Задачи для самостоятельного решения. 1. Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков, необходимо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании

 

1. Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков, необходимо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании. Сколькими способами может быть осуществлен этот выбор?

2. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одинакового достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова „акция”?

4. То же самое из слова „домашний”?

5. Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими различными способами могут они упасть?

6. На вершину горы ведут дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спустится с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным дорогам.

7. На ферме имеется 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

8. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов?

9. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?

10. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего необходимо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

11. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

12. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии необходимо выбрать по одному экземпляру каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать?

13. В книжном магазине имеются 6 экземпляров романа И.С. Тургенева „Рудин”, 3 экземпляра его же романа „Дворянское гнездо” и 4 экземпляра романа „Отцы и дети”. Сколькими способами можно выбрать книгу И.С. Тургенева?

14. Имеется 12 яблок и 10 апельсинов. Иван берет яблоко или апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и апельсин. В каком случае Надя имеет большую возможность выбора: если Иван взял яблоко или если он взял апельсин?

15. Имеются три волчка с 6, 8 и 10 гранями соответственно. Сколькими различными способами могут они упасть? Та же задача, если известно, что, по крайней мере, два волчка упали на сторону, помеченную цифрой 1.

16. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?

17. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 5 разных цветов? Та же задача, если одна из полос должна быть красной?

18. Сколько словарей необходимо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с каждого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского – на любой другой из этих пяти языков?

19. На сколько больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10?

20. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти? То же самое при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, то есть двух королей, двух десяток и т.д.

21. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (содержащей 52 карты) по одной карте каждой масти так, чтобы карты одноцветных мастей образовывали пары (например, пиковые и трефовые девятки и бубновый и червовый тузы)?

22. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ребенку дают не более трех имен?

23. Несколько человек садятся за круглый стол. Будем считать, что два способа рассадки совпадают, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. Сколькими различными способами можно посадить четырех человек? А семь человек? Во скольких случаях два данных человека из семи оказываются соседями? Во скольких случаях данный человек (из семи) имеет двух данных соседей?

24. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека в каждой, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

25. Необходимо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно послать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

26. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого?

27. Та же самая задача, но меняются две книги одного на две книги другого?

28. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А?

29. Та же задача, но А должен выступить непосредственно перед Б.

30. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

31. Та же задача, но они садятся не за круглый стол, а на карусель и способы, переходящие друг в друга при вращении карусели, считаются совпадающими.

32. Из колоды, состоящей из 52 карт, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях ровно один туз? В скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?

33. На железнодорожной станции имеется m светофоров. Сколько может быть дано различных сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: красный, желтый и зеленый?

34. В купе железнодорожного вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной к паровозу, остальным троим безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?

35. В профком избрано 9 человек. Из них необходимо выбрать председателя, заместителя председателя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

36. Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, необходимо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

37. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.

38. У мамы 2 яблока и 3 груши. Ежедневно в течение пяти дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

39. Аналогичная задача, если яблок m, а груш n.

40. Аналогичная задача, когда есть 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина.

41. У отца есть 5 различных апельсинов, которые он выдает своим восьми сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать?

42. Аналогичная задача, если число апельсинов, получаемых каждым сыном, не ограничено.

43. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове „математика”? В слове „парабола”? В слове „додекаэдр”?

44. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, необходимо составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами можно это сделать? А сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете?

45. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на любой линии шахматной доски?

46. Есть абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно одновременно подключить три пары?

47. В почтовом отделении продаются открытки 9 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

48. Общество из семи юношей и десяти девушек танцует парами. Если в каком-то танце участвуют все юноши, то сколько имеется вариантов участия девушек в этом танце? Сколько есть вариантов, если учитывать лишь то, какие девушки остались неприглашенными? Решить те же вопросы, если в отношении двух девушек можно с уверенностью сказать, что они будут приглашены на танец?

49. Сколькими способами можно переставить буквы слова "молоко" так, чтобы три гласные не стояли рядом?

50. Сколько различных браслетов можно составить из пяти одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

51. Сколько существует шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три – нечетные?

Индивидуальные задания

Вариант 1.

1. На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с горы, если:

а) подъем и спуск могут проходить по одной и той же дороге;

б) подъем и спуск должны проходить по разным дорогам?

2. Сколькими способами можно разложить 12 различных подарков по 4 пакетам? 12 монет по пятьдесят копеек по 4 пакетам? А так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один подарок? А так, чтобы в каждом пакете было хотя бы пятьдесят копеек?

3. Из чисел 1; 2; 3;...10 выбирают пять.

а) Сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных было число 1?

в) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных были числа 1 и 6?

г) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных число 1 оказалось наименьшим?

д) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных число 5 оказалось наибольшим?

е) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных число 1 оказалось наименьшим, а число 5 – наибольшим?

Рассмотреть два способа выбора: с повторениями и без.

4. Каждый ученик класса – либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок и одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика-блондина, математику из них любят – 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, – 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова «молоток» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом? Две буквы «о» не стояли рядом?

6. Сколькими способами можно раздать 52 карты четырем игрокам так, чтобы каждый получил по три карты трех мастей и четыре карты четвертой масти?

7. Сколькими способами 4 черных шара, 4 белых шара и 4 синих шара могут быть разложены в 6 различных пакетах (некоторые пакеты могут быть пустыми)?

8. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека в каждой, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

9. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если одна из полос должна быть красной?

10. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

,

и

.

 

Вариант 2.

1. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?

2. На полку необходимо установить 17 различных книг, из которых 10 в синих переплетах, 7 – в красных. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы все синие книги стояли рядом, если:

а) порядок размещения всех книг имеет значения;

б) учитывается только цвет книги?

3. Из чисел 1; 2; 3;...10 выбирают пять.

а) Сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных было число 7?

в) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных были числа 2 и 7?

г) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных число 2 оказалось наименьшим?

д) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных число 7 оказалось наибольшим?

е) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных число 2 оказалось наименьшим, а число 7 - наибольшим?

Рассмотреть два способа выбора: с повторениями и без.

4. На экскурсии были студенты со значками математического факультета, либо со значками физического факультета. Мальчиков было 16, а математиков 24. Девушек с физического факультета было ровно столько, сколько юношей с математического факультета. Сколько студентов было на экскурсии?

5. Сколькими способами из слова «логарифм» можно выбрать две согласные и одну гласную буквы? Та же задача, если среди выбранных букв есть буква «ф»?

6. Сколько есть шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три - нечетные?

7. Ребенок ставит на первых двух линиях шахматной доске белые и черные фигуры (два коня, два слона, две ладьи, ферзя и короля каждого цвета). Сколькими способами он может это сделать? Сколькими способами можно расставить эти фигуры по всей доске? А если расставляются и все 16 пешек?

8. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (содержащей 52 карты) по одной карте каждой масти так, чтобы карты красных мастей и карты черных мастей образовывали пары?

9. необходимо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно послать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров.

10. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, необходимо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

и

.

 

Вариант 3.

1. Сколькими способами можно выбрать одну согласную и одну гласную буквы из слова "патрубок"? Рассмотреть два варианта: порядок избираемых букв имеет значение или нет.

2. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый или синий переплет. Сколькими способами он может это сделать? А так, чтобы в каждый цвет была переплетена хотя бы одна книга? А хотя бы две?

3. Из чисел 1,2,...,10 выбирают пять.

а) Сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел было число 3?

в) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел были числа 3 и 8?

г) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 3 было наименьшим?

д) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 8 было наибольшим?

е) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 3 было наименьшим, а число 8 было наибольшим?

Рассмотреть два способа выбора: с повторением и без.

4. В классе 35 учеников. Из них 20 посещают математический кружок, 11 посещают физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих кружков. Сколько учащихся посещают только математический кружок?

5. Сколькими способами можно разбить 30 рабочих на 3 бригады по 10 человек в каждой бригаде? На 10 групп по 3 человека в каждой группе?

6. Сколькими способами можно переставить буквы слова "логарифм" так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами?

7. Сколькими способами можно вынуть 4 карты из полной колоды так, чтобы среди вынутых были 3 масти? 2 масти?

8. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?

9. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого?

10. Сколько ожерелий можно составить из семи бусинок разных размеров (надо использовать все 7 бусинок)?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

,

и .

 

Вариант 4.

1. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если есть ровно 100 имен, а ребенку можно давать не более, чем 3 имени? Рассмотреть два варианта: имена могут или совпадать, или быть различными.

2. 30 человек голосуют за 5 кандидатов. Сколькими способами это можно сделать, если

а) поименное голосование;

б) учитывается только число голосов, поданных за то или иное предложение?

3. Из чисел 1,2,...10 выбирают пять.

а) Сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы выбранные числа содержали число 4?

в) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы выбранные числа содержали числа 4 и 9?

г) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 4 было наименьшим?

д) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 9 было наибольшим?

е) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 4 было наименьшим, а число 9 было наибольшим?
Рассмотреть два способа выбора: с повторением и без.

4. Из 100 студентов английский знают 28 студентов, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков?

5. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три числа так, чтобы их сумма была четной?

6. Нужно отгадать, какие пять монет держит в руке партнер. Монеты бывают достоинством в 1; 2; 3; 5; 10; 15; 20; 25; 50 копеек. Сколько может быть дано неправильных ответов?

7. Сколькими способами можно распределить 3 различных предметов между тремя лицами поровну?

8. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

9. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

10. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

и

.

 

Вариант 5.

1. Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт четыре карты так, чтобы среди них были:

а) карты всех мастей,

б) карты разных названий,

в) все «картинки»?

2. В первенстве университета по футболу принимают участие 8 команд. Сколькими способами можно составить тройку призеров? Сколько вариантов завершения может иметь чемпионат?

3. Из чисел 1,2,...13 выбирают шесть:

а) сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами это можно сделать так, чтобы выбранные числа содержали число 4?

в) сколькими способами это можно сделать так, чтобы выбранные числа содержали числа 4 и 12?

г) сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 4 было наименьшим?

д) сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 12 было наибольшим?

е) сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 4 было наименьшим, а число 12 было наибольшим?
Рассмотреть два способа выбора: с повторением и без.

4. Сколько существует целых чисел от 1 до 1000, которые не делятся без остатка ни на 5, ни на 7, ни на 9?

5. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «орхидея» так, чтобы не поменялся порядок гласных букв?

6. Сколькими способами можно переставить буквы слова «молоко» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом?

7. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки. Сколькими способами можно разбить их так, чтобы в каждой лодке оказались два мужчины и две женщины?

8. Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых бусинок и двух большего размера?

9. Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на пальцы одной руки, кроме большого пальца?

10. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

и

.

 

Вариант 6.

1. Сколько различных делителей имеет число ?

2. В комитет избрали 9 человек. Сколькими способами из состава комитета можно избрать председателя, его заместителя, секретаря и казначея?

3. Из чисел 3, 4,...15 выбирают шесть.

а) сколькими способами это можно сделать?

б) сколькими способами это можно сделать так, чтобы выбранные числа содержали число 5?

в) сколькими способами это можно сделать так, чтобы выбранные числа содержали числа 5 и 12?

г) сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 5 было наименьшим?

д) сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 12 было наибольшим?

е) сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных чисел число 5 было наименьшим, а число 12 было наибольшим?

Рассмотреть два способа выбора: с повторением и без.

4. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 англичан, 3 французов и 3 турок так, чтобы никакие два соотечественника не сидели рядом?

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы семь букв «о» не шли подряд?

6. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки. Сколькими способами можно разбить их так, чтобы данный человек оказался в одной лодке со своей женой? А данные двое мужчин в одной лодке со своими женами?

7. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «параллелизм» так, чтобы не поменялся порядок гласных букв?

8. Человек имеет 6 друзей и в течение 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами он может это сделать?

9. Сколькими способами можно вынуть 4 карты из полной колоды так, чтобы среди них были 3 масти? Так, чтобы были 2 масти?

10. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры разные?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

;

и .

Вариант 7.

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5? А если каждую из этих цифр можно использовать не более одного раза?

2. Сколькими способами можно рассадить 9 человек в три вагона метро? А так, чтобы в каждом вагоне было 3 человека? А так, чтобы в один из вагонов не села ни одна из них?

3. Группа из 6 мальчиков и 6 девочек делится на две равные части. Сколько существует способов распределения, если в каждой подгруппе будет поровну мальчиков и девочек?

4. Два экзаменатора, работая одновременно, экзаменуют класс в 12 человек. Каждый экзаменуемому, отвечает по 5 минут по каждому предмету. Сколькими способами экзаменаторы могут распределить между собой работу так, чтобы ни одному школьнику не пришлось отвечать сразу по двум предметам?

5. Сколькими способами можно раздать 18 различных предметов 5 лицам так, чтобы четверо из них получили по 4 предмета, а пятый – 2 предмета. Та же задача, но трое получают по 4 предмета, а двое – по 3 предмета.

6. Сколькими способами можно переставить буквы слова «пастух» так, чтобы между двумя гласными были две согласные буквы?

7. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 20 два числа так, чтобы их сумма была нечетной?

8. Сколькими способами можно получить 8 оценок не ниже 3 из восьми различных предметов так, чтобы их сумма была равна 30?

9. Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет разной стоимости?

10. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по два туза?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

,

и .

 

Вариант 8.

1. Сколько имеется пятизначных чисел, которые одинаково читаются справа налево и слева направо? А шестизначных?

2. Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2,…, n } так, чтобы числа, кратные 3, стояли на местах, номера которых

а) кратны 3?

б) не кратны 3?

3. Колода из 36 карт делится на 4 равные части. Сколько существует способов распределения, когда в каждой части будет по одному королю и одной даме?

4. Сколькими способами 6 человек могут выбрать из 6 пар перчаток по правой и левой так, чтобы ни один не получил пары?

5. Сколькими различными способами можно выбрать 4 различные буквы из фразы «Око за Око, зуб за зуб»? Порядок букв не учитывается.

6. Сколькими способами можно выбрать из этой фразы три буквы

а) с учетом порядка выбранных букв?

б) без учета порядка выбранных букв?

7. Сколькими способами можно переставить буквы слова «тангенс» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

8. Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, необходимо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

9. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «дом»?

10. В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (наибольшее число зубов равно 32)?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

,

и .

 

Вариант 9.

1. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, используя 32 буквы русского алфавита.

2. Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2,…, n } так, чтобы каждое нечетное число имело место

а) с четным номером?

б) с нечетным номером?

3. Из колоды карт в 52 листа выбирают 5 карт. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди 5 выбранных карт все карты были разных названий?

4. Сколькими способами 6 человек могут выбрать из 9 пар перчаток по правой и левой так, чтобы ни один не получил пары?

5. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом?

6. Сколькими способами можно составить из 9 согласных и 7 гласных букв слова, в которые входят 4 различных согласных и 3 различных гласных? В скольких из этих слов никакие две согласные не находятся рядом?

7. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы две буквы «е» не шли подряд?

8. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

9. У мамы 2 яблока и 3 груши. Ежедневно в течение пяти дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

10. Имеется 3 курицы, 4 утки и 2 гуся. Сколько существует комбинаций для выбора нескольких птиц так, чтобы среди выбранных были и куры, и утки, и гуси?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

,

и .

 

Вариант 10.

1. В поселке проживают 1500 человек. Доказать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы из двух букв.

2. Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2,…, n } так, чтобы между числами 1, 2, 3

а) стояло ровно одно число?

б) числа 1, 2, 3 не стояли рядом?

3. Сколько существует шестизначных чисел, ровно 3 цифры в которых совпадают?

4. Сколько шестизначных чисел содержит ровно три различные цифры?

5. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?

6. Сколькими способами можно разменять 1 гривну на монеты достоинством в 5, 10, 25 и 50 копеек?

7. Есть 7 экземпляров 1 книги, 8 – второй и 9 – третьей. Сколькими способами можно разделить их между двумя лицами так, чтобы каждая получила 12 книг?

8. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красную, зеленую и коричневую корочку. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?

9. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных клетках шахматной доски?

10. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

,

и .

 

Вариант 11.

1. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого? А две книги одного на две книги другого?

2. Из множества {1, 2,…, n } выбирают k чисел. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы

а) каждое из выбранных чисел было кратно 2?

б) каждое из выбранных чисел было кратно 2 или 3?

3. Из колоды в 36 карт выбирают 6. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы каждая из выбранных карт была или «пикой», или «бубной»?

4. Сколько пятизначных чисел содержат ровно две различные цифры?

5. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин выбирают 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

6. Сколько существует треугольников с целочисленными сторонами и периметром 40? А с периметром 43?

7. Каких чисел от 1 до 10000000 будет больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в записи которых ее нет?

8. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?

9. В лифт сели 8 человек. Сколькими способами они могут выйти на четырех этажах так, чтобы на каждом этаже вышла, по крайней мере, одно лицо?

10. Сколькими способами можно переставить буквы слова «молоток» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом? Две буквы «о» не стояли рядом?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

,

и .

 

Вариант 12.

1. Сколько словарей необходимо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить переводы с каждого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского на любой другой из этих пяти языков? На сколько больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10?

2. Сколькими способами можно расставить 8 шахматных фигур (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, короля и ферзя)

а) на первой горизонтали шахматной доски?

б) на одной из горизонталей?

3. Из колоды в 36 карт выбирают 6. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных карт были карты всех четырех мастей?

4. Дано 2 n элементов , причем если i ¹ j. В скольких перестановках из этих 2 n элементов ни одна пара одинаковых элементов не находится рядом?

5. В поселке проживает 2000 жителей. Доказать, что, по крайней мере, двое из них имеют одинаковые инициалы из трех букв.

6. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 20 два числа так, чтобы их сумма была нечетной?

7. Каждая сторона квадрата разбита на 3 части. Сколько можно построить треугольников, вершинами которых являются точки разделения?

8. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими способами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 раных открыток?

9. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 3694 (каждую цифру можно использовать не более одного раза)? А четных?

10. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которыое удовлетворяет начальные условия:

, и

,

и .

 

Вариант 13.

1. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти? То же самое, при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, то есть двух королей, двух десяток и т.д.

2. n + 1разных шаров размещают по n разным ячейкам. Сколько существует таких размещений, когда

а) ровно две ячейки окажутся пустыми?

б) ни одна ячейка не будет пустой?

3. Из колоды в 36 карт выбирают 10 карт. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных карт оказалось ровно два туза?

4. Есть n пар, состоящих из одинаковых букв, причем разные пары состоят из разных букв. Эти буквы упорядочивают всеми возможными способами так, чтобы никакие две одинаковые буквы не шли подряд. Доказать, что число различных упорядочений равно

.

 

5. У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдает восьми сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать?

6. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, необходимо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

7. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных клетках шахматной доски?

8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «пастух» так, чтобы между двумя гласными были две согласные буквы?

9. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение трех дней выбирать по 6 участников так, чтобы каждый день был разный состав хора?

10. Сколько чисел, меньших миллиона можно написать с помощью цифр 8 и 9?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

,

и .

 

Вариант 14

1. Есть шесть шаров: 3 черных, 1 красный, 1 белый и 1 синий. Сколькими способами можно составить из них ряд, в котором 4 шара?

2. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, в которой 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти?

3. У меня есть 6 друзей, с каждым из них я обедал 8 раз, с каждыми двумя – 5 раз, с каждыми тремя – 4 раза, с каждыми четырьмя – 3 раза, с каждыми пятью – 2 раза, со всеми шестью – 1 раз, а без каждого из них – 8 раз. Сколько раз я обедал сам?

4. Сколько - значных чисел содержит ровно различных цифр?

5. На ферме есть 20 свиней и 24 овцы. Сколькими способами можно выбрать одну свинью и одну овцу? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

6. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123153?

7. Сколькими способами можно разложить 9 книг в 4 бандероли по 2 книги и в 1 бандероль 1 книгу?

8. предметов расположены в ряд. Сколькими способами можно выбрать из них три предмета так, чтобы не брать никаких двух соседних предметов?

9. Сколькими способами можно расставить 20 белых шашек на шахматной доске так, чтобы это расположение было симметричным относительно линии, которая делит шахматную доску пополам?

10. Сколькими способами можно переставить буквы слова “перманент” так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и .

и

.

 

Вариант 15.

1. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата (белый и черный)? А если нет ограничений на цвет квадратов?

2. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А?

3.Сколькими способами можно переставлять буквы слова “оборона” так, чтобы три буквы “о” не стояли рядом?

4. Сколько неотрицательных целых чисел, меньших миллиона, содержит каждую из цифр 1, 2, 3, 4? Сколько чисел состоит только из этих цифр?

5. На каждом борту лодки должны сидеть по 4 человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причем 10 человек предпочитают сидеть на левом борту лодки, 12 – на правом, а для 9 безразлично, где сидеть?

6. На книжной полке стоят n книг. Сколькими способами можно выбрать из них p книг так, чтобы между всякими двумя выбранными книгами, равно как и после р -й выбранной книги, было не менее чем s книг?

7. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если два данных человека из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

8. В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что

а) С любой остановки на любую другую можно попасть без пересадки.

б) Для всякой пары маршрутов найдется, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой.

в) На каждом маршруте не менее трех остановок. Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?

9. В ящике лежат 100 разноцветных шариков: 28 красных, 20 зеленых, 12 желтых, 20 синих, 10 белых и 10 черных. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, чтобы среди них обязательно оказалось 15 шариков одного цвета?

10. 15 школьников выстраиваются для прогулки в 5 рядов по 3 человека в ряду. Сколько раз можно это сделать так, чтобы никакие 2 школьника не оказались дважды вместе?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

и

.

 

Вариант 16.

1. Из двух спортивных обществ, в каждом из которых по 100 фехтовальщиков, нужно выделить по одному фехтовальщику для участия в соревнованиях. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

2. Из колоды, в которой 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях ровно один туз? В скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?

3. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз?

4. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, с сыром и с колбасой – 28 человек, и с колбасой, и с ветчиной – 31 человек, и с сыром, и с ветчиной – 26 человек, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

5. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им оценки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительную оценку?

6. Сколькими способами можно переставить цифры числа 12341234 так, чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом?

7. Сколькими способами 4 черных шара, 4 белых шара и 4 синих шара могут быть разложены в 6 различных пакетов (некоторые пакеты могут быть пустыми)?

8. В шахматной олимпиаде участвуют представители стран по 4 представителя от каждой страны. Сколькими способами они могут встать в ряд так, чтобы рядом с каждым был представитель той же страны?

9. Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдется остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?

10. Есть 11 точек, из которых 5 лежат на одном круге. Кроме них, никакие 4 не лежат на одном круге. Сколько окружностей можно провести так, чтобы каждое из них содержало бы по крайней мере 3 точки из числа данных?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

,

и

.

 

Вариант 17.

1. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

2. В купе железнодорожного вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной к паровозу, последним трем безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут расположиться пассажиры?

3. Сколькими способами можно выбрать из 16 лошадей шестерых для запряжки так, чтобы вошли 3 коня из шестерых АВСА'В'С', но ни одна из пар АА', ВВ', СС'?

4. Ячейки шахматной доски красят в 8 цветов так, что в каждой горизонтали встречаются все 8 цветов, а в каждой вертикали не встречаются рядом две клетки, раскрашенные одним цветом. Сколькими способами можно осуществить такое раскраска?

5. Сколькими способами можно выбрать из чисел от 1 до 25 четыре так, чтобы их сумма была нечетной?

6. Автобусная сеть города устроена следующим образом:

а) С любой остановки на любую другую можно попасть без пересадки.

б) Для любой пары маршрутов найдется, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой.

в) На каждом маршруте ровно n остановок.

Сколько автобусных маршрутов в городе?

7. Можно ли каждый из 77 телефонов соединить ровно с 15 другими?

8. Квадрат разделен на 16 равных квадратов. Сколькими способами можно раскрасить их в белый, черный, красный и синий цвета так, чтобы в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду были все четыре цвета?

9. У человека на голове не более 300000 волосков. Доказать, что в Москве живут не менее 10 человек, у которых число волос одинаковое (население Москвы около 6 млн.).

10. Сколько существует четырехзначных чисел от 0001 до 9999, в которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?

11. Найти решение рекуррентного соотношения, которое удовлетворяет начальные условия:

и

и

.

 

Вариант 18.