Утверждено на заседании кафедры 28 ноября 2012 г. (протокол № 4).

 

 

Темы курса Математики, не вошедшие в учебный план 1-го семестра

Функции комплексного переменного – часть 1:

 

1. Понятие комплексного числа, его действительной и мнимой части.

2. Алгебраическая форма записи комплексного числа, понятия чисел равных и комплексно-сопряжённых.

3. Арифметические действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

4. Геометрическое представление комплексного числа. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа.

5. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел. Переход из одной формы записи комплексного числа в другую.

6. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формулы Муавра.

7. Ряды комплексных чисел. Понятия абсолютной и условной сходимости таких рядов.

8. Понятие функции комплексного переменного, её предела и непрерывности.

9. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного.

10. Логарифмическая, обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции комплексного переменного.

11. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

12. Сопряжённые гармонические функции.

13. Понятие аналитической функции комплексного переменного в области. Необходимые и достаточные условия аналитичности.

14. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного.

15. Понятие интеграла от функции комплексного переменного и его основные свойства. Вычисление интегралов.

16. Основная теорема Коши. Интегральная формула Коши.

Интеграл Коши, интеграл типа Коши. Некоторые следствия из интегральной формулы Коши.

 

Функции комплексного переменного – часть 2:

1. Ряды функций комплексного переменного, область их сходимости. Понятие равномерной сходимости, признак Вейерштрасса.

2. Степенные ряды, теорема Абеля. Круг и радиус сходимости функционального ряда.

3. Ряды Тейлора и Маклорена функций комплексного переменного. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора, понятие единственности разложения.

4. Ряды Лорана. Правильная и главная части ряда Лорана. Разложение аналитических функций в ряд Лорана.

5. Типы изолированных особых точек однозначной функции (устранимая, полюс, существенно особая, бесконечно удалённая).

6. Структура ряда Лорана в окрестности изолированной особой точки.

7. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

8. Определение вычета функции относительно изолированной особой точки.

9. Вычисление вычета функции относительно полюса.

10. Вычисление вычета функции относительно существенно особой точки.

11. Вычисление вычета функции относительно бесконечно удалённой точки.

12. Логарифмический вычет и его приложения.

13. Основная теорема о вычетах.

14. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов по замкнутым контурам на комплексной плоскости.

15. Приложение теории вычетов к вычислению определённых и несобственных интегралов.

16. Понятие конформного отображения. Основная задача теории конформных отображений.

 

Операционное исчисление:

1. Определение преобразования Лапласа. Какая функция может служить оригиналом. Изображение функции по Лапласу.

2. Записать таблицу изображений наиболее часто используемых элементарных функций.

3. Свойство операционного исчисления: линейности и его использование для нахождения изображения по оригиналу и наоборот.

4. Свойства операционного исчисления: дифференцирования изображения и оригинала и их использование для нахождения изображения по оригиналу и наоборот.

5. Свойства операционного исчисления: интегрирования изображения и оригинала и их использование для нахождения изображения по оригиналу и наоборот.

6. Свойства операционного исчисления: запаздывания и смещения и их использование для нахождения изображения по оригиналу и наоборот.

7. Понятие свёртки функций. Запись изображения свёртки. Использование формулы свёртки для нахождения изображения по оригиналу и наоборот.

8. Схема нахождения частного решения линейных дифференциальных уравнений операционным методом.

9. Схема нахождения частного решения систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом

10. Записать и пояснить формулу Дюамеля. Привести примеры использования.

11. Понятие о функции Хэвисайда ( -функция) и функции Дирака ( -функция), их использование для восстановления функции-оригинала по её изображению и наоборот.