18	15,13	14,01	47,57	50,18	47,12	31,14	33,75	30,69
16,12	15,34	14,89	52,93	50,78	49,52	36,50	34,35	33,09
14,88	13,85	15,32	49,51	46,67	50,70	33,08	30,25	34,27
14,48	14,50	14,52	48,40	48,46	48,51	31,98	32,04	32,08


16,50	17,30	16,02	21,61	23,15	20,69	2,19	2,30	2,13
38,82	38,69	37,50	64,54	64,27	62,00	5,15	5,14	4,98
30,80	30,69	30,00	49,10	48,88	47,57	4,09	4,07	3,98
53,32	50,79	52,70	92,42	87,54	91,22	7,08	6,74	7,00
21,76	22,78	23,85	31,72	33,67	35,74	2,89	3,02	3,17
43,74	43,68	44,72	73,99	73,87	75,88	5,81	5,80	5,94
26,94	26,72	28,46	41,68	41,27	44,61	3,58	3,55	3,78
38,72	38,84	39,55	64,33	64,56	65,92	5,14	5,16	5,25
32,38	31,85	31,70	52,14	51,12	50,84	4,30	4,23	4,21
29,66	34,36	31,18	46,90	55,96	49,84	3,94	4,56	4,14
31,29	29,25	34,38	50,04	46,12	56,00	4,15	3,88	4,56
31,93	29,80	33,62	51,28	47,18	54,53	4,24	3,96	4,46
34,66	31,77	29,63	56,52	50,97	46,86	4,60	4,22	3,93

Заказ №______от «_____»___________ 2016. Тираж__________экз.

СевГУ