Пример решения задачи разделу 4

Для изготовления трех видов продукции используют два типа сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
Цена изделия

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: х₁ = 0, х₂ = 100, х₃ = 0.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевые значения х₁, х₃;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I типа на 6 единиц и уменьшении на 10 единиц запасов сырья II типа;

5) определить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 6 ед., на изготовление которого расходуется 5 ед. сырья типа I и 2 ед. сырья типа II.

Решение.

Обозначим через х ₁, х ₂ и х ₃ − объем выпуска изделий вида «А», «Б» и «В» соответственно. Запишем математическую модель задачи:

max (4 x ₁ + 3 x ₂ + 5 x ₃), (1)

3 x ₁ + 2 x ₂ + 4 x ₃ ≤ 200, (2)

2 x ₁ + x ₂ + 3 x ₃ ≤ 160, (3)

x ₁ ≥ 0, x ₂ ≥ 0, x ₃ ≥ 0. (4)

В этой модели функциональные ограничения (2)-(3) отражают условия ограниченности объемов, используемых в производстве ресурсов.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом Х ^* = (х ₁ = 0, х ₂ = 100, х ₃ = 0):

3∙0 + 2∙100 + 4∙0 = 200, (5)

2∙0 + 100 +3∙0 =100 < 160. (6)

Значение целевой функции (1) на этом плане равно

f(Х ^*) = 4∙0 + 3∙100 + 5∙0 = 300.

Отметим, что нулевые значения х ₁ и х ₃ означают нецелесообразность выпуска изделий вида «А» и «В» с точки зрения принятого критерия оптимальности.

Двойственная задача имеет вид:

min (200 y ₁ + 160 y ₂), (7)

3 y ₁ + 2 y ₂ ≥ 4, (8)

2 y ₁ + y ₂ ≥ 3, (9)

4 y ₁ + 3 y ₂ ≥ 5, (10)

y ₁ ≥ 0, y ₂ ≥ 0. (11)

Для нахождения двойственных оценок y ₁ и y ₂ используем вторую теорему двойственности.

Если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-е ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.

Если j-я компонента оптимального плана исходной задачи положительна, то j-е ограничение двойственной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

Теорема позволяет, если известно оптимальное решение одной из взаимно двойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи.

Поскольку второе ограничение прямой задачи (см. соотношение (6)) выполняется как строгое неравенство, то y ₂ = 0. Так как х ₂ > 0, то второе ограничение двойственной задачи (см. соотношение (9)) выполняется как равенство:

2 y ₁ + y ₂ = 3.

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

y ₂ = 0,

2 y ₁ + y ₂ = 3,

т.е. Y ^* = (y ₁ = 3/2, y ₂ = 0).

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

1. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны). В примере недефицитным ресурсом является сырье II-го типа, поскольку y ₂ = 0. Дефицитным является сырье I-го типа, так как y ₁ = 3/2.

2. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственной оценкой измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

Заданные в примере изменения запасов ресурсов Δ b ₁ = 6 и Δb₂ =−10 находятся в пределах устойчивости двойственных оценок, поэтому:

− решение двойственной задачи останется тем же: Y ^* = (y ₁ = 3/2, y ₂ = 0);

− изменение максимального значения целевой функции (общей стоимости продукции) составит

Δ f_max = y ₁∙Δ b ₁ + y ₂∙Δ b ₂ = (3/2)∙6 + 0∙(−10) = 9;

− новый план выпуска продукции можно найти непосредственно из системы ограничений исходной задачи, в которой х ₁ = 0, х ₃ = 0, а в правых частях указаны новые запасы ресурсов (b ₁' = 200 + 6 = 206, b ₂' = 160 − 10 = 150):

3∙0 + 2∙ х ₂' + 4∙0 = 206,

2∙0 + х ₂' +3∙0 < 150,

откуда х ₂' = 103.

Итак, максимальное значение целевой функции составит

f (Х '^*) = 4∙0 + 3∙103 + 5∙0 = 309

при оптимальном плане производства Х '^* = (х ₁' = 0, х ₂' = 103, х ₃' = 0).

3. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если – выгодно,

если – невыгодно.

Для изделия «Г»:

∆_Г = 5∙(3/2) + 2∙0 – 6 = 3/2.

Поскольку ∆_Г = 3/2 > 0, то делаем вывод, что изделие «Г» невыгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление больше цены, за которую его можно продать.

 

 

Список использованной литературы

1) Основная

1. Ильченко, А.Н. Экономико-математические методы: учеб. пособие / А.Н. Ильченко. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 288 с.

2. Лагоша, Б.А. Оптимальное управление в экономике: учеб. пособие / Б.А. Лагоша. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.

3. Дубров, А.М. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: учеб. пособие / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев; под. ред. Б.А. Лагоши. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 176 с.

4. Таха, Х. Введение в исследование операций / Х. Таха. − М.: Мир, 1985. − Кн. 2. − 496 с.

5. Эддоуз, М. Методы принятия решений / М. Эддоуз, Р. Стэнсфилд. − М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. − 590 с.

6. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.: Маркет ДС, 2007. – 408 с.

7. Деордица, Ю.С. Исследование операций в планировании и управлении: учеб. пособие / Ю.С. Деордица, Ю.М. Нефедов. − К.: Высш. шк.,1991. − 270 с.

 

 

2) Рекомендуемая

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: учеб. пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов [и др.] под ред. Федосеева В.В. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.

9. Орехов, Н.А. Математические методы и модели в экономике / Н.А. Орехов, А.Г. Левин, Е.А. Горбунов. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. − 304 с.

10. Пинегина, М.В. Математические методы и модели в экономике / М.В. Пинегина. − М.: Экзамен, 2004. − 128 с.

11. Бережной, В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие / В.И. Бережной, Е.В. Бережная.− М.: Финансы и статистика, 2003.–368 с.

12. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе /С.И. Шелобаев. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. − 367 с.

13. Колемаев, В.А. Математическая экономика: учеб. для вузов / В.А. Колемаев. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. − 399 с.

14. Орлова, И.В. Экономико-математическое моделирование: практ. пособие по решению задач / И.В. Орлова. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 144 с.

15. Пелих, А.С. Экономико-математические методы и модели в управлении производством: Учеб. пособие для вузов / А.С. Пелих, Л.А. Терехова, Л.Л. Терехов. – М.: Феникс, 2005. – 248 с.

16. Карманов, В.Г. Математическое программирование: учеб. пособие / В.Г. Карманов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 264 с.

17. Коробов, П.Н. Математическое программирование и моделирование экономических процессов: учебник / П.Н. Коробов. – М.: ДНК, 2006. – 376 с.

 

Экономико-математические методы: методические указания к изучению дисциплины для студентов специальности «Антикризисное управление», обучающихся по программе второго высшего образования

 

Алексей Петрович Мысютин

 

Научный редактор Гусакова Л.А.

 

Редактор Королева Т.И.

 

Компьютерный набор Левкина А.П.

 

Темплан 2010 г., п. 6

Подписано в печать __.__.__ Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. л. 2,26 Уч.-изд. л. 2,26 Т. 30 экз. Заказ Бесплатно

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, тел. 588-249

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16.