Решения и критерии оценивания заданий части 2

 

Сократите дробь .

 

Ответ: 96.

 

Решение.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера (например, при вычитании), с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
Максимальный балл

 

В окружности с центром проведены две равные хорды и . На эти хорды опущены перпендикуляры и соответственно. Докажите, что и равны.

 

Решение.

Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС, OD. Треугольники и равны по трём сторонам. и — их высоты, проведённые к равным сторонам, следовательно, они равны как соответственные элементы равных треугольников.

 

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
Максимальный балл

 

Из пункта в пункт , расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в пункт вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?

 

Ответ: 60 км/ч.

 

Решение.

Пусть (км/ч) — скорость, с которой автобус проехал первую половину пути, тогда скорость на второй половине пути — (км/ч). Первую половину пути автобус проехал за ч, а вторую за ч. Из условия следует, что . Решим это уравнение:

; ; ; .

Так как — величина положительная, то второй корень уравнения не соответствует условию задачи.

 

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильно составлено уравнение, получен верный ответ
Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
Максимальный балл

 

 

Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

 

Ответ: ; ; 6.

 

Решение.

Разложим числитель дроби на множители:

.

При , исходная функция принимает вид , её график — парабола, из которой выколоты точки и .

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты .

Поэтому , или .

 

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
График построен правильно, верно указаны все требуемые значения
График построен правильно, указаны не все верные значения
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
Максимальный балл

 

 

Площадь треугольника равна 40. Биссектриса пересекает медиану в точке , при этом . Найдите площадь четырёхугольника .

 

Ответ: 11.

 

Решение.

Пусть . По свойству биссектрисы , откуда . Из треугольника АВK, где АЕ – биссектриса, находим, что .

Пусть — площадь треугольника , тогда

Таким образом,

 

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
Максимальный балл