Отже визначені довільні сталі значно звужують множину розв‘язків і допомагають знайти один – потрібний для даної задачі.

Для того, щоб із знайденої множини розв’язків (5) відокремити визначене, потрібно знати константу C. Для цього потрібні додаткові умови – так названі початкові умови; в даному випадку достатньо знати значення шуканої функції при деякому значенні аргументу:

y(x₀)=y₀ (6)

Підставивши початкову умову (6) в розв’язок рівняння (5), знайдемо y₀=Ce^kx0, звідки C=y₀e^-kx0. Підставивши це значення C в формулу (5), отримаємо розв’язок рівняння показового росту, яке задовольняє задано ній початковій умові (6):

y(x) = y₀e^k(x-x0). (7)

Ми бачимо, що постійна C по початковій умові (6) визначається однозначно; ось чому розв’язок (7), який задовольняє даній початковій умові буде єдиним.

Приклад. Розв’язати рівняння y’(x) = 3y(x), якщо y(0) = 2.

Тут k =3, x₀=0, y₀=2; розв’язання можна записати за формулою (7): y(x)=2e^3x. Це буде єдиний розв’язок, задовольняючий заданій початковій умові.

Розглянемо деякі застосування рівняння (3). При розв’язування задач потрібно спочатку скласти диференціальне рівняння, указати початкову умову, а потім розв’язати рівняння. При складанні рівняння звичайно використовують відомі з курсів фізики та хімії закони.

Швидкість прямолінійного руху.

З другого закону Ньютона

(8)

де a – це прискорення руху матеріальної точки маси m, F – результуюча всіх сил діючих на матеріальну точку.

Швидкість руху v(t) і прискорення a(t) являються функціями від часу t, також, як відомо v’(t) = a(t). Помітимо, що дії над векторами, які проведені вздовж однієї прямої, на якій вибрано додатній напрям можна замінити на дії над їхніми проекціями на цю ж саму пряму. Таким чином, у випадку руху матеріальної точки вздовж осі Ox рівність (8) може бути заміненим рівністю

mv’(t) = F, (9)

де через v’(t) і F позначені відповідно проекції векторів і на цю ось. Рівняння (9) описує також і поступальний рух тіла. Такий рух можна розглядати як рух матеріальної точки, яка розташована в центрі мас тіла, під дією сил, прикладених до центру мас.

Задача. Моторний човен рухається в стоячій воді зі швидкістю 5 м/с. На повному ходу її мотор був вимкнутий; через 4 с її швидкість стала рівної 1 м/с. Вважаючи, що сила опору води пропорційна швидкості руху човна, визначити, через скільки секунд після вимкнення мотора швидкість зменшиться до 4 см/с?

Розв’язання. Будемо вважати, що човен рухається прямолінійно. Направимо ось Ох вздовж руху човна. Позначимо через v(t) швидкість руху човна в момент часу t після вимкнення мотора. В момент вимкнення мотора (t=0) швидкість, за умовою, дорівнює 5 м/с, або

v (0) =5. (10)

Це – початкова умова задачі. Складемо диференційне рівняння. Нехай маса човна дорівнює m. За умовою, на рухаючийся човен діє сила F=- k₁v(t), де k₁>0 (знак мінус вказує на те, що сила опору води направлена проти швидкості руху човна). Підставивши це значення F в рівняння (9) і позначивши m k₁ = k, отримаємо диференціальне рівняння

v’(t)=- kv(t), k>0,

аналогічно рівнянню (3). За формулою (7) знайдемо його розв’язок при початковій умові (10):

.

Використовуючи додаткову умову v(4)=1 м/с, знайдемо

ось чому - це закон зміни швидкості руху човна після зупинки мотору. Для відповіді на питання потрібно розв’язати рівняння v(t)=0,04 відносно t. Розв’язавши його отримаємо, що t=12с.

Радіоактивний розпад.

З фізики відомо, що кількість атомів радіоактивної речовини, що розпадаються в одиницю часу, складає постійну частину від кількості нерозпавшихся атомів. Для кожного вигляду радіоактивної речовини ця постійна частина своя, вона називається постійної розпаду і позначається через . Іншими словами: швидкість розпаду атомів радіоактивної речовини пропорційна кількості нерозпавшихся атомів, а саме

(11)

Де М (t)- кількість нерозпавшихся радіоактивних атомів речовини в момент часу t, М' (t) - швидкість їхнього розпаду. Бо з плином часу кількість нерозпавшихся атомів зменшується, те похідна М' (t) від’ємна. Рівняння (11) є диференційним рівнянням, аналогічним диференційному рівнянню показового зростання (3). Враховуючи зв'язок між числом ядер і масою радіоактивної речовини, будемо говорити просто про розпад радіоактивної речовини.

Задача. Є М₀ радіоактивної речовини. Якщо за 30 років розпадається 50% його, те через скільки часу залишиться 25% первісної кількості?

Розв’язання. Позначимо через M (t) кількість радіоактивної речовини в момент часу t. Тоді

M (0) =M₀ (12)

Це – початкова умова задачі. Розв’язавши рівняння (11) при початковій умові (12) отримаємо

(13)

Прийнявши до уваги, що M(30)=M₀/2, з формули (13) знайдемо

За допомогою нескладних обчислень отримаємо, що відповідь 60 років.

Поглинання світла

При проходженні світла через воду (або скло) деяка його частина поглинається. Нехай на поверхню води перпендикулярно до неї падає світло з інтенсивністю A₀, інтенсивність світла на глибині х позначимо через А (х). Похідна А' (х) – швидкість поглинання світла на глибині х. З оптики відомо, що для таких серед, як вода або скло, швидкість поглинання світла на глибині х пропорційної інтенсивності світла на цій глибині, а саме

(14)

Так як інтенсивність світла А (х) з збільшенням глибини х зменшується, то похідна А'(х) від’ємна. Рівняння (14) є диференційним рівнянням типу (3) відносно функції А (х).

Задача. Десятиметровий шар води поглинає 40% світла,що падає на її поверхню. На якій глибині денне світло буде по яскравості таким же, як місячне світло на поверхні води, якщо яскравість місячного світла складає яскравості денного світла?

Розв’язання. Початкова умова задачі має вигляд

A(0)=A₀ (15)

Записавши розв’язання рівняння (14) при початковій умові (15) по формулі (5), отримаємо A(x)=A₀e^-kx; звідки, використовуючи додаткову умову A(10) = 0,6A₀, знайдемо

Закон поглинання світла матиме вигляд

Для визначення в задачі глибини х отримаємо рівняння

звідки х 247 м.

Концентрація розчину.

Задача. Є судина ємністю а л, наповнений водним розчином солі. В судину вливається вода зі швидкістю b л в хвилину, перемішується, і розчин,що одержується однорідної концентрації виходить з судини з тією ж швидкістю. Скільки солі буде міститися в розчині в момент часу t, якщо в початковий момент (t=0) її було в розчині A₀ кг? Обчислити відповідь, якщо а=100 л, A₀=10 кг, b=3 л в хвилину, t=1 година.

Розв’язання. Позначимо через A (t) кількість солі в розчині в момент часу t. Концентрація розчину в цей момент часу буде рівна A (t)/a. Зміна кількості солі в розчині в одиницю часу дорівнює різниці між кількістю солі, що надходить в судину і що виходить з неї. Але сіль в судину не надходить, а виходить з нього в одиницю часу bA (t)/a. Тому швидкість А' (t) зміни кількості солі в розчині дорівнює

(16)

Знак мінус вказує на зменшення кількості солі у розчині. Маємо диференціальне рівняння типу (3) з початковою умовою

А(0) = А₀ (17)

Записавши розв’язок рівняння (16) при початковій умові (17) за формулою (7), отримаємо A(t)=A₀e^-bt/a. Враховуючи числові дані задачі, знайдемо A(60) 1,654 кг.

Охолодження тіла

Нагріте тіло, поміщене в середу з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.

Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?

Розв’язання. Позначимо через U (t) температуру на поверхні деталі в момент часу t після початку охолодження. За умовою

U (0) = 500 (24)

Це – початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу t дорівнює U’(t). Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:

U (t) = -k (U (t)-20), k>0.

Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від’ємна. Звідси для U(t) отримаємо лінійне диференціальне рівняння, аналогічне рівнянню (22):

U’ (t)+kU (t)= 20k

Розв’язуючи його за формулою (23) з початковою умовою (24), отримаємо

U (t)= 480e^-kt+20

Використовуючи додаткову умову U(10)=100, знайдемо і, відповідно, U(t)=480 . Якщо t=20 отримаємо U(20)=33+1/3.

Найпростіші електричні кола

Якщо в замкнуте електричне коло послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е, В, активний опір R Ом, котушка з індуктивністю L Гн і конденсатор ємністю С, Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t існує така залежність:

E=U_R+U_C+U_L. (25)

Тут U_R=RI(t) – напруга на активному опорі, U_C=q(t)/C – напруга на конденсаторі і U_L=LI’(t) – напруга на котушці індуктивності; I(t) – сила струму в колі в момент часу t, яка вимірюється в амперах, q(t) – заряд конденсатора в момент часу t, яких вимірюється в кулонах.

Використовуючи співвідношення (25) і знаючи, що q’(t)= I(t), можна знайти силу струму в ланцюгу в залежності від заданої ЕРС джерела струму.

Задача. Послідовно ввімкнені джерело струму з ЕРС Е, В, котушка з індуктивністю L, Гн (L 0) і активний опір R, Ом. Знайти закон зміни сили струму I(t) в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу (t=0) вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна – E(t)=E;

Розв’язання. Використовуючи (25), після відповідних підстановок отримаємо співвідношення

,

яке при заданих R, L і E(t) можна розглядати як лінійне диференціальне рівняння

(26)

з початковою умовою

I (0)=0. (27)

Випадок а). При постійному струмі E(t)=E рівняння (26) з початковою умовою (27) аналогічно рівнянню (22) з початковою умовою (4). Розв’язавши його по формулі (23), знайдемо

. (28)

З (28) маємо, що з зростанням часу t сила струму I(t) наближається до постійного значення E/R. Таким чином, у встановившомуся режимі при постійній ЕРС джерела струму виникаючої в ланцюгу струм “не помічає” індуктивності і підпорядковується закону Ома для замкнутої ділянки ланцюгу постійного струму.

Падіння тіл.

При падінні тіл у вакуумі рух відбувається прямолінійно під дією сили тяжіння. При падінні тіл в повітрі рух можна вважати також прямолінійним, що відбувається під дією сили тяжіння і сили опору повітря, направленої вгору.

Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в повітрі на землю, вважаючи силу опору повітря прямо пропорційною швидкості руху і початкову швидкість рівної v₀ м/с.

Розв’язання. Направимо ось Оу вертикально вниз вздовж траєкторії падіння тіла. На тіло будуть діяти дві сили: сила тяжіння і сила опору повітря. Проекція сили тяжіння на ось Оу дорівнює mg, де m - маса тіла; проекція сили опору повітря на ось Оу, згідно умові задачі, дорівнює - kv (t), де k-коефіцієнт пропорційності. Проекція прискорення руху тіла на ту же ось дорівнює похідної v’(t). На підставі другого закону Ньютона будемо мати

mu' (t) == mg - kv (t),

або v' (t) +k₁v (t)=g, (29)

де k₁=k/m.

Рівняння (29) - лінійне диференційне рівняння типу (22) з початковою умовою

v (0) = v₀. По формулі (23) знайдемо його розв’язання:

З цієї формули бачимо, що з зростанням часу t швидкість падіння v(t) буде наближатися до значення . При чому якщо v₀< , то швидкість v(t) буде наближатися до значення зростаючи, а при v₀> - спадаючи. Наприклад, при затяжному стрибку на парашутиста після розкриття парашуту швидкість з плином часу, спадаючи, буде наближатися до значення . Величина k залежить від діаметру куполу парашуту. Це дозволяє (при відомому значенні mg) зробити розрахунок так, щоб швидкість спуску парашутиста була безпечною для приземлення. Звичайно така швидкість рівна 5-7 м/с.

Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в порожнечі на землю, вважаючи початкову швидкість руху рівної v₀.

Розв’язання. В цьому випадку опір повітря буде відсутнім і рівняння (29) видозмінюється

v’ (t) =g. (30)

В результаті інтегрування отримаємо безліч розв’язків v (t) =gt+C, з якого знайдемо розв’язок рівняння (30), що задовольнить заданій початковій умові v (0) =v₀: v (t)=v₀+gt- результат, добре відомий з курсу фізики.

Гармонічні коливання

х’’+ x= 0, (31)

де - деяке додатне число.

Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція

х == A cos ( t+a) (32)

для будь-яких сталих A і a є розв'язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв'язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв'язок рів­няння (31).

Функція (32) для будь-яких заданих А, і a описує гармонічний коливальний процес. Число | А | називається амплітудою, а число a - початковою фазою, або просто фазою коливання (32). Рівняння (31) називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число називають часто­тою коливання.

Число коливань за одиницю часу визначають за формулою n= .

Як бачимо, загальний розв'язок (32) рівняння (31) містить дві довільні сталі: амплітуду А і початкову фазу . Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,

x(t₀)=x₀, x’(t₀)=v₀. (33)

Тоді для визначення сталих А і дістанемо таку систему рівнянь:

(34)

Звідки A²cos²(w t₀+a) + A²sin²(w t₀+a)=x₀²+ ,

A²=x₀²+ .

Можна вважати, що A>0, тоді A= .

Знаючи амплітуду A, з системи (34) за формулами тригоно­метрії визначають початкову фазу a.

З формули (32) можна дістати інший вигляд загального розв'язку рівняння (31).

Справді, Поклавши, що дістанемо:

До такого диференціального рівняння приводять, наприк­лад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики – коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.

Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розгля­нуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора — внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з'являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).