Лекция 5. Основные теоремы теории вероятностей

План лекции:

1. Вероятность противоположного события
2. Вероятность суммы двух событий
3. Условная вероятность
4. Вероятность произведения
5. Независимость событий
6. Формула полной вероятности
7. Формула Байеса

Рассмотрим ряд теорем, которые позволят нам в дальнейшем выразить вероятность одного события через вероятности других. Именно эта ситуация, когда по известным вероятностям одних событий требуется определить вероятность интересующего нас события, наиболее типична для задач теории вероятностей.

1. Вероятность противоположного события

Рассмотрим некоторое случайное событие A, и пусть его вероятность p(A) известна. Тогда вероятность противоположного события определяется по формуле

. (1.8)

Доказательство. Вспомним, что по аксиоме 3 для несовместных событий

p(A+B) = p(A) + p(B).

В силу несовместности A и

.

Следствие. , то есть вероятность невозможного события равна нулю.

С помощью формулы (1.8) определяется, например, вероятность промахнуться, если известна вероятность попадания (или, наоборот, вероятность попадания, если известна вероятность промаха; например, если вероятность попадания для орудия 0,9, вероятность промаха для него (1 – 0,9 = 0,1).

 

1. Вероятность суммы двух событий

Здесь уместно будет напомнить, что для несовместных событий эта формула имеет вид:

. (1.9)

Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?

Решение. P = 1 – (0,85 + 0,1) = 0,05.

 

Вероятность суммы двух любых случайных событий равна

. (1.10)

Доказательство. Представим событие A + B в виде суммы несовместных событий

.

Учитывая несовместность A и , получим согласно аксиоме 3

.

Аналогично находим

.

Подставляя последнее в предыдущую формулу, получим искомую (1.10) (рис 2).

Рис.1.2.

 

Пример. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причем, 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

Решение. P = 1 – (5/20 + 4/20 – 3/20) = 0,7 (70%).

 

1. Условная вероятность

В некоторых случаях необходимо определить вероятность случайного события B при условии, что произошло случайное событие A, имеющее ненулевую вероятность. То, что событие A произошло, сужает пространство элементарных событий до множества A, соответствующего этому событию. Дальнейшие рассуждения проведём на примере классической схемы. Пусть Wсостоит из n равновозможных элементарных событий (исходов) и событию A благоприятствует m(A), а событию AB - m(AB) исходов. Обозначим условную вероятность события B при условии, что A произошло, - p(B|A). По определению,

= .

Если A произошло, то реализован один из m(A) исходов и событие B может произойти, только если произойдёт один из исходов, благоприятствующих AB; таких исходов m(AB). Поэтому естественно положить условную вероятность события B при условии, что A произошло, равной отношению

.

Обобщая, дадим общее определение: условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется

. (1.11)

Легко можно проверить, что введённое таким образом определение удовлетворяет всем аксиомам и, следовательно, справедливы все ранее доказанные теоремы.

Часто условную вероятность p(B|A) можно легко найти из условия задачи, в более сложных случаях приходится пользоваться определением (1.11).

Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых и N-n черных. Из нее достают шар и, не кладя его обратно (выборка без возвращения), достают еще один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?

Решение. При решении этой задачи применим и классическое определение вероятности, и правило произведения: обозначим через A событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар (тогда – первым вынули черный шар), а через B – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

.

Легко видеть, что вероятность того, что три вынутые подряд (без возвращения) шара белые:

и т.д.

 

Пример. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

Решение. Пусть событие A заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента ²плохим², а B - второй - ²хорошим². Поскольку после наступления события A один из ²плохих² уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность, предполагая, что появление любого билета равновозможно и они обратно не возвращаются, равна .

1. Вероятность произведения

Соотношение (1.11), предполагая, что p(A) или p(B) не равны нулю, можно записать в виде

. (1.12)

Это соотношение называют теоремой о вероятности произведения двух событий, которая может быть обобщена на любое число множителей, например, для трёх она имеет вид

.

Пример. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

Решение. Пусть события A и B заключаются в том, что, соответственно, первый и второй билеты ²хорошие². Тогда – появление ²плохого² билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие A или одновременно и B. То есть искомое событие С - успешная сдача экзамена – выражается следующим образом: C = A + .Отсюда

.

Здесь мы воспользовались несовместностью A и , а следовательно, несовместностью A и , теоремами о вероятности суммы и произведения и классическим определением вероятности при подсчёте p(A) и .

Эту задачу можно решить и проще, если воспользоваться теоремой о вероятности противоположного события:

.

1. Независимость событий

Случайные события A и B назовём независимыми, если

. (1.13)

Для независимых событий из (1.11) следует, что ; справедливо и обратное утверждение.

Независимость событий означает, что наступление события A не изменяет вероятности появления события B, то есть условная вероятность равна безусловной.

Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладем его обратно и только затем вынимаем следующий (выборка с возвращением).

A - событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, - событие, состоящее в том, что первым вынули черный шар, а B - событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

;

то есть в этом случае события A и В независимы.

Таким образом, при выборке с возвращением события при втором вынимании шара не зависят от событий первого вынимания, а при выборке без возвращения это не так. Однако при больших N и n эти вероятности очень близки к друг другу. Этим пользуются, так как иногда производят выборку без возвращения (например, при контроле качества, когда тестирование объекта приводит к его разрушению), а расчеты проводят по формулам для выборки с возвращением, которые проще.

На практике при расчете вероятностей часто пользуются правилом, согласно которому из физической независимости событий следует их независимость в теоретико-вероятностном смысле.

Пример. Вероятность того, что человек в возрасте 60 лет не умрет в ближайший год, равна 0,91. Страховая компания страхует на год жизнь двух людей 60-ти лет.

Вероятность того, что ни один из них не умрет: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Вероятность того, что они оба умрут:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Вероятность того, что умрет хотя бы один:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Вероятность того, что умрет один:

0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.

Систему событий A₁, A₂,..., A_n назовём независимой в совокупности, если вероятность произведения равна произведению вероятностей для любой комбинации сомножителей из этой системы. В этом случае, в частности,

.

Пример. Шифр сейфа состоит из семи десятичных цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

В каждой из 7 позиций можно набрать любую из 10 цифр 0,1,2,...,9, всего 10⁷чисел, начиная с 0000000 и кончая 9999999.

P = (1/10)⁷.

Пример. Шифр сейфа состоит из русской буквы (их 33) и трех цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

P = (1/33) × (1/10)³.

Пример. В более общем виде задача о страховке: вероятность того, что человек в возрасте … лет не умрет в ближайший год, равна p. Страховая компания страхует на год жизнь n людей этого возраста.

Вероятность того, что ни один из них не умрет: pn (не придется платить страховую премию никому).

Вероятность того, что умрет хотя бы один: 1 – pⁿ(предстоят выплаты).

Вероятность того, что они все умрут: (1 – p)ⁿ(самые большие выплаты).

Вероятность того, что умрет один: n × (1 – p) × p^n-1(если людей пронумеровать, то тот, кто умрет, может иметь номер 1, 2,…,n – это n разных событий, каждое из которых имеет вероятность (1 – p) × p^n-1).

1. Формула полной вероятности

Пусть события H₁, H₂,..., H_n удовлетворяют условиям

, если , и .

Такую совокупность называют полной группой событий.

Предположим, что известны вероятности p (H_i), p (A/H_i). В этом случае применима формула полной вероятности

. (1.14)

Доказательство. Воспользуемся тем, что H_i (их обычно называют гипотезами) попарно несовместны (следовательно несовместны и H_i × A), и их сумма есть достоверное событие

.

Эта схема имеет место всегда, когда можно говорить о разбиении всего пространства событий на несколько, вообще говоря, разнородных областей. В экономике это – разбиение страны или района на регионы разного размера и разных условий, когда известна доля каждого региона p(H_i) и вероятность (доля) какого-то параметра в каждом регионе (например, процент безработных – в каждом регионе он свой) – p(A/H_i). На складе может лежать продукция с трех разных заводов, поставляющих разное количество продукции с разной долей брака и т.д.

Пример. Литье в болванках поступает из двух цехов в третий: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.

Решение: p(H₁) = 0,7; p(H₂) = 0,3; p(A/H₁) = 0,1; p(A/H₂) = 0,2;

P = 0,7 × 0.1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (в среднем 13% болванок в третьем цехе дефектны).

Математическая модель может быть, например, такой: имеется несколько урн разного состава; в первой урне n₁шаров, из которых m₁белых, и т.д. По формуле полной вероятности ищется вероятность, выбрав наугад урну, достать из нее белый шар.

По этой же схеме решаются задачи и в общем случае.

Пример. Вернемся к примеру с урной, содержащей N шаров, из которых n белых. Достаем из нее (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?

Решение. H₁– первый шар белый; p(H₁)=n/N;

H₂– первый шар черный; p(H₂)=(N-n)/N;

В - второй шар белый; p(B|H₁)=(n-1)/(N-1); p(B|H₂)=n/(N-1);

.

Эта же модель может быть применена при решении такой задачи: из N билетов студент выучил только n. Что ему выгоднее – тянуть билет самым первым или вторым? Оказывается, в любом случае он с вероятностью n/N вытянет хороший билет и с вероятностью (N-n)/N – плохой.

Пример. Определить вероятность того, что путник, вышедший из пункта А, попадёт в пункт В, если на развилке дорог он наугад выбирает любую дорогу (кроме обратной). Схема дорог указана на рис. 1.3.

Решение. Пусть приход путника в пункты H₁, H₂, H₃и H₄будет соответствующими гипотезами. Очевидно, они образуют полную группу событий и по условию задачи

p(H₁) = p(H₂) = p(H₃) = p(H₄) = 0,25.

Рис.1.3.

 

(Все направления из А для путника равновозможны). Согласно схеме дорог условные вероятности попадания в B при условии, что путник прошёл через H_i, равны:

.

Применяя формулу полной вероятности, получим

.

1. Формула Байеса

Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие A произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза H k. По определению условной вероятности

. (1.15)

Полученное соотношение называют формулой Байеса. Она позволяет по известным
(до проведения опыта) априорным вероятностям гипотез p(H_i) и условным вероятностям p(A|H_i) определить условную вероятность p(H_k|A), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие A уже произошло).

Пример. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы, соответственно, равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

Решение. Пусть H₁, H₂, H₃ - гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит, соответственно, первой, второй и третьей группам. Они образуют полную группу событий, причём p(H₁) = 0,3, p(H₂) = 0,2 и p(H₃) = 0,5. По условию, событие A, обнаружение туберкулеза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(A|H₁) = 0,02, p(A|H₂) = 0,03 и p(A|H₃) = 0,01. Апостериорную вероятность p(H₃|A) вычисляем по формуле Байеса:

.