Вихревое движение жидкости

Вихревое движение. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интенсивность вихревой трубки. Теорема Стокса. Формула Био-Савара.

 

Если в какой-то области пространства , это означает, что частицы жидкости перемещаются не только поступательно, но при своём движении вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через полюс частицы. Такое движение жидкости называется вихревым, при этом мгновенная угловая скорость вращения жидкой частицы Векторы угловых скоростей бесконечно малых объёмов жидкости в различных точках потока образуют векторное поле угловых скоростей (или векторное поле вихрей вектора скорости ). Векторное поле угловой скорости или ротора вектора скорости (вихря) характеризуется следующими геометрическими образами: вихревая линия и вихревая трубка.

Вихревая линия – линия, касательная к которой в каждой точке в данный момент времени направлена по вектору ротора скорости, т.е. || , где - элемент вихревой линии. Принимая во внимание, что = получаем уравнение вихревой линии:

(4.1)

где - проекции вектора угловой скорости на оси координат. При установившемся движении вихревые линии в различные моменты времени совпадают друг с другом.

Вихревая трубка – совокупность вихревых линий, проходящих через замкнутую кривую, не являющуюся вихревой линией.

Вихревой шнур – часть жидкости, ограниченная вихревой трубкой.

2-я теорема Гельмгольца - Поток вектора ротора скорости через любое сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки:

(4.2)

Поток вектора вихря является величиной, характерной для вихревой трубки. Его называют интенсивностью вихревой трубки:

(4.3)

Для элементарной вихревой трубки соотношение (4.3) можно записать следующим образом:

(4.4)

Из выражения (4.4) вытекают два следствия:

1. Сечение вихревой трубки не может стать равным нулю ни в одной точке внутри жидкости.

2. Вихревые трубки не могут начинаться и заканчиваться сечением конечных размеров внутри жидкости.

Вихревые трубки либо образуют замкнутые кольца, либо начинаются и заканчиваются на ограничивающих жидкость поверхностях или свободной поверхности.

Теорема Стокса: Интенсивность вихревой трубки равна циркуляции вектора скорости по замкнутому контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раз ее опоясывающему:

(4.5)

Если в пространстве имеется несколько вихревых трубок с интенсивностями , а в остальной области пространства вне вихревых трубок , то циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру, однократно охватывающему вихревые трубки, равна алгебраической сумме интенсивностей этих трубок:

(4.6)

Формула Био-Савара – позволяет рассчитать поле скоростей в окрестности заданной вихревой нити L (вихревого шнура) с циркуляцией (интенстивностью) Г. Скорость, индуцированная в точке М элементом вихревой нити по формуле Био-Савара равна:

(4.7)

где (см. рис.) - элемент вихревого шнура, - радиус-вектор, направленный из начала элемента вихревого шнура в точку М, - угол между и .

Вектор направлен перпендикулярно векторам и (по правилу векторного произведения векторов). Для нахождения скорости , индуцированной всем вихревым шнуром в точке М, необходимо провести интегрирование выражения (4.7) по всей длине вихревого шнура.

За редким исключением, движение жидкости или газа почти всегда бывает вихревым. Так, вихревым является ламинарное течение в круглой трубе, когда скорость распределяется по параболическому закону, течение в пограничном слое при плавном обтекании тела и в следе за плохо обтекаемым телом. Вихревой характер носит любое турбулентное течение. Если обтекание тела происходит при больших числах Re, завихренность порождается в пограничном слое, а затем сносится в основной поток, где формируются отчетливо видимые вихри, некоторое время эволюционирующие и сохраняющие свою индивидуальность. Например, за плохообтекаемым телом образуется регулярная вихревая дорожка Кармана. Вихреобразование в следе за плохообтекаемым телом определяет основную часть лобового сопротивления тела, а образование вихрей у концов крыльев летательных аппаратов вызывает дополнительное индуктивное сопротивление.

 

Основы теории подобия. Теоремы подобия.

Критерии подобия. Критерии Рейнольдса, Эйлера, Фруда, Струхала, Маха. Приближенное моделирование.

 

Несмотря на высокий уровень развития современной гидромеханики, далеко не все задачи могут быть решены теоретически с достаточной для практики точностью и надежностью. Значительная часть гидромеханических проблем и практических задач решается до настоящего времени экспериментальным путем. Основные экспериментальные исследования проводятся на модельных установках, где могут использоваться различные рабочие тела, а сами испытания проводятся при скоростях и параметрах жидкости, отличающихся от натурных. Смысл моделирования в том, чтобы по результатам опытов на модели судить о явлениях, происходящих в натурных условиях. Поэтому при постановке эксперимента необходимо решить две задачи:

- как должна быть изготовлена модель испытуемого объекта;

- по каким правилам следует пересчитать данные опыта, чтобы по экспериментальным результатам получить достоверное описание гидродинамических явлений в натуре.

В основе моделирования лежит понятие о подобии сравниваемых течений. Два течения подобны, если по характеристикам одного можно получить характеристики другого посредством простого умножения характеристик первого на некоторые постоянные коэффициенты, называемые коэффициентами подобия. В гидромеханике различают геометрическое, кинематическое, динамическое и тепловое подобие.

Два тела геометрически подобны, если сходственные отрезки тел пропорциональны и углы между сходственными отрезками равны между собой:

(12.1)

где – длины сходственных отрезков, – углы между сходственными отрезками, – линейный масштаб моделирования. Линейный масштаб выбирается из практических соображений. Если выбрать в качестве единиц измерения характерные сходственные размеры и натуры и модели, то любые линейные размеры можно выразить в долях от этих величин:

(12.2)

Можно показать, что , т.е. безразмерные координаты сходственных точек в натуре и модели одинаковы.

Потоки кинематически подобны, если скорости в сходственных точках пропорциональны и углы между векторами скорости и осями координат одинаковы. Пусть потоки геометрически подобны. Если отношения

(12.3)

одинаковы для любой пары сходственных точек, то потоки кинематически подобны ( – масштаб моделирования по скорости). Из кинематического подобия потоков вытекает геометрическое подобие их линий тока.

Для динамического подобия необходима пропорциональность сил, действующих на сходственные элементы, и равенство углов между соответствующими векторами сил и осями координат. Пусть и - силы, действующие на сходственные элементы в натуре и модели. Если

(12.4)

Есть величина постоянная для любой пары сходственных элементов, то потоки динамически подобны. Безразмерные значения сил в сходственных точках одинаковы. Кинематическое и динамическое подобия могут существовать только при наличии геометрического подобия. Если для какой-либо группы гидродинамических явлений имеет место кинематическое и динамическое подобия, то ее называют группой механически подобных явлений. Механическое подобие частный случай общего подобия физических процессов.

Для механически подобных потоков безразмерные координаты сходственных точек, безразмерные скорости и безразмерные силы в сходственных точках одинаковы. Безразмерные поля физических параметров механически подобных потоков одинаковы. Гидромеханическое явление определяется полями характеризующих его физических величин При подобии явлений (систем) поля соответствующих параметров двух систем подобны в пространстве и во времени. Если потоки подобны, то характеристики натурного течения получаются из характеристик модельного течения умножением их на соответствующие коэффициенты подобия (масштабы моделирования).

Для полного подобия двух течений необходима пропорциональность всех величин, описывающих процесс. Практически ограничиваются частичным подобием некоторых наиболее существенных для данного явления характеристик.

Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений. Опирается на учение о размерности физических величин и служит основой моделирования. Предметом теории подобия является установление критериев подобия физических явлений и изучение с помощью этих критериев свойств самих явлений.

В основе теории подобия лежат следующие теоремы: