Основные уравнения динамики жидкости

Литература

Основная

1. Лапшев, Н. Н. Гидравлика: учебник. – М.: Академия, 2012. – 272 с

Дополнительная

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Наука, 1978.

2. Альтшуль А.Д. Гидравлика и аэродинамика / А.Д. Альтшуль, Л.С. Животовский, Л.П. Иванов. М.: Стройиздат, 1975.

3. Большаков В.А. Справочник по гидравлике / В.А. Большаков,
Ю.М. Константинов. Киев: Вища школа, 1984.

4. Сборник задач по гидравлике / под ред. В.А. Большакова. 4-е изд. Киев: Вища школа, 1979.

5. Справочник по гидравлическим расчетам / под ред. П.Г. Киселева.
4-е изд. М.: Энергия, 1972.

6. Гидравлика и газовая динамика: методические указания и контрольные вопросы / под ред. Е.В. Балахонцева, Л.А. Владиславлева. М.: Высшая школа, 1980.

7. Киселев П.Г. Гидравлика / П.Г. Киселев. М.: Энергия; 1980.

8. Штеренлихт Д.В. Гидравлика / Д.В. Штеренлихт. М.: Стройиздат, 1984.

9. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика / Б.Т. Емцев. М.: Машиностроение, 1978.

Методическая литература:

1. Борисенко, О. А. (СевКавГТУ). Гидравлика: учебное пособие (курс лекций) / О. А. Борисенко; Сев.-Кав. гос. техн. ун-т. – Ставрополь: СевКавГТУ, 2010. – 133 с.

2. Калиниченко, М.Ю. Лабораторный практикум для проведения лабораторных работ по дисциплинам «Гидравлика», «Гидравлика и гидропневмопривод», «Механика жидкости и газа», «Прикладная гидродинамика», «Инженерные системы зданий и сооружений (водоснабжение и водоотведение с основами гидравлики)» – Ставрополь.: СКФУ, 2016, – 72 с.

3. Калиниченко, М.Ю. Практикум для проведения практических занятий по дисциплинам «Гидравлика», «Гидравлика и гидропневмопривод», «Механика жидкости и газа», «Прикладная гидродинамика», «Инженерные системы зданий и сооружений (водоснабжение и водоотведение с основами гидравлики)» – Ставрополь.: СКФУ, 2016, – 82 с.

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Определение жидкости. Силы, действующие на жидкость (массовые и поверхностные). Плотность жидкости. Вязкость. Закон Ньютона для трения в жидкости. Температурное расширение и сжимаемость жидкости. Поверхностное натяжение. Модель идеальной жидкости.

Методические указания

По своим физическим свойствам жидкости занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами. Жидкость весьма мало изменяет свой объем при изменении давления или температуры, в этом отношении она сходна с твердым телом. Жидкость обладает текучестью, благодаря чему она не имеет собственной формы и принимает форму того сосуда, в котором находится. В этом отношении жидкость отличается от твердого тела и имеет сходство с газом. Свойства жидкостей и их отличие от твердых тел и газов обусловливаются молекулярным строением. Следует уяснить, каким образом особенности молекулярного строения влияют на физические свойства жидкости.

Покоящаяся жидкость подвержена действию двух категорий внешних сил: массовых и поверхностных. Массовые силы пропорциональны массе жидкости или для однородных жидкостей – ее объему. Следует знать, какие силы относятся к массовым (объемным) и к поверхностным силам, какие силы называются внешними и какие внутренними.

В покоящейся жидкости может существовать только напряжение сжатия, т. е. давление. Необходимо четко представлять разницу между понятиями среднего гидростатического давления, гидростатического давления в точке, выраженных в единицах напряжения, и понятием суммарного гидростатического давления на поверхность, выраженного в единицах силы.

В гидравлике при изучении законов равновесия и движения широко пользуются различными физическими характеристиками жидкости (например, плотность). Студенту нужно уметь определять основные физические характеристики жидкости, знать единицы этих характеристик.

Следует также рассмотреть основные физические свойства капельных жидкостей: сжимаемость, тепловое расширение, вязкость и др.

Вязкостью называется свойство жидкости оказывать сопротивление относительному перемещению слоев, вызывающему деформацию сдвига. Это свойство проявляется в том, что в жидкости при ее движении возникает сила сопротивления сдвигу, называемая силой внутреннего трения. При прямолинейном слоистом движении жидкости сила внутреннего трения между перемещающимися один относительно другого слоями с площадью соприкосновения определяется законом Ньютона:

или .

Динамический коэффициент вязкости не зависит от давления и от характера движения, а определяется лишь физическими свойствами жидкости и ее температурой. Как видно, сила и касательное напряжение пропорциональны градиенту скорости по нормали к поверхности трения , который представляет собой изменение скорости жидкости в направлении нормали на единицу длины нормали.

Учет сил вязкости значительно осложняет изучение законов движения жидкости. С другой стороны, капельные жидкости незначительно изменяют свой объем при изменении давления и температуры. В целях упрощения постановки задач и их математического решения создана модель идеальной жидкости. Идеальной жидкостью называется воображаемая жидкость, которая характеризуется полным отсутствием вязкости и абсолютной неизменяемостью объема при изменении давления и температуры. Переход от идеальной жидкости к реальной осуществляется введением в конечные расчетные формулы поправок, учитывающих влияние сил вязкости и полученных главным образом опытным путем. При изучении гидродинамики следует проследить особенности перехода от идеальной жидкости к реальной.

В гидравлике жидкость рассматривается как сплошная среда (континуум), т.е. среда, масса которой распределена по объему непрерывно. Это позволяет рассматривать все характеристики жидкости (плотность, вязкость, давление, скорость и др.) как функции координат точки и времени, причем в большинстве случаев эти функции предполагаются непрерывными.

Контрольные вопросы

1. Что называют жидкостью? Каковы ее отличительные признаки?

2. Как определяют плотность жидкости? Указать ее наименование в системе СИ.

3. Что называют коэффициентом объемного сжатия? Пояснить его связь с модулем упругости жидкости.

4. Как определяется коэффициент температурного расширения? Указать его наименование и численные значения для воды.

5. Сформулируйте и запишите закон вязкого трения Ньютона с указанием физического смысла всех входящих величин.

6. Каковы наименования коэффициентов динамической и кинематической вязкости в системе СИ? Какими приборами измеряется вязкость жидкостей?

7. Как зависят коэффициенты динамической и кинематической вязкости от давления и температуры у капельных и газообразных жидкостей? Пояснить их с точки зрения молекулярного строения жидкостей и газов.

8. Объясните явление капиллярности в трубках малого диаметра. Как подсчитать величину капиллярного поднятия или опускания в трубке малого сечения?

9. С какой целью в гидравлике вводится понятие об идеальной жидкости? Чем отличается идеальная (гипотетическая) жидкость от реальной жидкости?

10. Приведите уравнения состояния для жидкостей и газов.

ГИДРОСТАТИКА

Свойства гидростатического давления. Дифференциальные уравнения равновесия (уравнение Эйлера). Интегрирование уравнений Эйлера. Основное уравнение гидростатики (1-я и 2-я формы). Поверхности равного давления. Закон Паскаля. Приборы для измерения давления. Сила давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности. Закон Архимеда.

Методические указания

Два свойства гидростатического давления обусловлены тем, что покоящаяся жидкость не воспринимает касательных и растягивающих усилий. Знание этих свойств позволяет понять физический смысл формул статического силового воздействия жидкости на твердые тела.

Наиболее общими уравнениями гидростатики являются дифференциальные уравнения Эйлера, устанавливающие связи между массовыми и поверхностными силами, действующими в жидкости. При изучении этих уравнений следует усвоить физический смысл всех входящих в них величин. Эти уравнения позволяют просто и быстро решать задачи как в случае

абсолютного покоя жидкости, когда на жидкость из массовых сил действует только сила тяжести, так и в случае относительного покоя, когда к силе тяжести присоединяются силы инерции. В случае действия на жидкость одной лишь силы тяжести интегрирование уравнений Эйлера дает основное уравнение гидростатики:

где и – давление в точках 1 и 2; – глубина погружения точки 2 относительно точки 1; – плотность жидкости.

В зависимости от способа отсчета различают абсолютное, избыточное (манометрическое) и вакуумметрическое давление. Следует знать взаимосвязь этих величин.

В уравнении точка 1 может лежать на свободной поверхности жидкости. При этом давление будет избыточным только в том случае, когда давление на свободную поверхность равно атмосферному.

Весьма важными понятиями в гидравлике являются пьезометрическая высота и гидростатический напор. Пьезометрическая высота выражает в метрах столба жидкости избыточное (или абсолютное) давление в рассматриваемой точке жидкости. Гидростатический напор равен сумме геометрической и пьезометрической высот. Для всех точек данного объема покоящейся жидкости гидростатический напор относительно выбранной плоскости сравнения есть постоянная величина.

Воздействие жидкости на плоские и криволинейные поверхности наглядно отражается эпюрами давления. Площадь (объем) эпюры дает величину силы давления, а центр тяжести этой площади (объема) точку приложения силы давления. Аналитическое рассмотрение задачи позволяет получить весьма простые расчетные формулы. В случае плоской поверхности любой формы величина силы гидростатического давления равна смоченной площади этой поверхности, умноженной на гидростатическое давление в центре тяжести площади. Точка приложения силы гидростатического давления (центр давления) лежит всегда ниже центра тяжести (за исключением давления на горизонтальную плоскость, когда они совпадают). Следует указать, что формула для определения координаты центра давления дает точку приложения силы только гидростатического давления без учета давления на свободную поверхность (см. вывод формулы в любом учебнике гидравлики).

Для криволинейных цилиндрических поверхностей обычно определяют горизонтальную и вертикальную составляющие полной силы гидростатического давления. Определение вертикальной составляющей связано с понятием «тела давления», которое представляет собой действительный или воображаемый объем жидкости, расположенный над цилиндрической поверхностью. Линия действия нормальной составляющей проходит через центр давления вертикальной проекции криволинейной поверхности, а линия действия вертикальном составляющей – через центр тяжести тела давления.

При изучении этого раздела студенту полезно рассмотреть несколько конкретных примеров построения тел давления для цилиндрических поверхностей, определить самостоятельно вертикальную и горизонтальную составляющие силы давления, точки их приложения и результирующую силу.

Необходимо рассмотреть давление жидкости на стенки труб и резервуаров и расчетные формулы для определения толщины их стенок.

Контрольные вопросы

1. Что такое массовые и поверхностные силы?

2. Что называется гидростатическим давлением в точке, и какими двумя свойствами оно обладает?

3. Какой вид имеют дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнение Эйлера)? Каков физический смысл входящих в них величин?

4. Вывести зависимость для определения полного гидростатического давления в данной точке.

5. Как формулируется закон Паскаля? Какое применение находит этот закон в технике?

6. Как определяется сила гидростатического давления жидкости на плоскую фигуру? Что такое центр давления и как находится глубина его погружения?

7. Поясните, что собой представляет эпюра гидростатического давления? Изобразите графически изменение гидростатического давления вдоль вертикальной стенки и по дну сосуда, заполненного жидкостью.

8. Как определяется результирующая сила давления жидкости на криволинейную поверхность?

9. Что такое тело давления? Какие бывают тела давления?

10. Вывести и сформулировать закон Архимеда.

КИНЕМАТИКА

Виды движения жидкости. Основные понятия кинематики жидкости: линия тока, трубна тока, струйка, живое сечение, расход. Поток жидкости. Средняя скорость. Уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности). Изменение средней скорости вдоль потока.

Методические указания

Кинематика изучает движение жидкости вне зависимости от сил, действующих на нее. Изучая эту тему, студент должен ясно представлять себе струйную модель потока жидкости, основой которой является элементарная струйка.

При изучении этого раздела студент должен понять, как происходит движение частицы жидкости и чем это движение отличается от движения твердого тела. Частицы жидкости участвуют в поступательном, вращательном и деформационном движении.

Одним из основных уравнений кинематики является уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности), которое для плавно изменяющегося движения может быть представлено в виде (вдоль потока), откуда для двух сечений 1 и 2 получим , т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений.

Контрольные вопросы

1. Что такое линия тока и траектория частицы жидкости? Когда они совпадают?

2. Что такое элементарная струйка, и какими свойствами она обладает при установившемся движении жидкости?

3. Какое движение жидкости называется установившимся и неустановившимся? В чем их различие? Привести не менее четырех примеров, иллюстрирующих эти виды движения.

4. Что называется равномерным и неравномерным движением жидкости? Привести не менее двух примеров для каждого из этих видов.

5. Дайте определения и укажите наименования единиц в системе СИ следующих гидравлических величин и характеристик: живое сечение, смоченный периметр, гидравлический радиус, расход.

6. Что такое расход потока и как по расходу можно определить среднюю скорость движения жидкости в сечении потока?

7. Как Вы представляете себе модель потока жидкости?

8. Выведите уравнение неразрывности для элементарной струйки невязкой жидкости.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости. Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости. Коэффициент Кориолиса. Общие понятия о потерях. Виды гидравлических потерь.

Методические указания

Важным уравнением в гидравлике, применяемым на практике, является уравнение Бернулли:

где – геометрический напор; возвышение рассматриваемой точки (точки с давлением ) данного живого сечения над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью сравнения или ; мера воздействия на поток силы тяжести; удельная потенциальная энергия положения относительно Земли, т.е. потенциальная энергия поля земного притяжения; – пьезометрический напор; возвышение уровня в пьезометрической трубке над точкой, имеющей ординату ; мера («пьезометрический» значит «давление меряющий») воздействия на поток силы давления: удельная потенциальная энергия давления; – скоростной напор; возвышение уровня в трубке Пито, нижний открытый конец которой загнут против течения, над уровнем в пьезометре; мера воздействия на поток конвективной силы инерции; удельная кинетическая энергия; высота взлета струи, выпущенной вертикально вверх со скоростью ; – потерянный напор; понижение линии энергии (механической) на участке между сечениями 1 и 2, для которых составляется уравнение Бернулли; мера воздействия сил трения; удельная механическая энергия, перешедшая в тепловую на участке 1 – 2вследствие работы сил трения.

Уравнение Бернулли надо не только хорошо знать, понимать, но и уметь им пользоваться для решения практических задач, уметь составлять его для различных конкретных случаев, что достигается только практикой. Работая с уравнением Бернулли, полезно руководствоваться следующими указаниями:

1) уравнение Бернулли составляется для двух живых, т. е. нормальных к направлению скорости, сечений; эти сечения должны располагаться на прямолинейных участках потока;

2) одно из этих сечений следует брать там, где требуется определить или , или , или ; другое сечение рекомендуется брать там, где , и известны;

3) нумеровать расчетные сечения следует так, чтобы жидкость двигалась от 1-го ко 2-му; в противном случае должен быть изменен на обратный знак ;

4) горизонтальную плоскость сравнения желательно по высоте совмещать с тем из двух расчетных сечений, которое располагается ниже; тогда один из выпадет из уравнения, а второй будет величиной положительной;

5) последний член уравнения должен учитывать все потери напора между расчетными сечениями.

Контрольные вопросы

1. Напишите дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера) и объясните физический смысл входящих в них членов.

2. Как записывается уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости? Каков геометрический и энергетический смысл каждого слагаемого в уравнении Бернулли?

3. Запишите уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной (вязкой) жидкости. Каков геометрический и энергетический смысл каждого слагаемого в уравнении Бернулли?

4. Как записывается уравнение Бернулли для потока реальной жидкости? Пояснить геометрический и энергетический смысл его членов.

5. В чем состоит отличие уравнения Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости от уравнения Бернулли потока реальной жидкости?

6. Каков физический смысл коэффициента Кориолиса (а) в уравнении Бернулли для потока реальной жидкости?

7. Укажите условие применения уравнения Бернулли для потока.

8. С какой целью вводится понятие о плавной изменяемости потока при выводе уравнения Бернулли для потока реальной жидкости?

9. Запишите уравнение Бернулли для двух сечений равномерного потока (например, в трубе) реальной жидкости, ось которого горизонтальна. Как изменяется давление по длине потока?

10. Может ли изменяться знак пьезометрического уклона от положительного до отрицательного? В каких случаях? Может ли быть отрицательным гидравлический уклон?