Пример 3 Кручение вала круглого поперечного сечения

Пример 1 Центральное растяжение - сжатие

Ступенчатый стержень нагружен тремя силами. Условия нагружения - центральное растяжение - сжатие.

Дано:

; ;

;

Необходимо:

· определить реакцию связи;

· определить продольное усилие на каждом участке вала и построить эпюру продольного усилия;

· назначить площадь поперечных сечений стержня на каждом участке, удовлетворяя условию прочности, при стремлении минимизировать массу конструкции;

· найти линейные перемещения характерных сечений стержня и построить эпюру перемещений.

Решение

1. Из условия уравновешенности системы сил, действующей на стержень, находим реакцию связи (рис.1.1)

.

2. Далее, используя метод сечений, определяем продольное усилия на участках стержня и строим эпюру продольного усилия

3. Условие прочности при центральном растяжении - сжатии должно выполняться и на участке , и на участке , и на участке :

(1.1)

Используя условия (1.1) находим минимальное значение параметра , который определяет связанные конструктивно площади сечений :

из условия прочности на участке "a"

;

из условия прочности на участке "a"

5,45 ;

из условия прочности на участке "a"

;

Принимаем .

Тогда на участках стержня площади сечений будут такими:

Рис 1.1

3. Определим удлинение каждого участка стержня

Рассчитаем перемещения характерных сечений стержня

Строим эпюру линейных перемещений сечений стержня (см. рис.1.1).

 

Пример 2 Центральное растяжение - сжатие (стержневая система)

Абсолютно твердое тело BCD закреплено в плоскости тремя стержнями, имеющими различную площадь поперечного сечения .

Необходимо определить максимально допустимое значение внешней нагрузки или при выполнении условий прочности для всех прикрепляющих стержней.

Геометрические размеры и допускаемые напряжения известны.

Рис. 2.1

a, м b, м c, м 0,8 0,75 0,35 0,65 0,85 7,0             α β , МПа     1,2 1,1   2,1

Решение

1. Очевидно, что усилия в прикрепляющих стержнях зависят от интенсивности распределенной нагрузки и геометрических параметров конструкции. Понимая это, можно записать систему неравенств (условий прочности), которым должно удовлетворять разыскиваемое решение:

(2.1)

2. Наложенные на тело связи, стержни 1, 2, 3, заменяем реакциями связей (рис. 2.1) и из условий уравновешенности системы сил { } определяем усилия через .

Рис. 2.1

 

здесь

Решение системы уравнений (2.2) дает результат:

	(2.4)

3. Теперь из условий (2.1) получаем допустимые значения :

]; - из условия прочности для стержня 1:   ]; - из условия прочности для стержня 2:   - из условия прочности для стержня 3:

Условия прочности для всех прикрепляющих стержней будут выполнены, если

4. Проверим решение задачи. Если , то:

Условие прочности для прикрепляющих стержней выполняется.

 

Пример 3 Кручение вала круглого поперечного сечения

Ступенчатый брус круглого поперечного сечения нагружен внешними моментами, приложенными в трех сечениях.

Необходимо:

- построить эпюру крутящего момента ;

- из условия прочности определить безопасные значения диаметров на каждом участке бруса, принимая во внимание их взаимозависимость:

; допускаемое напряжение принять .

- построить эпюру углов поворота сечений относительно заделки;

- проверить выполнение условия жесткости на всех участках вала.

Дано: а=0,6 м; b=0,4 м; c=0,3 м; Н·м; =20 Н·м; Н·м; 0,7 МПа; =1,3град/м.

 

Решение

1. Определим реакцию связи - момент в заделке .

2. Используя метод сечений определим крутящий момент в сечениях на участках вала (см. рис. 3.1):

уч "a";

уч "b";

уч "c";

3. Строим эпюру крутящего момента и из условия прочности на каждом участке стержня определяем безопасное значение параметра :

- условие прочности сечения

где -полярный момент сечения;

- из условия прочности на участке "a"

- из условия прочности на участке "b"

- из условия прочности на участке "c"

Значение параметра , при котором удовлетворяется условие прочности на всех участках вала

Принимаем . Тогда участки стержня должны иметь следующие диаметры:

4. Теперь построим эпюру углов поворота сечений вала относительно заделки и проверим выполнение условия жесткости по погонному углу поворота.

Взаимный угол поворота двух сечений вала, отстоящих друг от друга на расстоянии при определяется по формуле

Определяем:

- угол поворота сечения относительно сечения

 

- угол поворота сечения 1 относительно сечения

- угол поворота сечения 2 относительно сечения 1

- угол поворота сечения 3 относительно сечения 2

- угол поворота сечения 2 относительно сечения

- угол поворота сечения 3 относительно сечения

Строим эпюру углов поворота сечений вала относительно заделки (сечение ) - эпюра на рис. 3.1.

5. Проверим выполнение условия жесткости по погонному углу поворота для рассматриваемого вала. Условие жесткости имеет вид

];

Допускаемое значение погонного угла поворота в радианах на метр равно

]

Проверяем условие жесткости на каждом участке вала:

- на участке "a"

 

 

Рис. 3.1

 

- на участке "b"

- на участке "c"

Полученные результаты позволяют сделать вывод: спроектированный по условию прочности вал удовлетворяет и условию жесткости.

 

 

Пример 4 Плоский изгиб

 

Для балки на двух опорах (рис. 4.1) необходимо:

- определить реакции связей;

- построить эпюры , ;

- определить опасное сечение и из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать размеры круглого, прямоугольного и стандартного двутаврового поперечных сечений;

- сравнить балки разных поперечных сечений по массе;

- проверить балки всех трех сечений на прочность по касательным напряжениям.

Дано: ;

; ; ; .

Материал балки сталь 3, соотношение высоты и ширины прямоугольного поперечного сечения 2:1.

Решение

1. Реакции связей определим из условий уравновешенности, так как рассматриваемая конструкция статически определима. Используем условия уравновешенности плоской системы сил.

; ; ;

(4.1)

 

Решение системы (4.1):

;

;

Рис. 4.1

2. Выделяем на балке участки с различными значениями внутренних силовых факторов (границами участков являются сечения, в которых появляются или исчезают внешние нагрузки и реакции связей).

Рассматриваемая балка имеет четыре участка: Используя метод сечений, определяем ВСФ на каждом участке:

- участок (рис. 4.1а), где :

;	(4.2)
;	(4.3)

- участок (рис. 4.1б), где :

;	(4.4)
;	(4.5)

 

- участок (рис. 4.1в), где .

;	(4.6)
;	(4.7)

Следует обратить внимание на начало и направление отсчета переменных , чтобы правильно строить графики зависимостей на этом участке и участке .

- участок (рис. 4.1г), где .

;	(4.8)
;	(4.9)

Зависимости (4.2)... (4.9) графически представлены на рис. 4.1 в виде графиков эпюры поперечного усилия и эпюры изгибающего момента. Эпюры ВСФ позволяют определить опасные сечения балки для выполнения расчетов на прочность.

3. Поперечное сечение балки по ее длине не изменяется, так определено условиями задачи. Следовательно, наибольшие касательные напряжения имеют место в сечениях участка , где ; а максимальные нормальные напряжения имеют место в сечении бесконечно близко справа, где .

Расчетные формулы для определения нормальных и касательных напряжений в произвольной точке поперечного сечения имеют вид:

	(4.10)
	(4.11)

Условия прочности по нормальным и касательным напряжениям можно записать так

	(4.12)
	(4.13)

Из условия прочности (4.12) определяем минимальное значение момента сопротивления изгибу для рассматриваемой балки

Используя таблицу геометрических характеристик двутавра ГОСТ 8239 − 89, выбираем двутавр №18. Все геометрические характеристики профиля можно найти в приведенном фрагменте таблицы. Наиболее важными обычно являются: номер двутавра - (совпадает с высотой твутавра в сантиметрах), высота двутавра , ширина полки , площадь поперечного сечения , погонная масса профиля , осевые моменты сечения , осевые моменты сопротивления изгибу , радиусы инерции , статический момент половины сечения относительно оси .

рис.4.2

 

Двутавры стальные горячекатаныеГОСТ 8239 − 89
Номер двутавра	h	b	s	t	R	r	Площадь попереч- ного сечения см2	Пог. Масса кГ/м	Справочные значения для осей
X-X	Y-Y
не более	Ix см4	Wx см3	ix см	Sx см3	Iy см4	Wy см3	iy см
мм
			4.5	7.2	7.0	2.5	12.0	9.46		39.7	4.06	23.0	17.9	6.49	1.22
			4.8	7.3	7.5	3.0	14.7	11.50		58.4	4.88	33.7	27.9	8.72	1.38
			4.9	7.5	8.0	3.0	17.4	13.70		81.7	5.73	46.8	41.9	11.50	1.55
			5.0	7.8	8.5	3.5	20.2	15.90		109.0	6.57	62.3	58.6	14.50	1.70
			5.1	8.1	9.0	3.5	23.4	18.40		143.0	7.42	81.4	82.6	18.40	1.88
			5.2	8.4	9.5	4.0	26.8	21.00		184.0	8.28	104.0	115.0	23.10	2.07
			5.4	8.7	10.0	4.0	30.6	24.00		232.0	9.13	131.0	157.0	28.60	2.27
			5.6	9.5	10.5	4.0	34.8	27.30		289.0	9.97	163.0	198.0	34.50	2.37

 

Выбирая двутавр №18, мы соглашаемся с увеличением действующих максимальных напряжений против допускаемых напряжений на

4,2%.

В практических расчетах превышение допускаемых напряжений не должно превышать 5%. В рассматриваемом примере эта норма соблюдается, если , если . Превышение допускаемых уровня напряжений составляет .

В дальнейшем при решении задачи рассматриваем двутавровую балку № 18. Ее характеристики указаны выше: , , , , , о , , .