Тема: Проверка статистических гипотез.

Задача 2. По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98. Выборка: =182

Решение. Для построения интервального ряда распределения определим число групп в ряду распределения по формуле Г.А. Стерджесса:

.

Принимаем число интервалов .

Максимальное значение ряда 103, минимальное значение ряда 55.

Длина интервала: .

Центр распределения: .

Поскольку число интервалов нечетное, центр распределения находится в центре среднего интервала.

Полученный ряд распределения: (52-58); (58-64); (64-70); (70-76); (76-82); (82-88); (88-94); (94-100); (100-106).

Принимаем гипотезу , утверждающую, что случайная величина имеет нормальный закон распределения. В качестве критерия для проверки этой гипотезы используем случайную величину – критерий согласия Пирсона, который имеет приближенное распределение с числом степеней свободы . Здесь – число интервалов, на которые разделена область изменения ; – количество неизвестных параметров теоретического распределения, оценки которых вычисляются по выборке; – объем выборки; - эмпирические частоты; - теоретические частоты, где - вероятность попадания значения признака в -й интервал. Чтобы утверждение о распределении случайной величины по закону было достаточно точным, требуется выполнение условия . В случае невыполнения условия для некоторых интервалов, их объединяют с соседними интервалами.

Теоретические частоты вычислим по формулам: , где , - значения функции Лапласа ( – находится по таблице).

Левый конец первого интервала принимаем равным – ¥, а правый конец последнего интервала + ¥.

Определим эмпирические частоты и характеристики выборки:

 

№ n/n	Интервалы	Частоты	Середины интервалов
	52-58			-21,53	2045,82
	58-64			-15,53	3588,92
	64-70			-9,53	2929,85
	70-76			-3,53	894,67
	76-82			2,47	65,18
	82-88			8,47	1799,57
	88-94			14,47	3403,81
	94-100			20,47	3006,11
	100-106			26,47	1933,14
					19667,08

 

Характеристики выборки рассчитываются по следующим формулам:

Выборочное среднее

Выборочная дисперсия

.

 

Среднеквадратическое отклонение:

.

Определим доверительный интервал для . Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал:

< a < , где S – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение

, находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному числу степеней свободы и уровню значимости . Для = 0,98 ( и =182: .

< < , отсюда

75,82 < < 79,42.

Таким образом, интервалом, покрывающим с вероятностью 0,98, служит интервал (75,82; 79,42).

 

Для вычисления теоретических характеристик учитывая, что , , , составим расчетную таблицу:

 

	Границы интервала
				-1,887	-0,5	-0,4706	5,3508
			-1,887	-1,310	-0,4706	-0,4049	11,957
			-1,310	-0,733	-0,4049	-0,2673	25,043
			-0,733	0,155	-0,2673	-0,0636	37,073
			0,155	0,422	-0,0636	0,1628	41,205
			0,422	0,999	0,1628	0,3413	32,487
			0,999	1,576	0,3413	0,4429	18,491
			1,576	2,153	0,4429	0,4846	7,5894
			2,153		0,4846	0,5	2,8028
∑							182,00

Поскольку для последнего интервала теоретическая частота меньше 5, объединим два последних интервала в один и на основании полученных величин найдем расчетное значение критерия Пирсона.

 

	Границы интервала
			5,3508		0,341007
			11,9574		0,090907
			25,0432		0,036555
			37,0734		0,654685
			41,2048		1,259784
			32,487		0,008101
			18,4912		0,014000
			10,3922		0,035548
∑			182,00		2,440587

=2,44.

Для определения критического значения критерия Пирсона найдем число степеней свободы:

.

Здесь – число групп ряда распределения в последней таблице; – число параметров нормального закона распределения, оценки которых вычислялись по выборке.

По таблице критических точек распределения для уровня значимости 0,02 и числа степеней свободы 5 находим

.

Поскольку < , то значение не принадлежит критической области и, следовательно, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.