Математические модели задачи фирмы 4 страница

3.1. Спрос и предложение на рынке одного товара

3.1.1. Спрос.

Экономистами спрос изображается в виде графика, показывающего количество продукта, которое потребители готовы и в состоянии купить по некоторой цене из возможных в течение определенного периода времени цен. Речь идет, таким образом, о зависимости количества покупаемого товара от цены.

Обозначим D (p)количество товара, покупаемого на данном рынке за единицу времени при цене p за единицу товара. Функция D (p)называется

функцией спросаили просто спросом. Согласно этой функции, величина спроса разная при разных ценах. Цены товара всегда считаем положительными.

Аксиома спроса. Функция спроса является убывающей: при увеличении цены величина спроса на товар уменьшается, приближаясь к нулю, при уменьшении цены величина спроса увеличивается.

Чаще других используются следующие функции спроса:

1 линейно убывающая D (p) = a - bр, 0 < р < a/b, a,b > 0

2 обратная D (p) = a/p, p > 0, a > 0

Их графики приведены на рис.7.

При изменении условий на рынке или вне его функция спроса может измениться, тогда говорят об изменении спроса. Изменение спроса надо отличать от изменения величины спроса при передвижении по графику данной функции спроса. Например, при повышении цен на бензин вполне может повыситься спрос на велосипеды. Это означает, что произойдет изменение спроса и вся кривая спроса (её график) передвинется вправо.

Рисунок 7

Производная функции спроса по цене D' (p)= dD/dp показывает (приблизительно), на сколько изменится величина спроса при изменении цены товара р на единицу. Так как функция спроса убывающая, то D' (р) < 0.

Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены товара р на 1%.

Пример. Найдем эластичность спроса по цене для каждой из функций, приведенных выше:

1. для линейно убывающей функции: D' (p) = -b, следовательно:

2. для обратной

3.1.2. Предложение.

Под предложением товара понимается зависимость количестве поставляемого на рынок товара от цены, сложившейся на рынке. Обозначим S (p)количество товара, поставляемого на данный рынок за единицу времени при цене p за единицу товара. Функция S (p)называется функцией предложения или просто предложением Согласно этой функции величина предложения разная при разных ценах.

Аксиома предложения: функция предложения является возрастающей: при увеличении цены величина предложения товара неограниченно увеличивается, при уменьшении цены величина предложения уменьшается, приближаясь к нулю.

Чаще других используются следующие функции предложения:

1 линейно возрастающая S (p) = -с + dp, cld > р, c,d > 0

2 степенная S (p) = p^a, а > 0, р > 0

Их графики приведены на рис. 8.

Рисунок 8

При изменении условий на рынке или вне его функция предложения может измениться, тогда говорят об изменении предложения. В этом случае происходит движение кривой вправо или влево. Например, при открытия поблизости месторождения алмазов может увеличиться предложение необработанных алмазов, а кривая предложения передвинется влево.

Производная функции предложения по цене S' (p) = dS/dp показывает приблизительно, насколько изменится величина предложения при изменении цены товара р на единицу. Так как функция предложения товара возрастающая, то S'(р)> 0.

Эластичность предложения по цене показывает, на сколько процентов изменится величина предложения при изменении цены товара на 1%:

Пример. Найдем эластичность предложения по цене в точке р = 4. Имеем . Для этой функции предложения эластичность оказалась постоянной величиной.

3.1.3. Равновесие на рынке одного товара.

Состояние рынка, при котором спрос равен предложению, называется равновесным, а цена, при которой достигается равенство спроса и предложения, называется равновесной ценой. Т.е. в условиях равновесия: D (p) = S (p)

Графически равновесная цена определяется на основе пересечения кривых спроса и предложения.

Пример. Даны зависимости спроса D (p) = 100 - 10 p и предложения S (p) = 10 + 20 р. Найдите равновесную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой выручка максимальна и саму эту выручку.

Решение. Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения, т.е. 100 - 10 р = 10 + 20 р. Равновесная цена р^* = 3 и выручка при равновесной цене W (p^*) = р^*D (p^*) = р^*S (p^*) = 210.

При цене р > р^* объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при р < р^* - предложения. Необходимо найти цену р', определяющую максимум выручки:

При р (100-10 р)максимум достигается в точке р' = 5 (определяем максимум через производную), выручка W (5) = 250.

При p (10-20 р)максимум достигается в точке р' = 3, выручка W (3) = 210.

Таким образом, максимальная выручка W (p)= 250 достигается не при равновесной цене.

В реальности нахождение равновесной цены происходит опытным путем, посредством последовательных приближений. Эта процедура называется паутинообразной моделью рынка.

Процесс отыскания называется «нащупыванием» (Рисунок 9).

Пусть в начальный момент цена на товар была назначена p ₀. Так как спрос больше предложения, т.е. , то цена увеличивается до , так чтобы , т.е. чтобы спрос в следующем периоде понизился до величины предложения в предыдущем. Если спрос меньше предложения, т.е. , то цена уменьшится до и т.д.

Рисунок 9

3.2. Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара

3.2.1. Условия работы двух фирм на рынке одного товара

Рассмотрим две фирмы I = (1,2), выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты i -той фирмы при выпуске x_i равны (таким образом, есть себестоимость выпуска одной единицы товара). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества , т.е. .

Следовательно, прибыль i -ой фирмы

где .

Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль.

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. ее объём выпуска х₂. Тогдаона выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли: . Прибыль максимальна если:

, т.е. .

Аналогично бы действовалавторая фирма, т.е. выбрала бы свой выпуск в объеме .

3.2.2. Стратегия Курно

Будем предполагать, что производственные циклы фирм совпадают. Пусть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем своего

конкурента за прошлый или настоящий периоды, т.е.: ;

На рис.10 изображены прямые - множество стратегий фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы.

Рисунок 10

- функция реакции

График иллюстрируетследующее: на основе данных о выпуске фирмы 2 в период времени «0» можно определить выпуск первой фирмы в период «1», т.е. (точка А). Также возможно определить выпуск фирмы 2 в период «1» на основе данных о выпуске фирмы 1 в период «1», т.е. (точка В). Аналогично для других периодов времени.

Предположим, что . Тогда прямые пересекаются в точке К. В этой точке , . Решая систему:

получаем координаты точки пересечения K: , . Эта точка называется точкой Курно. Условие позволяет утверждать, что получившиеся значения выпуска положительны.

Для упрощения будем предполагать, что d₁ = d₂ = d. Следовательно, точка Курно K (d/ 3, d /3);

прибыль: ;

суммарная прибыль: ;

цена на товар: .

3.2.3. Стратегия Стакельберга

Стратегия Стаксльберга рассматривает случай, когда одна из фирм сознательно раскрывает свою стратегию.

Пусть, например, первая фирма даст возможность второй узнать свой ход х₁, тогда вторая фирма ответит оптимальным для нее образом: . Первая фирма будет теперь действовать, исходя именно из такого поведения второй фирмы. Но, конечно, прежде чем довести до сведения второй фирмы свой ход, первая просчитает этот свой ход, исходя из максимизации прибыли W ₁:

Максимум прибыли первой фирмы равен:

Таким образом, получаем точку Стакельберга:

Общий выпуск .

Прибыли фирм в этом случае:

Суммарная прибыль:

Таким образом, прибыль первой фирмы больше, а прибыль второй и суммарная прибыль меньше, чем в точке Курно.

Цена товара равна: , и она меньше, чем в точке Курно.

3.2.4. Объединение двух фирм

Пусть теперь фирмы объединятся. Тем самым они образуют монополию своего товара на рынке. Тогда суммарная прибыль: .

Максимум прибыли достигается при выпуске:

; .

Прибыль в этом случае:

Цена определяется: .

3.2.5. Образование картеля

Картель - это тайный сговор нескольких фирм с целью поддержания заданной цены. Две фирмы должны выпускать вместе единиц товара, тогда их прибыль будет максимально возможной при любых их выпусках.

Следовательно, когда фирмы образуют картель, они должны выпускать каждая по единиц товара, получать прибыль . Цена при этом .

Результаты исследований сведены в таблицу.

Ситуация	x ₁	x ₂	x	W₁	W₂	W	P
Точка Курно	d/ 3	d/ 3	2 d/3	bd ² / 9	bd ² / 9	2 bd ² / 9	c- 2 bd / 3
Точка Стакельберга	d/ 2	d/ 4	3 d/ 4	bd ² / 9	bd ² / 16	3 bd ² / 16	с -3 bd /4
Монополия			d /2			bd ² / 4	с - bd /2
Картель	d/ 4	d/ 4	d/ 2	bd ² /8	bd ² / 8	bd ² / 4	с - bd /2

Для потребителя наиболее предпочтительна точка Стакельберга, в которой цена самая маленькая, а объем выпуска наибольший, и менее всего благоприятна ситуация монополии или картеля, в которой цена товара наивысшая, выпуск самый малый, зато суммарная прибыль фирм самая большая.

3.2.6. Стратегия Бертрана

Рассмотрим другую ситуацию взаимодействия двух фирм на рынке одного товара. Каждая фирма назначает свою цену р_i, i =1,2. Покупатели покупают товар по низшей цене в соответствии с функцией спроса d (min (p _l, p ₂))и совсем не покупают товар по более высокой цене (при этом фирма, назначившая низшую цену, удовлетворяет этот спрос). Если обе цены совпадают (p ₁ =p ₂ =p), то товар обеих фирм продается поровну в совместном количестве d (p). Пусть себестоимость товара одинакова у обеих фирм и равна с, следовательно, фирмы не могут назначить цену ниже с. Производство работает циклами, и эти циклы у обеих фирм совпадают.

Ситуация равновесия есть р ₁ = р₂ =с, и эта ситуация называется устойчивой по Нэшу. При р ₁= р ₂ =с обе фирмы имеют нулевую прибыль, но не имеют убытков; в то же время ни одна фирма не захочет поднять цену, если другая не будет поднимать, так как тогда первая ничего не продаст.

При любой равной цене р > с ситуация равновесная - обе фирмы имеют половину рынка: продажа товара каждой фирмы составляет d (p) /2. Но эта ситуация неустойчива по Нэшу: каждая фирма испытывает соблазн чуть опустить цену и захватить весь рынок, но тоже самое попытается сделать и другая в результате удачных для одной и неудачных для другой фирмы итераций цены скатятся до себестоимости с.

4. Математическая теория производства

4.1. Основные элементы модели производства. Пространство затрат и производственная функция

Под производством понимается процесс взаимодействия экономических факторов, завершаемый выпуском какой-либо продукции. Правила, предписывающие определенный порядок взаимодействия экономических факторов, составляют способ производства или, иначе говоря, технологию производства. Производство - основная область деятельности фирмы (или предприятия). Фирма - это организация, производящая затраты экономических ресурсов для изготовления продукции и услуг, которые она продает потребителям, в том числе, другим фирмам. Производственными единицами являются не только заводы и фабрики, но и отдельные лица - фермеры, ремесленники и др.

Производство можно представить как систему «затраты-выпуск», в которой выпуском является то, что фактически произведено, а затратами - то, что потребляется с целью выпуска (капитал, труд, энергия, сырье). Поэтому формально можно сказать, что производство - это функция, которая каждому набору затрат и конкретной технологии ставит в соответствие определенный выпуск. Именно такое упрощенное понимание производства как «черного ящика» заложено в математической модели производства. Во «вход» этого черного ящика подаются затраты, а на «выходе» получаем выпуск (произведенную продукцию).

Из приведенного выше краткого описания сути производства видно, что основными факторами, которые должны быть учтены при моделировании задачи фирмы, являются выпуск продукции, затраты ресурсов, их цены, доход, издержки и производственные возможности фирмы. Перед тем, как построить ту или иную оптимизационную модель задачи фирмы, более подробно остановимся на способах формализации этих понятий и рассмотрим некоторые их свойства.

Предположим, что фирма производит n видов продуктов. Виды продуктов будем обозначать индексом j, а их количества – через y_j, j= 1 ..n. Технология производства каждого вида продукта требует использования ряда ресурсов в некоторых количествах. Двойными индексами k_j обозначим виды ресурсов, используемых для выпуска продукта вида j. Пусть k_j = 1,2, …, m_j. Обозначим через - количества этих ресурсов, k_j = 1,2, …, m_j, j = 1,…, n. Следовательно, имеется всего m ₁ +…+m_n видов ресурсов.

Использование такой двойной индексации привлекательно с точки зрения информативности (видно, какой ресурс относится к какому продукту), но неудобно чисто технически. Во-первых, усложняется запись формул; во-вторых, увеличивается размерность задачи (т.к. среди m ₁, m ₂ … m_n могут быть одни и те же наименования) и, в-третьих, такие операции как сложение, вычитание затрат в векторной форме, а также составление уравнений становятся невозможными без дополнительных преобразований индексов (идентификация, упорядочение и т.д.).

Поэтому в дальнейшем виды ресурсов будем обозначать одинарными индексами k, их количества - x_k, где k = 1,2,…, m. Здесь m - достаточно большое число (равное сумме m₁+…+m_n, где каждый ресурс считается только один раз). Теперь можно говорить, что для производства n видов продуктов фирма использует m видов затрат. Это не приводит к недоразумениям, так как в случае неиспользования k -го ресурса для выпуска данного продукта полагаем x_k = 0.

Введем в рассмотрение два вида векторов: x =(x ₁,…, x_m) - вектор затрат и y =(y ₁,…, x_n)- вектор выпуска.

Технологическая связь между затратами и выпуском описывается с помощью производственной функции.

Определение Любая функция f, ставящая в соответствие каждому вектору затрат x вектор y=f (x) максимального выпуска, который может быть получен при этих затратах, называется производственной функцией.

Это есть определение производственной функции для многопродуктовой фирмы, т.е. векторной производственной функции. Если фирма выпускает только один вид продукта, то производственная функция является скалярной:

y=f(x₁,…,x_n) (1)

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме: F (x, y, A)=0, где A – -матрица параметров (технологическая матрица). В некоторых моделях применяется следующее выражение для производственной функции: F (z ₁,…, z_r, A)=0, где переменные z со знаком “ -” обозначают затраты, а со знаком «+» - выпуски.

Если в качестве независимых переменных (аргументов) выступают затраты (1), то производственную функцию иногда называют функцией выпуска, если же фиксирована величина выпуска (y), то производственная функция является функцией затрат (x=f ^-1(y)). Таким образом, функция выпуска и функция затрат являются взаимно обратными друг другу функциями.

Применение производственных функций не ограничивается выявлением зависимости затраты-выпуск. Различные приемы математического аппарата позволяют использовать их для вычисления численных характеристик производства, анализа эффективности изменения масштаба производства и технологического прогресса, исследования эластичности производственных факторов, рационального ведения хозяйства, оптимального планирования и прогнозирования вариантов развития фирмы и др.

Вопрос об адекватном описании экономической реальности на языке производственных функций тесно связан с их математическими свойствами. Ради простоты эти свойства приведем для однопродуктового производства, т.е. для производственной функции вида.

Монотонность: из и следует .

Вогнутость: для любых и справедливо неравенство .

Поведение в начале координат: .

Однородность: , где - масштабное число, - степень однородности.

Если производственная функция дифференцируема по всем аргументам, то свойства 1 и 2 соответственно могут быть заменены следующими неравенствами:

(2.)

(3)

Частные производные называются предельными продуктами. Условие (2), как и свойство 1, означает, что увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Условие (3) показывает, что увеличение затрат одного вида ресурса (при постоянном уровне затрат других ресурсов) приводит ко все меньшему приросту выпуска. Это свойство в экономической теории называется законом убывающей доходности (отдачи).

Свойство 3 является отражением бездеятельности, так как без затрат нет и выпуска. Свойство 4 описывает реакцию производства на изменение затрат. Параметр показывает масштаб изменения производства (расширения производства – если , сужения производства - если ), а - эффект от изменения масштабов производства. Если , то одновременное увеличение всех факторов в раз приводит к возрастанию объема выпуска больше, чем в раз , т.е. эффект от расширения масштаба производства положителен. При получаем: - выпуск возрастает в той же пропорции, что и затраты. Такие функции называются линейно-однородными (или однородными в первой степени).

Если то говорят о возрастающем (убывающем) доходе от расширения масштаба производства. Заметим, что свойство 4 определено в точке, тогда как свойства 1 и 2 - во всем пространстве затрат.

Как мы видим, перечисленные (желательные) свойства производственной функции вполне согласуются с ее определением, так как они касаются только соотношения затраты-выпуск. Приведем примеры наиболее удачно построенных и потому часто применяемых на практике производственных функций. При этом для простоты будем рассматривать двухфакторную однопродуктовую производственную функцию вида

4.2 Производственная функция Кобба-Дугласа.

Первый успешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии на базе статистических данных, был получен американскими учеными - математиком Д. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 году. Предложенная ими функция изначально имела вид:

(4)

где Y - объем выпуска, K - величина производственных фондов (капитал), L - затраты труда, - числовые параметры (масштабное число и показатель эластичности). Благодаря своей простоте и рациональности, эта функция широко применяется до сих пор и получила дальнейшие обобщения в различных направлениях. Функцию Кобба-Дугласа иногда мы будем записывать в виде