Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

Порядок выполнения работы

1. Рассмотреть основные понятия алгебры логики.

2. Изучить последовательность действий построения таблиц истинности.

3. Научиться находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности.

Теоретическая часть

Логика высказываний – это наука о законах и формах мышления, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других.

Высказывание – это сообщение, выраженное повествовательным предложением, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Логическое выражение – простое или сложное высказывание, представленное в виде символов.

Значение истинного высказывания – истина (1).

Значение ложного высказывания – ложь (0).

Высказываниям ставятся в соответствие логические переменные (заглавные буквы латинского алфавита). Например, А – «Клавиатура – устройство для ввода информации в системный блок» (А=1) и В – «ВЗУ располагается внутри системного блока» (В=0).

Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.

Логические операции и таблицы истинности

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложное выражение ложно.
Таблица истинности для конъюнкции:

A	B	F

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения ложны.
Таблица истинности для дизъюнкции:

A	B	F

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии:

A	не А

4) Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации:

A	B	F

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности:

A	B	F

 

Обозначение логических операций.

Логические операции	Связка (союз)	Обозначение
Конъюнкция логическое умножение		И		л, &, •
Дизъюнкция логическое сложение		Или		V, +
Инверсия логическое отрицание		Не		¯, ﹁
Импликация логическое следование		Если …, то …		→, ⇒
Эквивалентность		Тогда … только тогда, когда …		↔, ~, ⇔

 

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

1. Инверсия;

2. Конъюнкция;

3. Дизъюнкция;

4. Импликация;

5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Практическая часть

Задание 1. Найти значения логического выражения:

1.	(1 V 1) V (1 V 0)	7.	(1 V 0) & (1 V 0) & (1 → 0)
2.	((0 & 1) & 1) л 0 V 1	8.	﹁(1 & 1 V 0) ↔ (﹁1 V 1)
3.	((1 V 0) & (1 & 1)) & (0 V 1)	9.	((1 V 0) л (1 & 1)) л (0 л 1)
4.	(0 V 1) → (1 & 1)	10.	((0 V 1) & 1) л 0 V 1
5.	(1 & 1 V 0) ↔ (﹁1 & 1)	11.	(1 V ﹁1) & (1 л 0)
6.	﹁((1 → 0) ↔ (1 & 1) V 1)	12.	((1 → 0) ↔ (1 л 1) V 1)

Задание 2. Поставить знак конъюнкции или дизъюнкции вместо знака «?» (если это возможно), чтобы логическое выражение при любых значениях а и в всегда принимала значение «истина»:

 

1.	(а V в)? (﹁ в V в)	7.	(﹁ а V а)? (﹁ в V ﹁ в)
2.	(а V а)? (﹁ в V а)	8.	(а л а)? (﹁ в л ﹁ в)
3.	(а л а)? (﹁ в V в)	9.	(﹁ а л ﹁ а)? (﹁ в л ﹁ в)
4.	(﹁ а л ﹁ а)? (﹁ в V в)	10.	(в V в)? (а л а)
5.	(а л а)? (﹁ в V ﹁ в)	11.	(﹁ а V ﹁ а)? (﹁ в V ﹁ в)
6.	( ﹁в л﹁ в)? ( ﹁ а V в)	12.	(в л ﹁ а)? (а V ﹁ в)

 

Задание 3. Для исходной логической функции построить таблицу истинности:

 

1.	(А V В) & (А V С) & (В → С)	7.		(С V ﹁А) V (﹁В V А)
2.	((А & С) & ﹁В) V (В & А)	8.		(﹁А & В V С) ↔ ﹁(В V А)
3.	((С V ﹁В) & (А & С)) & (А V В)	9.		((В V В) л (С & С)) л (А л С)
4.	((В V А) & А) л (С V ﹁С)	10.		(В & В) → ((А & А) л (С&﹁С))
5.	(С & ﹁А) V (﹁В & А)	11.		(А & В V А) ↔ (С & ﹁С)
6.	((В л С) & (﹁А л А)) & (С V ﹁В)	12.		((﹁А → В) ↔ (С л С) V В)

 

Пример выполнения

Задание 1. Найти значения логического выражения:

(﹁0 V ﹁1) л (1 л 0) = (1 V 0) л 0= 1 л 0 = 0.

Ответ: 0.

 

Задание 2. Поставить знак конъюнкции или дизъюнкции вместо «?», если это возможно, чтобы логическое выражение при любых значениях а и в всегда принимала значение «истина».

(а л а)? (﹁ в л ﹁ в): а л а.

Ответ: а л а.

Задание 3. Для исходной логической функции построить таблицу истинности.

((А & В) → (А → С)) V А.

1) Необходимо внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных А, В, С.

2) Определить последовательность выполнения логических операций (приоритет).

3) Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

 

А	В	С	А & В	А → С	(А & В) → (А → С)	((А & В) → (А → С))VА

 

Контрольные вопросы

 

1. Для чего предназначены таблицы истинности?

2. Что такое высказывание?

3. Установите приоритет следующим логическим операциям: дизъюнкция, инверсия, конъюнкция.

4. Приведите пример ложного высказывания.

5. Приведите пример истинного высказывания.