етодические указания по выполнению отдельных разделов

3.2.1. Требования к оформлению графиков и диаграмм регламентируются ГОСТ 2.319-81

1. Оси координат, оси шкал следует выполнять сплошными основными линиями с толщиной s от 0,5 до 1,4 мм. На диаграмме одной функциональной зависимости ее изображение выполняется линией с толщиной 2 s. Допускается в случаях, когда необходимо обеспечить точность отсчета, использовать линии меньшей толщины.

2. Обозначения физических величин и единиц их измерения наносятся на график одним из способов указанных в ГОСТ. Числовые значения величин по осям координат изображают шкалами. Количество числовых значений на шкалах должно быть минимально необходимым (не менее трех значений, включая нулевое). Числа на шкале должны быть удобны для интерполяции и, обычно, кратны основанию системы исчисления, т.е. 10 (например, 1, 2, 3... или 10, 20, 30...). Многозначные числовые значения по осям координат следует приводить в виде произведения целых чисел на некоторый постоянный множитель, который следует указывать при буквенном обозначении физической величины, или использовать приставки к обозначению единицы СИ (например, МПа, кН). Если проект выполняется с использованием графоаналитических методов, то рядом с графиками указываются масштабы физических величин.

3. Для диаграмм предназначенных для практических расчетов, чтобы облегчить их чтение, рекомендуется применять координатную сетку. Толщина линий координатной сетки и других вспомогательных линий 0,3-0,5 s. Точки на графике, являющиеся результатом расчетов или измерений, обозначают графическим маркером (кружочками, крестиками, треугольниками и т.п.).

4. Следует избегать графиков с большими свободными участками, не занятыми кривыми. Для этого числовые деления на осях координат следует начинать не с нуля, а с тех значений, в пределах которых рассматривается функция.

5. Использование текстовых наименований величин, расположенных вдоль осей координат, не желательно.

Широко применяются диаграммы в прямоугольных координатах, на которых ярко выражена кривая, отображающая общую зависимость функции от аргумента. Основные правила выполнения диаграмм установлены в рекомендациях Р 50-77-88 «ЕСКД. Правила выполнения диаграмм».

Оси координат. Значения величин, связанных изображаемой функциональной зависимостью, указываются на осях координат в виде шкал. Качественное изображение зависимостей выполняется без шкал, при этом оси координат заканчиваются стрелками, указывающими направление возрастания значений величин. В прямоугольной системе координат независимая переменная откладывается по оси абсцисс.

Положительные значения величин, как правило, откладываются вверх и вправо от точки начала отсчета. В полярной системе координат начало отсчета углов должно находиться на горизонтальной или вертикальной оси, положительное направление углов соответствует направлению вращения против часовой стрелки.

При выполнении диаграмм в пространственной прямоугольной системе координат функциональные зависимости изображаются в аксонометрической проекции по ГОСТ 2.317-69 «ЕСКД. Аксонометрические проекции».

Масштабы, шкалы и координатная сетка. Значения величин откладываются на осях координат в линейном или нелинейном (например, логарифмическом) масштабах изображения. Масштаб изображения для каждого направления координат может быть разным. В качестве шкалы используется координатная ось или линия координатной сетки, которая ограничивает поле диаграммы. При этом координатные оси разделяются на графические интервалы одним из способов: координатной сеткой, делительными штрихами или сочетанием сетки и штрихов.

Рядом с делениями сетки или делительными штрихами, соответствующими началу и концу шкалы, должны быть указаны значения величин. Нуль следует указывать один раз у точки пересечения шкал, если он является началом отсчета шкал. Числа у шкал размещаются вне поля диаграммы и располагаются горизонтально. При необходимости допускается наносить их у шкал внутри поля диаграммы. Частота нанесения числовых значений выбирается с учетом удобства пользования диаграммой.

Линии и точки. Диаграммы выполняются линиями по ГОСТ 2.303-68. Оси координат, оси шкал, ограничивающие поле диаграммы, выполняются сплошными основными линиями, линии координатной сетки и делительные штрихи - тонкой линией. При изображении на диаграмме нескольких зависимостей применяются линии различной толщины и различных типов. Пересечение надписей и линий не допускается.

Следует обратить особое внимание на то, что точки, полученные расчетным путем или экспериментально, обозначаются графически кружком, крестиком и т.п. и поясняются в тексте.

Обозначение величин и нанесение единиц измерения. Переменные величины указываются наименованием или символом и размещаются у середины шкалы с ее внешней стороны, а при сочетании символа с единицей измерения надпись размещается в конце шкалы после последнего числа в виде дроби (символ/ед. измерения) либо в виде: символ, единица измерения. Единицы измерения величин должны соответствовать Международной системе (СИ).

3.2.1. Требования к оформлению графиков (диаграмм)

Правила оформления графиков (диаграмм) регламентируются ГОСТ 2.319 - 81.

1. Графики функциональных зависимостей допускается выполнять без шкал значений величин. В диаграмме без шкал оси координат следует заканчивать стрелками (рисунок 4). В диаграммах без шкал обозначения величин следует

размещать вблизи стрелки, которой заканчивается ось. Допускается применять стрелки также и в диаграммах со шкалами – за пределами шкал или самостоятельные стрелки после обозначения величины – параллельно оси координат.

2. Графики, как правило, должны иметь координатную сетку. Без сетки допускается выполнять графики, на осях координат которых нет числовых значений. Оси координат выполняют сплошными основными линиями, линии координатной сетки и делительные штрихи – тонкими сплошными линиями. Линия кривых графика должна быть в два раза толще линий координатных осей.

3. Значения переменных величин следует откладывать в линейном или нелинейном масштабах изображения. Масштаб может быть разным для каждого направления.

4. Количество числовых значений по осям координат должно быть сокращено. Не допускается написание числовых значений по осям координат в две строки. Следует избегать дробных значений величин. Многозначные числа предпочтительно выражать как кратные 10n, где n – целое число.

5. Обозначение величин (без единиц измерения или с несложными единицами измерения) на шкалах графика следует размещать у середины шкалы с ее внешней стороны на месте исключенных по шкале цифр, не выходя за пределы координатной сетки графика (рисунок 5).

Рисунок 4 Рисунок 5

3.2.2.Перечень ГОСТ, требования которых требуется соблюдать

при выполнении отчета по НИР

ГОСТ 2.319-81 – требования к оформлению графиков и диаграмм. ГОСТ 7.1-84 – библиографическое описания документа.

ГОСТ 7.32-2001 – отчет о научно-исследовательской работе. Структура и правила оформления.

3.2.3.Перечень ГОСТ, требования которых требуется соблюдать
при подготовке WEB-публикации (дополнительно к п. 4.2.2.)

ГОСТ 7.1-84 – библиографическое описания документа.

ГОСТ 7.5-98 – журналы, сборники, информационные издания. издательское оформление публикуемых материалов.

ГОСТ 7.82-2001 – библиографическая запись. библиографическое описание. Электронных ресурсов. общие требования и правила составления.

ГОСТ 7.83-2001 – электронные издания. основные виды и выходные сведения.

3.2.4. Перечень ГОСТ, требования которых требуется соблюдать
при подготовке PDF-публикации (дополнительно к п.3.2.3.)

ГОСТ 7.78-99 – издания. вспомогательные указатели. Настоящий стандарт устанавливает требования к вспомогательным указателям и методике их составления в изданиях различных видов. Стандарт разработан для составления указателей в форме, наиболее удобной для использования читателями. Стандарт обязателен для издателей независимо от их организационно-правовой структуры и ведомственной принадлежности при выпуске официальных, научных, справочных, производственно-практических и учебных изданий объемом свыше 15 уч.-изд. л. Для изданий других видов и меньшего объема применение стандарта носит факультативный характер.

3.2.4. Искусство презентаций [11]

Вероятно, каждый хотя бы раз принимал участие во встрече, сопровождающейся демонстрацией слайдов. А многие и сами готовили такие слайды с помощью программы PowerPoint. Между тем, у нас до сих презентация не осознается как отдельная форма корпоративной коммуникации со своими правилами и законами.

Однако в зарубежной практике презентации с помощью слайдов уже открыто называют «новой религией». Крупнейшие компании создают для этих целей целые презентационные службы и даже отделы. Так, например в международном консалтинговом гиганте Price Waterhouse Coopers, существует общемировой центр презентаций. В ряде компаний, например в SAP AG, сотрудники готовят презентационные слайды, даже если им надо просто забежать к коллеге на несколько минут.

Нам до таких презентаций еще далеко, но вектор развития твердо указывает это направление.

У нас пока не только не сложилась профессия «создатель презентаций», но и само мастерство презентации осваивается методом проб и ошибок. Подобное несерьезное отношение своим существованием во многом обязано обманчивой простоте Power Point'а. Ухудшает ситуацию и непонимание того, что презентация – это не просто слегка «навороченное» выступление, а детально регламентированная процедура.

Универсальные пакеты для научных исследований

В последнее время в широких кругах пользователей вычислительных машин различного класса стал достаточно популярным и широко используемым термин «компьютерная математика».

Компьютерная, символьная математика либо компьютерная алгебра — большой раздел математического моделирования. В принципе, программы такого рода можно отнести к инженерным программам автоматизированного проектирования. Таким образом, в области инженерного проектирования выделяют три основных раздела:

CAD — Computer Aided Design (автоматизированное проектирование);

CAM — Computer Aided Manufacturing (автоматизированное производство);

CAE — Computer Aided Engeneering (автоматизированное конструирование, автоматизированная разработка).

Сегодня серьезное конструирование, градостроительство и архитектура, электротехника и масса смежных с ними отраслей, а также учебные заведения технической направленности уже не могут обойтись без систем автоматизированного проектирования (САПР), производства и расчетов. А математические пакеты являются составной частью мира CAE-систем, но эта часть никак не может считаться второстепенной, поскольку некоторые задачи вообще невозможно решить без помощи компьютера. Более того, к системам символьной математики сегодня прибегают даже теоретики (так называемые чистые, а не прикладные математики), например для проверки своих гипотез.

Времена, когда программы математического моделирования требовали от пользователей умения программировать на тех или иных алгоритмических языках, отлаживать программы, отлавливать ошибки и тратить массу времени на получение результата, прошли. Сегодня в математических пакетах применяется принцип конструирования модели, а не традиционное «искусство программирования». То есть пользователь лишь ставит задачу, а методы и алгоритмы решения система находит сама. Более того, такие рутинные операции, как раскрывание скобок, преобразование выражений, нахождение корней уравнений, производных и неопределенных интегралов компьютер самостоятельно осуществляет в символьном виде, причем практически без вмешательства пользователя.

Современные математические пакеты можно использовать и как обычный калькулятор, и как средства для упрощения выражений при решении каких-либо задач, и как генератор графики или даже звука. Стандартными стали также средства взаимодействия с Интернетом, и генерация HTML-страниц выполняется теперь прямо в процессе вычислений. Теперь можно решать задачу и одновременно публиковать для коллег ход ее решения на своей домашней странице.

В настоящее время практически все современные CAE-программы имеют встроенные функции символьных вычислений. Однако наиболее известными и приспособленными для математических символьных вычислений считаются Maple, MathCad, Mathematica и MatLab. Кроме основных программ символьной математики существуют альтернативы, идеологически схожие с тем или иным пакетом-лидером.

Так что же делают эти программы и как они помогают математикам? Основу курса математического анализа в высшей школе составляют такие понятия, как пределы, производные, первообразные функций, интегралы разных видов, ряды и дифференциальные уравнения. Тому, кто знаком с основами высшей математики, наверняка, известны десятки правил нахождения пределов, взятия интегралов, нахождения производных и т.д. Если добавить к этому то, что для нахождения большинства интегралов нужно также помнить таблицу основных интегралов, то получается поистине огромный объем информации. И если какое-то время не тренироваться в решении подобных задач, то многое быстро забывается и для нахождения, например, интеграла посложнее придется уже заглядывать в справочники. Но ведь взятие интегралов и нахождение пределов в реальной работе не является главной целью вычислений. Реальная цель заключается в решении каких-либо проблем, а вычисления — всего лишь промежуточный этап на пути к этому решению.

С помощью описываемого ПО можно сэкономить массу времени и избежать многих ошибок при вычислениях. Естественно, CAE системы не ограничиваются только этими возможностями, но в данном обзоре мы сделаем упор именно на них.

Отметим только, что спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк:

проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;

разработка и анализ алгоритмов;

математическое моделирование и компьютерный эксперимент;

анализ и обработка данных;

визуализация, научная и инженерная графика;

разработка графических и расчетных приложений.

При этом отметим, что поскольку CAE-системы содержат операторы для базовых вычислений, то почти все алгоритмы, отсутствующие в стандартных функциях, можно реализовать посредством написания собственной программы. Таким образом, можно сделать вывод, что рассматриваемые универсальные математические пакеты – весьма совершенные, гибкие и одновременно универсальные продукты, включающие существенные математические понятия и обладающие богатым набором методов для решения общих математических и научно-технических задач. Именно обзору и краткому анализу таких программных продуктов и посвящена данная работа.

Mathematica

Компания Wolfram Reseach, Inc. (http://www.wolfram.com/), разработавшая систему компьютерной математики Mathematica, по праву считается старейшим и наиболее солидным игроком в этой области. Пакет Mathematica повсеместно применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил широкую известность в научной и образовательной среде.

Рисунок 1 – Интерфейс системы Mathematica

Основным автором разработки системы Mathematica является глава и основатель компании Wolfram Research, Inc., известный физик и математик Стефан Вольфрам (Stephen Wolfram). Еще в 70-х годах молодой исследователь (С. Вольфрам родился в 1959 году), работая в различных областях физики, обратил внимание на то, что ученым очень часто встречаются похожие комплексы громоздких математических выкладок, отнимающие много времени. Проводить такие вычисления в то время можно было либо "в лоб" – вооружившись ручкой и тетрадкой, либо с помощью "заказных" компьютерных программ узкой специализации. Кроме того, становилось понятно, что некоторыми направлениями научных исследований невольно пренебрегают лишь потому, что для формирования математических моделей и анализа результатов (в числовой, символьной и графической форме) пока еще не существует подходящих средств.

Задавшись целью обеспечить ученых производительным математическим инструментом, Вольфрам собрал коллектив разработчиков для определения архитектуры новой (как теперь говорят, полностью эксклюзивной) компьютерной системы. В августе 1987 года была основана Wolfram Research, а на следующий год – в июне 1988 года – официально вышла первая версия системы Mathematica на платформе Macintosh. Программа сразу же получила очень хорошие отзывы со стороны ведущих (и не только математических) изданий мира. Еще менее чем через полгода появилась версия Mathematica для компьютеров с MS-DOS. С тех пор были разработаны версии системы для Microsoft Windows, OS/2, Linux, Unix, Convex и т.д. - всего более чем для 20 операционных систем и аппаратных средств.

К 1996 году в мире было уже зарегистрировано свыше миллиона постоянных пользователей системы.

Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Mathematica просты в освоении и могут использоваться довольно широкой категорией пользователей — студентами и преподавателями вузов, инженерами, аспирантами, научными работниками и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в подобной системе многочисленные полезные возможности для применения.

При этом широчайшие функции программы не перегружают ее интерфейс и не замедляют вычислений. Mathematica неизменно демонстрирует высокую скорость символьных преобразований и численных расчетов. Программа Mathematica из всех рассматриваемых систем наиболее полна и универсальна, но не стоит забывать, что тот, кто серьезно работает с системами компьютерной математики, должны пользоваться несколькими программами, ибо только это гарантирует высокий уровень надежности сложных вычислений.

Отметим, что в разработках различных версий системы Mathematica, наряду с головной фирмой Wolfram Research, Inc., принимали участие другие фирмы и сотни специалистов высокой квалификации, в том числе математики и программисты. Есть среди них и представители пользующейся уважением и спросом за рубежом математической школы России. Система Mathematica является одной из самых крупных программных систем и реализует наиболее эффективные алгоритмы вычислений. К их числу, например, относится механизм контекстов, исключающий появление в программах побочных эффектов.

Система Mathematica обеспечивает не только возможности выполнения сложных численных расчетов с выводом их результатов в самом изысканном графическом виде, но и проведение особо трудоемких аналитических преобразований и вычислений. Версии системы под Windows имеют современный пользовательский интерфейс и позволяют готовить документы в форме Notebooks (записных книжек). Они объединяют исходные данные, описания алгоритмов решения задач, программ и результатов решения в самой разнообразной форме (математические формулы, числа, векторы, матрицы, таблицы и графики). При этом система обеспечивала динамическую связь между ячейками документов в стиле электронных таблиц даже при решении символьных задач, что принципиально и выгодно отличало ее от других подобных систем. Большое внимание уделено графике, в том числе динамической, и даже возможностям мультимедиа — воспроизведению динамической анимации и синтезу звуков. Набор функций графики и изменяющих их действие опций очень широк. Графика всегда была сильной стороной различных версий системы Mathematica и обеспечивала им лидерство среди систем компьютерной математики.

Центральное место в системах Mathematica (рисунок 1.2) занимает машинно-независимое ядро математических операций, которое позволяет переносить систему на различные компьютерные платформы. Для переноса системы на другую компьютерную платформу используется программный интерфейсный процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы, то есть интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут обладать своими нюансами. Ядро сделано достаточно компактным для того, чтобы можно было очень быстро вызвать из него любую функцию. Для расширения набора функций служат библиотека (Library) и набор пакетов расширения (Add-on Packages). Пакеты расширений готовятся на собственном языке программирования систем Mathematica и являются главным средством для развития возможностей системы и их адаптации к решению конкретных классов задач пользователя. Кроме того, системы имеют встроенную электронную справочную систему — Help, которая содержит электронные книги с реальными примерами.

Рисунок 2 – Структура системы Mathematica

Таким образом, Mathematica — это, с одной стороны, типичная система программирования на базе одного из самых мощных проблемноориентированных языков функционального программирования высокого уровня, предназначенная для решения различных задач (в том числе и математических), а с другой — интерактивная система для решения большинства математических задач в диалоговом режиме без традиционного программирования.

Прикладные пакеты системы Mathematica

Пакет Experimental Data Analyst предлагает обширный набор программ для сбора, визуализации и преобразования данных. Имеются средства устранения ошибок измерений стандартными способами улучшения точности приближения.

Пакет Derivatives Expert представляет собой набор функций для проведения комплексного финансового анализа различных ценных бумаг. Этот продукт позволяет проводить финансовые исследования, осуществлять создание прототипов и тестирование финансовых моделей без написания громоздких программ.

Пакет Finance Essentials разработан специально для представителей финансовых кругов, чьи основные задачи состоят в анализе данных и планировании стратегии. Функции пакета помогают произвести проверку и оценку торговых и сдерживающих стратегий, оценку имущества.

Пакет Fuzzy Logic предоставляет инструментарий для создания, модификации и представления нечетких множеств, а также систем, основанных на нечеткой логике.

Прикладной пакет Time Series создан для одномерного и многомерного анализа данных, зависящих от времени, и позволяет исследовать как стационарные, так и нестационарные модели. Time Series помогает также прогнозировать значения исследуемых показателей.

Пакет Technical Trader представляет собой программную разработку для тестирования и обеспечения работы финансовых торговых систем, позволяет описать торговую систему на одном языке и быстро внести изменения в любую часть этой системы.

Пакет Control System Professional – первая всеобъемлющая среда с интегрированными символьными возможностями, позволяющая анализировать как модели пространства состояний, так и модели функция преобразования аналоговых и дискретных систем.

Пакет Dynamic Visualizer позволяет работать с трехмерными изображениями в реальном времени. Графическое моделирование различных систем (от простого гармонического колебания и моделей хаоса до планетных систем) с пакетом Dynamic Visualizer – это мощное и интересное визуализационное дополнение к Mathematica.

Mechanical Systems предназначен для анализа движения системы твердых тел.

Пакет Optica предназначен для разработки и анализа оптических систем. Сотни встроенных функций Optica не только помогут создать все виды объектов, но и облегчат анализ множества различных конфигураций оптической системы. Optica также может описать все точки пересечения световых лучей, предоставить информацию о длине оптического пути каждого луча, сгенерировать схему интенсивности для каждой поверхности оптической системы, показать анимацию, позволяющую визуализировать путь отдельного луча или множества лучей в системе. Высокое качество двух- и трехмерных изображений, создаваемых в Optica, позволяет помещать их непосредственно в проект или научный доклад.

Пакет Signals and Systems – средство для обработки и анализа сигналов с возможностями символьных вычислений. Набор уникальных функций пакета Signals and Systems для анализа сигналов, разработки фильтров и выполнения операций обработки сигналов - редкая находка для инженеров.

Инженеры, физики, астрономы, геологи, медики и другие уже исследуют обширный перечень возможных приложений волнового анализа – от обработки сигналов до анализа данных. Wavelet Explorer познакомит пользователя с этой интересной новой областью и даст ему в руки широкий спектр инструментов волнового анализа.

Надежная глобальная оптимизация для ограниченных и неограниченных нелинейных функций – это пакет Global Optimization 3.0 – набор функций для глобальной нелинейной оптимизации. Он использует систему Mathematica в качестве интерфейса для определения нелинейной системы, подлежащей решению, и расчета числовых значений функции. В качестве исходной может задаваться любая функция, вычисляемая в Mathematica.

Пакет Database Access Kit позволяет использовать все возможности системы Mathematica для извлечения, обработки и визуализации информации, хранящейся в ODBC-совместимых базах данных.

Альтернативные пакеты

В качестве более простых, но идеологически близких альтернатив программы Mathematica можно назвать такие пакеты, как Maxima (http://maxima.sourceforge.net//) и Kalamaris (developer.kde.org/~larrosa/ kalamaris.html).

Отметим, что система Maxima — это некоммерческий проект с открытым кодом. В программе Maxima для математической работы используется язык, сходный с языком в пакете Mathematica, а графический интерфейс построен по тем же принципам. Изначально программа называлась Xmaxima и создавалась для UNIX-систем.

Кроме того, сейчас у системы Maxima есть еще более мощный, эффективный и дружественный кроссплатформенный графический интерфейс, который называется Wxmaxima. И хотя этот проект пока что существует лишь в бета-версии, он постепенно превращается в очень серьезную альтернативу коммерческим системам.

Что касается программы Kalamaris, то это также новый проект, который имеет подход и идеологию, схожие с системой Mathematica. Проект еще не завершен, но тоже является неплохой бесплатной альтернативой такому коммерческому монстру, как Mathematica.

Maple

Программа Maple (последняя версия 10.02, http://www.maplesoft.com/) — своего рода патриарх в семействе систем символьной математики и до сих пор является одним из лидеров среди универсальных систем символьных вычислений. Она предоставляет пользователю удобную интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и пользуется особой популярностью в научной среде. Отметим, что символьный анализатор программы Maple является наиболее сильной частью этого ПО, поэтому именно он был позаимствован и включен в ряд других CAE-пакетов, таких как MathCad и MatLab, а также в состав пакетов для подготовки научных публикаций Scientific WorkPlace и Math Office for Word.

Пакет Maple — совместная разработка Университета Ватерлоо (шт. Онтарио, Канада) и Высшей технической школы (ETHZ, Цюрих, Швейцария). Для его продажи была создана специальная компания — Waterloo Maple, Inc., которая, к сожалению, больше прославилась математической проработкой своего проекта, чем уровнем его коммерческой реализации. В результате система Maple ранее была доступна преимущественно узкому кругу профессионалов. Сейчас эта компания работает совместно с более преуспевающей в коммерции и в проработке пользовательского интерфейса математических систем фирмой MathSoft, Inc. — создательницей весьма популярных и массовых систем для численных расчетов MathCad, ставших международным стандартом для технических вычислений.

Maple предоставляет удобную среду для компьютерных экспериментов, в ходе которых пробуются различные подходы к задаче, анализируются частные решения, а при необходимости программирования отбираются требующие особой скорости фрагменты. Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня. Когда расчеты произведены и требуется оформить результаты, то можно использовать средства этого пакета для визуализации данных и подготовки иллюстраций для публикации. Для завершения работы остается подготовить печатный материал (отчет, статью, книгу) прямо в среде Maple, а затем можно приступать к очередному исследованию. Работа проходит интерактивно — пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения. При этом пакет Maple совсем не похож на традиционную среду программирования, где требуется жесткая формализация всех переменных и действий с ними. Здесь же автоматически обеспечивается выбор подходящих типов переменных и проверяется корректность выполнения операций, так что в общем случае не требуется описания переменных и строгой формализации записи.

Пакет Maple состоит из ядра (процедур, написанных на языке С и хорошо оптимизированных), библиотеки, написанной на Maple-языке, и развитого внешнего интерфейса. Ядро выполняет большинство базовых операций, а библиотека содержит множество команд — процедур, выполняемых в режиме интерпретации.

Интерфейс Maple основан на концепции рабочего поля (worksheet) или документа, содержащего строки ввода-вывода и текст, а также графику.

Работа с пакетом происходит в режиме интерпретатора. В строке ввода пользователь задает команду, нажимает клавишу Enter и получает результат — строку (или строки) вывода либо сообщение об ошибочно введенной команде. Тут же выдается приглашение вводить новую команду и т.д.

Интерфейс Maple

Рабочие окна (листы) системы Maple могут быть использованы либо как интерактивные среды для решения задач, либо как система для подготовки технической документации. Исполнительные группы и электронные таблицы упрощают взаимодействие пользователя с движком Maple, выполняя роль тех первичных средств, при помощи которых в систему Maple передаются запросы на выполнение конкретных задач и вывод результатов. Оба эти типа первичных средств допускают возможность ввода команд Maple.

Система Maple позволяет вводить электронные таблицы, содержащие как числа, так и символы. Они совмещают в себе математические возможности системы Maple с уже знакомым форматом из строк и столбцов традиционных электронных таблиц. Электронные таблицы системы Maple можно использовать для создания таблиц формул.

Для облегчения документирования и организации результатов вычислений имеются опции разбиения на параграфы и разделы, а также добавления гиперссылок. Гиперссылка является навигационным средством. Одним щелчком мыши по ней вы можете перейти к другой точке в пределах рабочего листа, к другому рабочему листу, к странице помощи, к рабочему листу на Web-сервере или к любой другой Web-странице.

Рабочие листы можно организовать иерархически, в виде разделов и подразделов. Разделы и подразделы можно как расширять, так и сворачивать. Система Maple, подобно другим текстовым редакторам, поддерживает опцию закладок.

Вычисления в Maple

Систему Maple можно использовать и на самом элементарном уровне ее возможностей — как очень мощный калькулятор для вычислений по заданным формулам, но главным ее достоинством является способность выполнять арифметические действия в символьном виде, то есть так, как это делает человек. При работе с дробями и корнями программа не приводит их в процессе вычислений к десятичному виду, а производит необходимые сокращения и преобразования в столбик, что позволяет избежать ошибок при округлении. Для работы с десятичными эквивалентами в системе Maple имеется специальная команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, вычисляет числовые значения элементарных функций, а также знает много специальных функций и математических констант (таких, например, как «е» и «пи»). Maple поддерживает сотни специальных функций и чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники. Приведем лишь некоторые из них:

функция ошибок;

эйлерова константа;

экспоненциальный интеграл;

эллиптическая интегральная функция;

гамма-функция;

зета-функция;

ступенчатая функция Хевисайда;

дельта-функция Дирака;

бесселева и модифицированная бесселева функции.

Система Maple предлагает различные способы представления, сокращения и преобразования выражений, например такие операции, как упрощение и разложение на множители алгебраических выражений и приведение их к различному виду. Таким образом, Maple можно использовать для решения уравнений и систем.

Maple также имеет множество мощных инструментальных средств для вычисления выражений с одной или несколькими переменными. Программу можно использовать для решения задач дифференциального и интегрального исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов,

Рисунок 2.1 – Интерфейс Maple

умножения, интегральных преобразований (таких как преобразование Лапласа, Z-преобразование, преобразование Меллина или Фурье), а также для исследования непрерывных или кусочно-непрерывных функций.

Maple может вычислять пределы функций, как конечные, так и стремящиеся к бесконечности, а также распознает неопределенности в пределах. В этой системе можно решать множество обычных дифференциальных уравнений (ODE), а также дифференциальные уравнения в частных производных (PDE), в том числе задачи с начальными условиями (IVP) и задачи с граничными условиями (BVP).

Одним из наиболее часто используемых в системе Maple пакетов программ является пакет линейной алгебры, содержащий мощный набор команд для работы с векторами и матрицами. Maple может находить собственные значения и собственные векторы операторов, вычислять криволинейные координаты, находить матричные нормы и вычислять множество различных типов разложения матриц.

Для технических применений в Maple включены справочники физических констант и единицы физических величин с автоматическим пересчетом формул. Особенно эффективна Maple при обучении математике. Высочайший интеллект этой системы символьной математики сочетается с прекрасными средствами математического численного моделирования и с просто потрясающими возможностями графической визуализации решений. Такие системы, как Maple, можно применять как в преподавании, так и для самообразования при изучении математики от самых азов до вершин.

Графика в Maple

Система Maple поддерживает как двумерную, так и трехмерную графику. Таким образом, можно представить явные, неявные и параметрические функции, а также многомерные функции и просто наборы данных в графическом виде и визуально искать закономерности.

Графические средства Maple позволяют строить двумерные графики сразу нескольких функций, создавать графики конформных преобразований функций с комплексными числами и строить графики функций в логарифмической, двойной логарифмической, параметрической, фазовой, полярной и контурной форме. Можно графически представлять неравенства, неявно заданные функции, решения дифференциальных уравнений и корневые годографы.

Maple может строить поверхности и кривые в трехмерном представлении, включая поверхности, заданные явной и параметрической функциями, а также решениями дифференциальных уравнений. При этом представлять можно не только в статическом виде, но и в виде двух- или трехмерной анимации. Эту особенность системы можно использовать для отображения процессов, протекающих в режиме реального времени.

Отметим, что для подготовки результата и документирования исследований в системе имеются все возможности выбора шрифтов для названий, надписей и другой текстовой информации на графиках. При этом можно варьировать не только шрифты, но и яркость, цвет и масштаб графика.

Специализированные приложения

Обширный набор мощных инструментальных приложений Maple PowerTools и пакетов для таких областей, как анализ методом конечных элементов (FEM), нелинейная оптимизация и др., полностью удовлетворят пользователей с университетским математическим образованием. В Maple включены также пакеты подпрограмм для решения задач линейной и тензорной алгебры, евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории вероятностей и математической статистики, комбинаторики, теории групп, интегральных преобразований, численной аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс-метод), а также задач финансовой математики и многих, многих других.

Для финансовых расчетов предназначен программный пакет Finance. C его помощью можно вычислять текущую и накопленную сумму ежегодной ренты, совокупную ежегодную ренту, сумму пожизненной ренты, совокупную пожизненную ренту и процентный доход на облигации. Вы можете строить таблицу амортизации, определять реальную сумму ставки для сложных процентов и вычислять текущее и будущее фиксированное количество для конкретной ставки и сложных процентов.

Программирование

Система Maple использует процедурный язык 4-го поколения (4GL). Этот язык специально предназначен для быстрой разработки математических подпрограмм и пользовательских приложений. Синтаксис данного языка аналогичен синтаксису универсальных языков высокого уровня: C, Fortran, Basic и Pascal.

Maple может генерировать код, совместимый с такими языками программирования, как Fortran или C, и с языком набора текста LaTeX, который пользуется большой популярностью в научном мире и применяется для оформления публикаций. Одно из преимуществ этого свойства — способность обеспечивать доступ к специализированным числовым программам, максимально ускоряющим решение сложных задач. Например, используя систему Maple, можно разработать определенную математическую модель, а затем с ее помощью сгенерировать код на языке C, соответствующий этой модели. Язык 4GL, специально оптимизированный для разработки математических приложений, позволяет сократить процесс разработки, а настроить пользовательский интерфейс помогают элементы Maplets или документы Maple со встроенными графическими компонентами.

Одновременно в среде Maple можно подготовить и документацию к приложению, так как средства пакета позволяют создавать технические документы профессионального вида, содержащие текст, интерактивные математические вычисления, графики, рисунки и даже звук. Вы также можете создавать интерактивные документы и презентации, добавляя кнопки, бегунки и другие компоненты, и, наконец, публиковать документы в Интернете и развертывать интерактивные вычисления в Сети, используя сервер MapleNet.

Интернет-совместимость

Maple является первым универсальным математическим пакетом, который предлагает полную поддержку стандарта MathML 2.0, управляющего как внешним видом, так и смыслом математики в Интернете. Эта эксклюзивная функция делает текущую версию MathML основным средством Интернет-математики, а также устанавливает новый уровень совместимости многопользовательской среды. TCP/IP-протокол обеспечивает динамический доступ к информации из других Интернет-ресурсов, например к данным для финансового анализа в реальном времени или к данным о погоде.

Перспективы развития

Последние версии Maple, помимо дополнительных алгоритмов и методов решения математических задач, получили более удобный графический интерфейс, продвинутые инструменты визуализации и построения графиков, а также дополнительные средства программирования (в том числе по совместимости с универсальными языками программирования). Начиная с девятой версии в пакет был добавлен импорт документов из программы Mathematica, а в справочную систему были введены определения математических и инженерных понятий и расширена навигация по страницам справки. Кроме того, было повышено полиграфическое качество формул, особенно при форматировании больших и сложных выражений, а также значительно сокращен размер MW-файлов для хранения рабочих документов Maple.

Одно из основных направлений развития этой системы — повышение мощности и достоверности аналитических (символьных) вычислений. Это направление представлено в Maple наиболее широко. Уже сегодня Maple может выполнять сложнейшие аналитические вычисления, которые нередко не по силам даже опытным математикам. Конечно же, Maple не способна на гениальные догадки, но зато рутинные и массовые расчеты система выполняет с блеском. Другое важное направление — повышение эффективности численных расчетов. В результате этого заметно возросла перспектива использования Maple в численном моделировании и в выполнении сложных вычислений — в том числе с произвольной точностью. И наконец, тесная интеграция Maple с другими программными средствами — еще одно важное направление развития этой системы. Ядро символьных вычислений Maple уже включено в состав целого ряда систем компьютерной математики — от систем для широкого круга пользователей типа MathCad до одной из лучших систем для численных расчетов и моделирования MatLab.

К недостаткам системы Maple можно отнести лишь ее некоторую «задумчивость», причем не всегда обоснованную, а также очень высокую стоимость этой программы (в зависимости от версии и набора библиотек цена ее доходит до нескольких десятков тысяч долл., правда студентам и научным работникам предлагаются дешевые версии — за несколько сотен долл.).

Альтернативные пакеты

В качестве более простых, но идеологически близких альтернатив программе Maple можно отметить такие пакеты, как Derive (http://www.chartwellyorke.com/derive.html), Scientific WorkPlace (http://www.mackichan.com/) и YaCaS (www.xs4all.nl/~apinkus/yacas.html).

Система Scientific WorkPlace (SWP, текущая версия 5.5) поначалу развивалась как редактор научных текстов, позволяя легко набирать и редактировать математические формулы. Однако со временем компания MacKichan Software, Inc. (разработчик системы Scientific WorkPlace) лицензировала символьный движок Maple у компании Waterloo Maple, Inc., и теперь эта программа объединяет простой в использовании текстовый процессор, обеспечивающий создание математических текстов и систему компьютерной алгебры в одной среде. Благодаря встроенной системе компьютерной алгебры вы можете производить вычисления прямо в документе. Конечно, у этой программы нет таких возможностей, как у Maple, однако она маленькая и простая в использовании.

Что касается YaCaS (аббревиатура от выражения Yet Another Computer Algebra System — еще одна система компьютерной алгебры), то это бесплатная кроссплатформенная альтернатива Maple, построенная на тех же принципах. Мощный и высокоэффективный движок YaCaS полностью реализован на C++ на условиях открытой лицензии (OpenSource). Интерфейс, конечно, более бедный и простой, чем у маститых конкурентов, но довольно удобный.

А вот маленькая коммерческая математическая система Derive (текущая версия 6.1) существует уже довольно давно, но, конечно, не может рассматриваться как полноценная альтернатива Maple, хотя она и по сей день привлекательна своей нетребовательностью к аппаратным ресурсам ПК. Более того, при решении задач умеренной сложности она демонстрирует даже более высокое быстродействие и большую надежность решения, чем первые версии систем Maple и Mathematica. Впрочем, системе Derive трудно всерьез конкурировать с этими системами — как по обилию функций и правил аналитических преобразований, так и по возможностям машинной графики и по удобству пользовательского интерфейса, а в плане возможности графической визуализации результатов вычислений вообще сильно отстает от конкурентов. Пока что Derive является больше учебной системой компьютерной алгебры начального уровня.

MatLab

Система MatLab (на данный момент выпущена версия 7, http://www.mathworks.com/) относится к среднему уровню продуктов, предназначенных для символьной математики, но рассчитана на широкое применение в сфере CAE (то есть сильна и в других областях). MatLab — одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Это нашло отражение и в самом названии системы — MATrix LABoratory, то есть матричная лаборатория. Однако матрицы широко применяются не только в таких математических расчетах, как решение задач линейной алгебры и математического моделирования, обсчета статических и динамических систем и объектов. Они являются основой автоматического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем. Именно универсальность аппарата матричного исчисления значительно повышает интерес к системе MatLab, вобравшей в себя лучшие достижения в области быстрого решения матричных задач. Поэтому MatLab давно уже вышла за рамки специализированной матричной системы, превратившись в одну из наиболее мощных универсальных интегрированных систем компьютерной математики. В дополнение к прекрасным вычислительным средствам, у фирмы Waterloo Maple по лицензии для MatLab было приобретено ядро символьных преобразований, а также появились библиотеки, которые обеспечивают в MatLab уникальные для математических пакетов функции.

В системе MatLab также существуют широкие возможности для программирования. Ее библиотека C Math (компилятор MatLab) является объектной и содержит свыше 300 процедур обработки данных на языке C. Внутри пакета можно использовать как процедуры самой MatLab, так и стандартные процедуры языка C, что делает этот инструмент мощнейшим подспорьем при разработке приложений (используя компилятор C Math, можно встраивать любые процедуры MatLab в готовые приложения).

Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:

операции с матрицами;

сравнение матриц;

решение линейных уравнений;

разложение операторов и поиск собственных значений;

нахождение обратной матрицы;

поиск определителя;

вычисление матричного экспоненциала;

элементарная математика;

функции beta, gamma, erf и эллиптические функции;

основы статистики и анализа данных;

поиск корней полиномов;

фильтрация, свертка;

быстрое преобразование Фурье (FFT);

интерполяция;

операции со строками;

операции ввода-вывода файлов и т.д.

При этом все библиотеки MatLab отличаются высокой скоростью численных вычислений.

Simulink

Программа Simulink, являющаяся приложением к пакету MatLab, представляет собой интерактивный инструмент для моделирования, имитации и анализа нелинейных динамических систем. Он дает возможность строить графические блок-диаграммы, имитировать динамические системы, исследовать работоспособность систем и совершенствовать проекты. При моделировании с использованием Simulink реализуется принцип визуального программирования, в соответствии с которым, пользователь на экране из библиотеки стандартных блоков создает модель устройства и осуществляет расчеты. При этом, в отличие от классических способов моделирования, пользователю не нужно досконально изучать язык программирования и численные методы математики, а достаточно общих знаний требующихся при работе на компьютере и, естественно, знаний той предметной области, в которой он работает.

Simulink является достаточно самостоятельным инструментом MatLab и при работе с ним совсем не требуется знать сам MatLab и остальные его приложения. С другой стороны доступ к функциям MatLab и другим его инструментам остается открытым и их можно использовать в Simulink. Часть входящих в состав пакетов имеет инструменты, встраиваемые в Simulink (например, LTI-Viewer приложения Control System Toolbox – пакета для разработки систем управления). Имеются также дополнительные библиотеки блоков для разных областей применения (например, Power System Blockset – моделирование электротехнических устройств, Digital Signal Processing Blockset – набор блоков для разработки цифровых устройств и т.д).

При работе с Simulink пользователь имеет возможность модернизировать библиотечные блоки, создавать свои собственные, а также составлять новые библиотеки блоков.

При моделировании пользователь может выбирать метод решения дифференциальных уравнений, а также способ изменения модельного времени (с фиксированным или переменным шагом). В ходе моделирования имеется возможность следить за процессами, происходящими в системе. Для этого используются специальные устройства наблюдения, входящие в состав библиотеки Simulink. Результаты моделирования могут быть представлены в виде графиков или таблиц. Преимущество Simulink заключается также в том, что он позволяет пополнять библиотеки блоков с помощью подпрограмм написанных как на языке MatLab, так и на языках С++, Fortran и Ada.

В качестве примера использования Simulink рассмотрим модель переменного сопротивления или переменного резистора, R_var величина которого управляется сигналом управления k (рисунок 3.1, а). Такой объект может быть полезен примоделировании нелинейных электрических систем, отладке моделей электрических цепей и во многих других случаях. Модель такого элемента можно реализовать с помощью постоянного резистора R_N и управляемого источника напряжения U_contr (рисунок 3.1, б). В соответствии с законом Ома (см /6/), где U — падение напряжения на R_var. Линейная зависимость R_var (k)будет обеспечена, если в модель, изображенную на рисунке 3.1, б, добавить нелинейный блок, выполняющий преобразование . В итоге мы будем иметь модель переменного сопротивления, величина которого изменяется прямо пропорционально сигналу управления k (рисунок 3.1, в).

Рисунок 3.1 – Модель переменного сопротивления

Данная модель легко реализовать с помощью блоков Simulink (рисунок 3.2). Блоки R_N, U_contr и блок нелинейного преобразования раскрашены в цвета, соответствующие раскраске элементов на рисунке 3.1, б и в.

Рисунок 3.2 – Модель переменного сопротивления в Simulink

. Библиотека Image Processing Toolbox

Для визуализации моделирования система MatLab имеет библиотеку Image Processing Toolbox, которая обеспечивает широкий спектр функций, поддерживающих визуализацию проводимых вычислений непосредственно из среды MatLab, увеличение и анализ, а также возможность построения алгоритмов обработки изображений. Усовершенствованные методы графической библиотеки в соединении с языком программирования MatLab обеспечивают открытую расширяемую систему, которая может быть использована для создания специальных приложений, пригодных для обработки графики.

Основные средства библиотеки Image Processing Tollbox:

построение фильтров, фильтрация и восстановление изображений;

увеличение изображений;

анализ и статистическая обработка изображений;

выделение областей интересов, геометрические и морфологические операции;

манипуляции с цветом;

двумерные преобразования;

блок обработки;

средство визуализации;

запись/чтение графических файлов.

Таким образом, систему MatLab можно использовать для обработки изображений, сконструировав собственные алгоритмы, которые будут работать с массивами графики как с матрицами данных. Поскольку язык MatLab оптимизирован для работы с матрицами, в результате обеспечивается простота использования, высокая скорость и экономичность проведения операций над изображениями.

Таким образом, программу MatLab можно использовать для восстановления испорченных изображений, шаблонного распознавания объектов на изображениях или же для разработки каких-либо собственных оригинальных алгоритмов обработки изображений. Библиотека Image Processing Tollbox упрощает разработку высокоточных алгоритмов, поскольку каждая из функций, включенных в эту библиотеку, оптимизирована для максимального быстродействия, эффективности и достоверности вычислений. Кроме того, библиотека обеспечивает разработчика многочисленным инструментарием для создания собственных решений и для реализаций сложных приложений обработки графики. А при анализе изображений использование мгновенного доступа к мощным средствам визуализации помогает моментально увидеть эффекты увеличения, восстановления и фильтрации.

Другие возможности MatLab

Кроме уже перечисленных библиотек системы MatLab можно также отметить System Identification Toolbox — набор инструментов для создания математических моделей динамических систем, основанных на наблюдаемых входных/выходных данных. Особенностью этого инструментария является наличие гибкого пользовательского интерфейса, позволяющего организовать данные и модели. Библиотека System Identification Toolbox поддерживает как параметрические, так и непараметрические методы. Интерфейс системы облегчает предварительную обработку данных, работу с итеративным процессом создания моделей для получения оценок и выделения наиболее значимых данных. Быстрое выполнение с минимальными усилиями таких операций, как открытие/сохранение данных, выделение области возможных значений данных, удаление погрешностей, предотвращение ухода данных от характерного для них уровня.

Наборы данных и идентифицируемые модели организуются графически, что позволяет легко вызвать результаты предыдущих анализов в течение процесса идентификации системы и выбрать следующие возможные шаги процесса. Основной пользовательский интерфейс организует данные для показа уже полученного результата. Это облегчает быстрое сравнение по оценкам моделей, позволяет выделять графическими средствами наиболее значимые модели и исследовать их показатели.

А что касается математических вычислений, то MatLab предоставляет доступ к огромному количеству подпрограмм, содержащихся в библиотеке NAG Foundation Library компании Numerical Algorithms Group Ltd (инструментарий имеет сотни функций из различных областей математики, и многие из этих программ были разработаны широко известными в мире специалистами). Это уникальная коллекция реализаций современных численных методов компьютерной математики, созданных за последние три десятка лет. Таким образом, MatLab вобрала и опыт, и правила, и методы математических вычислений, накопленные за тысячи лет развития математики. Одну только прилагаемую к системе обширную документацию вполне можно рассматривать как фундаментальный многотомный электронный справочник по математическому обеспечению.

Из недостатков системы MatLab можно отметить невысокую интегрированность среды (очень много окон, с которыми лучше работать на двух мониторах), не очень внятную справочную систему (а между тем объем фирменной документации достигает почти 5 тыс. страниц, что делает ее трудно обозримой) и специфический редактор кода MatLab-программ. Сегодня система MatLab широко используется в технике, науке и образовании, но все-таки она больше подходит для анализа данных и организации вычислений, нежели для чисто математических выкладок.

Поэтому для проведения аналитических преобразований в MatLab используется ядро символьных преобразований Maple, а из Maple для численных расчетов можно обращаться к MatLab. Ведь недаром символьная математика Maple вошла составной частью в целый ряд современных пакетов, а численный анализ от MatLab и наборы инструментов (Toolboxes) уникальны. Тем не менее, математические пакеты Maple и MatLab — это интеллектуальные лидеры в своих классах, это образцы, определяющие развитие компьютерной математики.

Альтернативные пакеты

В качестве более простых, но идеологически близких альтернатив программе MatLab можно отметить такие пакеты, как Octave (http://www.octave.org/), KOctave (bubben.homelinux.net/~matti/koctave/) и Genius (www.jirka.org/genius.html).

Octave — это программа числовых вычислений, хорошо совместимая с MatLab. Интерфейс системы Octave, конечно, беднее, и у нее нет таких уникальных библиотек, как у MatLab, зато это очень простая в освоении программа, нетребовательная к системным ресурсам. Распространяется Octave на условиях открытой лицензии с исходным кодом (OpenSource) и может стать хорошим подспорьем для учебных заведений.

Программа KOctave по сути представляет собой более продвинутый графический интерфейс для системы Octave. В результате использования KOctave система Octave становится полностью похожей на MatLab.

Простенькая математическая программа Genius, естественно, не может поспорить по мощности с именитыми конкурентами, но идеология математических преобразований у нее сходна с MatLab и Maple. Распространяется Genius тоже на условиях открытой лицензии с исходным кодом (OpenSource). Она имеет собственный язык GEL, развитый инструментарий Genius Math Tool и хорошую систему подготовки документов для публикации (с использованием таких языков оформления, как LaTeX, Troff (eqn) и MathML). Очень хороший графический интерфейс программы Genius сделает работу с ней простой и удобной.

MathCad

В отличие от мощного и ориентированного на высокоэффективные вычисления при анализе данных пакета MatLab, программа MathCad (текущая версия 13, http://www.mathsoft.com/, http://www.mathcad.com/) — это, скорее, простой, но продвинутый редактор математических текстов с широкими возможностями символьных вычислений и прекрасным интерфейсом. MathCad не имеет языка программирования как такового, а движок символьных вычислений заимствован из пакета Maple. Зато интерфейс программы MathCad очень простой, а возможности визуализации богатые. Все вычисления здесь осуществляются на уровне визуальной записи выражений в общеупотребительной математической форме. Пакет имеет подробную документацию, функцию обучения использованию, целый ряд дополнительных модулей и приличную техническую поддержку производителя (как можно видеть по версии продукта, обновление этой программы происходит чаще, чем других, упомянутых в этом обзоре, хотя год выпуска первой версии у них примерно один и тот же — 1996-1997 годы). Однако пока математические возможности MathCad в области компьютерной алгебры намного уступают системам Maple, Mathematica, MatLab и даже малютке Derive. Однако по программе MathCad выпущено много книг и обучающих курсов, в том числе у нас в России. Сегодня эта система стала буквально международным стандартом для технических вычислений и даже многие школьники осваивают и используют MathCad.

Рисунок 4.1 – Интерфейс MathCad

Для небольшого объема вычислений MathCad идеален — здесь все можно проделать очень быстро и эффективно, а затем оформить работу в привычном виде (MathCad предоставляет широкие возможности для оформления результатов, вплоть до публикации в Интернете). Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных. Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft Excel прямо внутри MathCad-документа.

В общем, MathCad — это очень простая и удобная программа, которую можно рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень сведущих в математике, а особенно тем, кто только постигает ее азы.

3.3. Оформление пояснительной записки курсовой работы

Рабочей программой не предусмотрено.