Математическая обработка результатов измерений.

Лабораторная работа № 2

Цель работы: Ознакомиться со статистическим характером явлений, рассматриваемых в ядерной физике; изучить законы, которым подчиняется распределение случайных величин; классификацию случайных и систематических ошибок; конкретное приложения изученных закономерностей для оценки ошибок измерения.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ НА УСТАНОВКЕ №1.

1. Ознакомиться с установкой, описание которой содержится в инструкции к работе №1 и подготовить ее к работе.

2. Поместить на столик, связанный с винтом 2 (см. рис.4), исследуемый α-активный препарат.

3. Вращая винт 2, отвести α-истичник от сцинтиллятора на максимальное расстояние. Нижний уровень дискриминации установить в положение, исключающее счет шумовых импульсов. Затем приблизить источник вплотную к сцинтиллятору.

4. На листе миллиметровой бумаги нарисовать координатный оси. По оси абсцисс отложить число α-частиц на интервал 0, 1, 2, 3…

5. С помощью кнопки «сброс» установить показания всех декатронов на нуль. Выбрать время одного измерения так, чтобы n=4÷8.

6. Произвести 300 отсчетов числа импульсов за одинаковые интервалы времени (5 сек.). Паузы между измерениями выдерживать по 10 сек. После каждого измерения рекомендуется устанавливать показания всех декатронов на нуль.

7. По окончании измерений через крайние точки на графике провести плавную кривую. Эта кривая и представляет собой зависимость числа интервалов от числа импульсов на интервал.

ЗАДАНИЕ.

1. Сравнить экспериментальные данные с теоретическими, которые вычисляются по формуле Пуассона. Число интервалов, в которых вероятно появление 0, 1, 2… (n) импульсов, рассчитать по формуле:

где – среднее число частиц, проходящих на интервал

где – число частиц, приходящихся на i-тый интервал;

- число таких интервалов (i изменяется от 0 до максимального значения, равного максимальному числу частиц, зарегистрированных за выбранный интервал);

- число интервалов (число измерений).

2. Найти отношение числа измерений в которых получилось значение n в интервале от до к полному числу иземерений.

3. Провести анализ полученных результатов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Случайные и систематические ошибки измерений.

2. Статистические и динамические закономерности.

3. Распределение Пуассона и Гаусса.

4. Дисперсия (стандартное отклонение) случайной величины.

5. Поправки на мертвое время счетчиков и электронной аппаратуры.

ЛИТЕРАТУРА.

1. В.И. Гольдинский, А.В. Куценко, М.И. Подгорецкий. Статистика отсчетов при регистрации ядерных частиц, ч.1, §1-4, М., Физматгиз, 1959.

2. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей, М., Гостехтеориздат 1954.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. СЛУЧАЙНЫЕ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ.

Ошибки, возникающие при измерениях, делятся на два больших класса: погрешности случайные и погрешности систематические. Ошибки, сохраняющие величину и знак от опыта к опыту, носят название систематических. Случайными называют ошибки, изменяющие свою величину и значение от опыта к опыту. Бывают случаи, когда случайные ошибки эксперимента называются не дефектами аппаратуры, а лежат в существе изучаемого явления. Известно, например, что интенсивность космического излучения на уровне моря (число космических частиц, падающих в минуту на каждый квадратный сантиметр горизонтальной поверхности) составляет около 1 частицы/мин·см². Будем измерять интенсивность излучения в течении ряда промежутков по 1 мин с помощью счетчика, имеющего площадь 20 см². В этом случае количество отсчетов будет только в среднем равняться 20 шт. в минуту. В одних измерениях при этом мы будем получать 18, 17 или даже 12 отсчетов, в других – 23, 25, 27 отсчетов. Отклонение измеренного числа отсчетов от 20 носит в этом случае чисто случайный характер и связано с характером изучаемого явления.

Влияние случайных ошибок может быть существенно уменьшено при многократном повторении опыта. Произведя измерения несколько раз и вычислив среднее значение, можно существенно улучшить точность измерений, т.к. преувеличенные и преуменьшенные значение будут встречаться одинаково часто и почти скомпенсируют друг друга.

Уменьшить вклад систематических ошибок путем повторения опыта, конечно, нельзя. Для этого нужно усовершенствовать прибор или изменить методику измерений.

Вычисление ошибок.

Будем предполагать, что приборы не вносят заметных систематических ошибок в результаты измерений, то есть, что все ошибки можно считать случайными. Тогда следует произвести измерения несколько раз, чтобы ошибки в сторону преувеличения и в сторону преуменьшения результата встретились достаточное число раз и могла скомпенсировать друг друга. Пусть в результате измерений получено n вообще говоря, разных значений измеряемой величины х¹, х²…,хⁿ. При обработке полученных результатов возникает два вопроса:

1) Как сконструировать из полученных значений наиболее вероятное значение измеряемой величины и

2) Чему равна ожидаемая ошибка измерений? Ответ на эти вопросы дает теория вероятностей. Мы здесь приведем его без вывода:

Наиболее вероятное значение х_ср измеряемой величины х равно среднему арифметическому значений, полученных в результате измерений

Физический смысл формулы очевиден. При вычислении среднего арифметического ошибки в сторону преувеличения и преуменьшения результата наилучшим образом компенсирует друг друга.

Обратимся теперь к вопросу об оценке ошибки измерений. Предположим, что сделана не одна, а несколько одинаковых серий измерений. В одной серии положительные и отрицательные ошибки будут встречаться одинаково часто, в другой – неодинаково, в третьей вообще все значения могут оказаться преувеличенными, и т.д. Каждая из серий измерений дает свое среднее арифметическое, отличающееся как от других средних, так и от истинного значения. В каждой серии получились таким образом, свои ошибки, хотя все серии измерений произведены в одинаковых условиях и с одинаковой точностью.

Сделаем теперь не одну и не несколько, а очень большое количество одинаковых серий измерений. Найденные результаты (средние арифметические отдельных серий) снова расположатся вокруг истинного, причем чаще всего будут встречаться не очень большие отклонения.

Для оценки погрешности измерений применяют обычно величину, равную гауссовой кривой, измеренной на том или ином уровне.

Полный набор всех возможных значений, которые может принимать случайная величина, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может представлять совокупность непрерывных значений или набор дискретных величин (например, число распавшихся ядер всегда равно целому числу). Отдельные измерения представляют случайную выборку из генеральной совокупности. Случайные величины принято описывать с помощью функции плотности распределения, которая определяет вероятность получения различных значений случайной величины из генеральной совокупности. В соответствии с характером генеральной совокупности функция плотности вероятности может быть дискретной или непрерывной. В последнем случае функция плотности распределения f случайной величины Х определяет вероятность ее наблюдения в интервале ζ≤х≤ζ+dζ, т.е.

P(ζ≤x≤ζ+dζ)=f(ζ)dζ

Функция плотности распределения определяет среднее значение случайной величины и дисперсию D(x), равную среднему квадрату отклонения х от , т.е.

Величина σ= называется стандартным или средним квадратичным отклонением.

Математическая операция усреднения – математическое ожидание – любой функции φ(х) по распределению f определяется как

Следовательно

и

В случае, когда генеральная совокупность охватывает набор дискретных значений, функция плотности распределения f становится дискретной, т.е. f(ζ) равна вероятности обнаружения значений х=ζ

Для генеральной совокупности дискретных значений операция усреднения определяется как

где суммирование распространяется на все возможные значения.

Дисперсия D=σ² является важным понятием и характеризует рассеивание значений случайной величины в окрестности ее среднего значения (если, конечно, х и D существуют). Согласно теореме Чебышева для любого распределения вероятность события , где g-число, большее единицы, меньшее, чем I/g², т.е. Таким образом, вероятность обнаружения в эксперименте больших отклонений от среднего тем меньше, чем больше (в единицах среднего квадратичного отклонения σ) это отклонение.

В качестве примера распределений, описывающих класс непрерывных случайных величин, рассмотрим распределение Гаусса, называемое нормальным распределением.

Причем предполагаем, что случайная величина может иметь любые значения -∞<x<+∞. Согласно распределению Гаусса вероятность события

Аналогично

На рис.1штрих-пунктиром изображены линии, отстоящие от середины сплошной кривой на ±σ, внутри этих линий, следовательно, содержится 68% площади, заключенной под сплошной кривой. Это означает что 68% всех серий измерений приведут к результатам, отличающимся от истинного не более, чем на ±σ. 95.4% всех серий измерений приведет к результатам, отличающимся от истинного не более чем на ±2σ и т.д. Этот вывод обычно формулируют несколько другими словами, а именно говорят, что результат измерения с вероятностью 68% лежит в пределах ±σ, с вероятностью 95.4%- в пределах ±2σ. (Вероятностью некоторого события называется доля случаев, в которых наше событие действительно происходит).

Теория вероятностей приводит к следующей формуле для вычисления стандартного отклонения σ (дисперсии):

где n-число измерений.

Мы приводим эту формулу без вывода и ограничимся для ее подтверждения следующим рассуждением. Определенная с помощью этой формулы величина σ обращается в нуль в том случае, когда все x_i равны между собой (отсутствие случайных ошибок). При увеличении числа измерений σ уменьшается. В самом деле, подкоренное выражение возрастает при увеличении числа измерений как число измерений n и, следовательно, σ уменьшается как Как мы уже говорили, ошибка результата при увеличении числа измерений действительно должна падать, так как чем больше сделано измерений, тем точнее должны компенсироваться ошибки разного знака.

После того, как найдены наилучшие значения и стандартная ошибка искомой величины, результат измерений записывается в виде:

На первый взгляд может показаться, что при беспредельном увеличении числа измерений ошибка опыта может быть сделана сколь угодно малой. Это, конечно, не так. Сколь угодно малыми могут быть сделаны только случайные ошибки опыта.

Из сказанного следует, что вопрос о количестве измерений, которые нужно произвести, должен быть тщательно обдуман. Никогда не следует ограничиваться однократным измерением. Всегда нужно сделать повторное контрольное измерение. Если результаты измерений совпали, на этом обычно следует остановиться. Если же между результатами обнаружилось различие, измерения нужно произвести еще 2-3 раза, чтобы понять в чем дело: в том, что одно из измерений было произведено неправильно, или в том, что результаты измерений расходятся из-за случайных ошибок. В первом случае можно просто вычеркнуть неверное измерение, во втором следует предпринять целую серию повторных измерений с тем, чтобы сделать случайную ошибку достаточно малой (меньше систематической или меньше, чем допустимая ошибка при необходимой в данной работе точности измерений).

Систематическую ошибку следует оценивать, исходя из разных соображений: из сравнения прибора с прибором лучшего качества (эталоном), из простого сравнения нескольких приборов, из технических или технологических соображений. Пределы, в которых может быть заключена систематическая ошибка, иногда указываются на самих приборах.

Будем предполагать, что систематическая ошибка опыта ∆_сист из тех или других соображений получена. Заранее нельзя сказать, сложится эта ошибка со случайной ошибкой σ или вычтется из нее. Можно однако утверждать, что полная ошибка измерений ∆_полн , наверное, заключена в пределах . Естественно оценивать точность эксперимента и в этом случае с помощью некоторой средней ошибки. В теории вероятностей показывается, что ожидаемое среднее значение ∆_сист следует вычислять по формуле: Тогда результат измерения нужно представлять в виде

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.

Помимо случайных процессов с непрерывным распределением часто встречаются явления, имеющие дискретный характер.

В последнее время в физике все чаще приходится встречаться с измерениями, результаты которых представляются в виде небольших целых чисел. Через счетчик за время измерения проходит не очень большое, но при этом, конечно, целое число частиц. Делящееся ядро может распасться на две, три ит.д., но обязательно на целое число частей. Статистические закономерности, которые имеют место в этом случае несколько отличаются от изученных нами ранее; отличаются и правила вычисления ошибок. Статистические закономерности, в отличие от динамических (динамические закономерности свое классическое выражение получили в ньютоновской механике и в классической электромагнитной теории Максвелла. Эти закономерности дают однозначную связь между явлениями, позволяя по начальным условиям, характеризирующим систему в некоторый момент времени, абсолютно точно предсказать ее состояние для любого будущего момента) выражают такую связь между явлениями, которая не носит однозначного характера. Последующие состояние в этом случае определяются предшествующими с некоторой долей вероятности. Закономерности типа этого действуют в сложных системах с большим количеством составляющих эту систему элементов. Они являются результатом повторяемости множества массовых однородных явлений, каждое из которых носит случайный характер. Эта закономерность проявляется в том случае, если случайные явления, образующие данную совокупность, протекают независимо друг от друга. Такие закономерности имеют место при радиоактивном распаде ядер, где распад каждого атомного ядра – явление случайное и независимо от внешних условий, происходящих самопроизвольно (спонтанно). Радиоактивный распад сопровождается радиоактивными излучениями, которые можно зарегистрировать различными способами и таким образом судить о совершившемся распаде ядер.

Рассмотрим счетчик, регистрирующий космические частицы. В то время как число отсчетов счетчика за любой промежуток времени является целым числом, интенсивность ν космического излучения (т.е. число отсчетов счетчика в секунду, усредненное за очень большой – в пределе за бесконечный – отрезок времени), вообще говоря, целым числом не выражается.

Найдем вероятность того, что при интенсивности ν счетчик сработает за секунду n раз. Представим себе очень большое количество совершенно одинаковых одновременно работающих счетчиков. Некоторая часть их сработает за секунду n раз. Доля, составляемая счетчиками по отношению к полному числу счетчиков равна вероятности того, что через счетчик в секунду пройдет n частиц. Если dt достаточно мало, то ни через один из счетчиков за это время не пройдет двух частиц, и счетчики можно разбить на два класса: те, через которые за dt прошла частица, и те, через которые не прошла. Число счетчиков, через которые прошла частица, равна числу сосчитанных частиц Nνdt, а их доля по отношению к полному числу счетчиков составляет Nνdt/N=νdt.

Вероятность того, что за время dt через счетчик пройдет частица, равна, следовательно, νdt.

Вычислим теперь вероятность P₀(t) того, что за время t через счетчик не пройдет ни одной частицы. По определению число таких счетчиков в момент t составляет NP₀(t), а в момент t+dt равно NP₀(t)νdt. Из NP₀(t) счетчиков за время dt сработают NP₀(t)νdt. Поэтому

NP₀(t+dt)= NP₀(t)- NP₀νdt

Или

P₀(t+dt)- P₀(t)= -P₀νdt

dP₀(t)/dt=-P₀ν

Интегрируя, найдем P₀(t)=e^{- νt}. При интегрировании было принято во внимание, что в начальный момент времени вероятность найти счетчик, не сработавший ни разу, равна единице.

Вычислим теперь P_n(t+dt) – вероятность того, что за время t+dt через счетчик пройдет ровно n частиц. Эти счетчики делятся на две категории. К первой принадлежат те, через которые все n частиц за время t (а за время dt не прошло ни одной). Ко второй принадлежат счетчики, через которые за время t прошла (n-1) частица, а последняя – за промежуток dt. Число первых равно NP₀(t)·(1- νdt), а число вторых составляет NP_n-1(1- νdt). Имеем, следовательно:

NP_n(t+dt)= NP_n(t)(1- νdt)+ NP_n-1(t) νdt

dP_n/dt+νP_n= νP_n-1

Учитывая, что P₀(t)=e^-νt

Так как νt=n₀ (среднее число частиц, проходящих через счетчик за время t, то

P_n(n₀)=

Эта формула определяет распределение Пуассона. Рассмотрим некоторые свойства этого распределения. Вычислим вероятность найти какое угодно n

Вычислим среднее значение n

Среднее квадратичное отклонение Следовательно

При больших n₀ и n дискретность распределения по n в этом случае теряет свое значение, т.к. n меняется практически непрерывно. Будем характеризовать отклонение n от n₀ с помощью ∑, которое определяется соотношением

n=n₀(1+∑)

Учитывая, что

(Формула Стирлинга)

Имеем

Откуда

Так как n₀=σ², а (n-n₀) просто равно отклонению от среднего значения, то

закон распределения Гаусса, описывающий распределение непрерывных величин.

ПОПРАВКИ НА МЕРТВОЕ ВРЕМЯ СЧЕТЧИКОВ И ЭДЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ.

Во время импульса, связанного с регистрацией частицы, некоторое время после импульса счетчики и электронная аппаратура оказываются нечувствительными к регистрации следующих частиц. Пренебрегая периодом неполной чувствительности, принято делить время работы счетчика на два периода – рабочий период и период мертвого времени. Частицы, прошедшие через счетчик в течение мертвого времени установки, остаются несосчитанными, так что число зарегистрированных частиц оказывается преуменьшенными. В показания счетчиков должны быть поэтому внесены поправки на мертвое время.

Пусть установка за время t зарегистрировала N событий. Обозначим через τ мертвое время установки после импульса. Полное время нечувствительности составило за этот период Nτ. Обозначим через N_сист число событий, которое сосчитала бы за время t установка, не обладающая мертвым временем. Из этих событий в среднем приходится на мертвое время установки и оказались пропущенными. Имеем, следовательно:

Или

(*)

Эта формула позволяет вносить поправки на мертвое время счетчиков и электронной аппаратуры и находит широкое применение при обработке опытных данных. Применимость этой формулы ограничена случаем, когда поправки малы. При больших поправках следует, например, принимать во внимание время неполной чувствительности (частицы, прошедшие в этот период, могут не тлько не регистрироваться, но и продлять мертвое время установки).

Заметим, что вид формулы (*) существенно связан со случайным характером распределения регистрируемых частиц во времени. В самом деле, пусть N/τ=0.2. Это означает, что суммарное мертвое время счетчиков составляет 1/5 часть всего времени их работы. При равномерном распределении импульсов установка успевала бы восстановить свою работоспособность задолго до прихода следующей частицы и никаких просчетов не наблюдалось бы. Просчеты появляются только из-за нерегулярного прихода следующих частиц.

При не очень больших коэффициентах пересчета мертвого время установки, содержащей механический регистратор и электронную пересчетную схему, определяется самым медленно действующим звеном – механическим счетчиком. В тех случаях, когда загрузка механического счетчика велика, установка начинает давать просчеты. Эти просчеты не могут, однако, быть учтены с помощью формулы (*), так как приходящие с пересчетной схемы на механический счетчик импульсы распределены во времени существенно равномернее, чем импульсы, поступающие на вход пересчетной схемы. Для уяснения вопроса проделаем следующее простое рассуждение.

Пусть на вход пересчетной схемы в секунду поступает в среднем N случайно распределенных во времени импульсов и пусть коэффициент пересчета равен n. На выходе пересчетной схемы образуется в среднем N/n импульсов в секунду.

Средний промежуток времени, разделяющий два импульса на входе пересчетной схемы, равен, очевидно 1/N, а стандартное отклонение этого времени, грубо говоря, равно ему самому.

На выходе пересчетной схемы средний промежуток времени t между импульсами составляет n/N. За время t через схему проходит в среднем Nt частиц. Стандартное отклонение этого числа составляет . Разделив на среднюю скорость счета, найдем среднюю флуктуацию времени t:

Наибольший интерес представляет не сама флуктуация времени, а его относительная флуктуация

(**)

Как видно из (**) величина флуктуации сильно зависит от n. Если приработе без пересчета (n=1) средняя флуктуация времени между двумя импульсами, как уже отмечалось, равна среднему значению этого времени, то при n=16 она равна уже ¼, при n=64 – всего 1/8 этого времени и так далее.

ОШИБКИ ФЛУКТУАЦИИ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть дана функция Ф=Ф(Х₁, Х₂…Х_n) случайных переменных Х₁, Х₂…Х_n, не зависимых между собой, причем усреднение по распределению каждой из переменных Х_i производится независимо. Тогда, если ошибки достаточно малы, то функцию Ф(X_i) можно разложить в ряд Тейлора около средних значений и пренебречь членами разложения выше первого порядка малости, т.е.

Это соотношение становится точным для линейных функций Ф=Ф(х_i). Усредняя его по x_i, имеем а дисперсия равна

(П1)

так, для суммы или разности двух величин

а относительная ошибка суммы и разности двух величин

Из формулы П1 вытекает следующее: Пусть за время t зарегистрировать N частиц, тогда среднее число частиц, зарегистрированных в единицу времени, равно ν=N/t. Дисперсия величины ν определяется следующим выражением

Среднеквадратичная ошибка

а относительная ошибка в случаях, когда статистические ошибки доминируют над другими ошибкам измерения, важно правильно распределить время между относительными измерениями, чтобы ошибка результатов была наименьшей. Пусть измеряется функция Ф числа частиц в единицу времени ν₁, ν₂,…, ν_n и пусть длительности измерения каждой величины будут соответственно t₁, t₂,…, t_n. Дисперсия искомой функции имеет вид

Можно показать, что ошибка будет минимальной при распределении времен отдельных измерений в отношении

Пусть, например, эффект источника и фона ν₁=900 имп/мин, а фон при этом составляет ν₂=100 имп/мин. Тогда при измерении интенсивности излучения источника длительности отдельных измерений должны относиться как

В данном случае на измерение полезного эффекта следует затратить в три раза больше времени, чем на измерение фона.