Теория альфа-распада Г. A. Гамова.

Простейшая теория, способная объяснить сильную зависимость вероятности 𝛼- распада от энергии -частиц, была изложена Г. A. Гамовым в 1928 году. Она исходит из предположения о существовании -частиц в тяжёлых атомных ядрах, а вероятность 𝛼-распада в основном определяется вероятностью туннелирования 𝛼-частицы сквозь кулоновский потенциальный барьер конечной проницаемости. Рассмотрим модель -распада Гамова. Предполагается, что -частица движется в сферической области радиуса 𝑅, где 𝑅 – радиус ядра, а также предполагается, что 𝛼-частица постоянно существует в ядре. Вероятность 𝛼 -распада в единицу времени (𝜆 – постоянная радиоактивного распада) равна произведению вероятности найти 𝛼-частицу на границе ядра (𝑓) на вероятность её прохождения сквозь потенциальный барьер (𝐷 – прозрачность барьера):

𝜆 = 𝑓𝐷 = ln(2)/ T_1/2 . (5)

Величину 𝑓 можно отождествить с числом соударений в единицу времени, которые испытывает -частица о внутренние границы барьера. Оценим эту величину, учитывая финитность движения -частицы внутри ядра с некоторым периодом 𝑇:

𝑇 ≃ 2𝑅/ 𝜗, 𝑓 = 1 /𝑇 = 𝜗 /2𝑟₀𝐴^1/3 , (6)

где 𝜗 - скорость -частицы внутри ядра.

Рис.2. Характерный вид потенциала.

Величина 𝐷 (вероятность вылета α-частицы при одном столкновении) пропорциональна величине прозрачности потенциального барьера:

, (7)

где 𝜇 – приведённая масса конечного ядра и -частицы, 𝑉 (𝑟) – потенциальный барьер (рис. 3),

𝑟 * – расстояние от ядра, при котором частица преодолевает потенциальный барьер.

(7.1)

На рис. 3 (жирная сплошная линия) показана зависимость потенциальной энергии между 𝛼 -частицей и остаточным ядром от расстояния между их центрами. Можно выделить три области:

1. 𝑟 < 𝑅 – сферическая потенциальная яма глубиной 𝑉₀. В классической механике α-частица с кинетической энергией 𝑇_𝛼 + 𝑉₀ может двигаться в этой области, но не способна ее покинуть. В этой области существенно сильное взаимодействие между α-частицей и остаточным ядром.

2. 𝑅 < 𝑟 < 𝑟* – область потенциального барьера, в которой потенциальная энергия больше энергии α-частицы, т.е. это область запрещенная для классической частицы.

3. 𝑟 > 𝑟* – область вне потенциального барьера.

Квантово-механическое решение задачи о прохождении частицы через потенциальный барьер дает для вероятности прохождения (коэффициента прозрачности барьера) D

 

где μ_α- приведенная масса, T_α - энергия α-частицы. В приближении T_α << B_k, где B_k - высота кулоновского барьера (предполагается, что барьер чисто кулоновский) описывается соотношением

(8)

Рассчитанные по формулам (5), (6) и (8) периоды полураспада правильно передают важнейшую закономерность альфа-распада - сильную зависимость периода полураспадаT_1/2 от энергии альфа-частиц T_α(энергии альфа-распада Q_α T_α). При изменении периодов полураспада более чем на 20 порядков отличия экспериментальных значений от расчетных всего 1-2 порядка. Конечно, такие расхождения все же довольно велики. Где их источник и как надо усовершенствовать теорию, чтобы эти расхождения с экспериментом уменьшить? Какие факторы должны быть дополнительно учтены?

1. Приведенные выше формулы описывают эмиссию альфа-частиц с нулевым орбитальным моментом l. Однако возможен распад и с ненулевым орбитальным моментом, более того, в ряде случаев распад с l = 0 запрещен законами сохранения. В этом случае к кулоновскому V_k(r)добавляется центробежный потенциал V_ц(r)

V(r) = Vk (r) + Vц (r),

1.

2. Хотя высота центробежного барьера для тяжелых ядер при l = 8 составляет всего около 10% от высоты кулоновского барьера и центробежный потенциал спадает быстрее, чем кулоновский, эффект вполне ощутим и для больших l может приводить к подавлению альфа-распада более, чем на 2 порядка.

3. Результаты расчетов прозрачности барьера весьма чувствительны к средним радиусам ядер R. Так изменение R всего на 4% приводит к изменению T_1/2 в 5 раз. Между тем, ядра с A > 230 могут быть сильно деформированы, что приводит к тому, что альфа-частицы охотнее вылетают вдоль большой оси эллипсоида, а средняя вероятность вылета отличается от таковой для сферического ядра. Большую чувствительность периодов полураспада от радиусов можно использовать, определяя радиусы ядер по экспериментальным значениям периодов полураспада.

4. Выше никак не учитывалась структура состояний начального и конечного ядер и тесно связанная с этим проблема образования альфа-частицы в ядре, вероятность которой молчаливо полагалась равной 1. Для четно-четных ядер это приближение довольно хорошо описывает эксперимент. Однако, если перестройка структуры исходных ядер в конечные заметно затруднена, то необходимые для учета этих эффектов модификации пред экспоненциального множителя f, могут приводить к изменению расчетных значений приблизительно на два порядка.

 

 

Порядок выполнения задачи

Экспериментальные закономерности

1)Построить и прокомментировать зависимости Q a(Z), Q a(N).
2)Построить и прокомментировать зависимости T a(Z), T a(N)
3)Построить зависимость T a(Q a) отдельно для четно-четных, нечетных и нечетно-нечетных
ядер.

Закон Гейгера-Нэттола

4)Подобрать коэффициенты в формуле Гейгера-Нэттола для построенных зависимостей
T a(Q a). Выполнить только для Z=const, отдельно для каждого Z и отдельно для четно-четных, нечетных и нечетно-нечетных ядер.

Результаты и обсуждения

По экспериментальным данным были построены графики зависимости энергий α -частицы и время полураспада от числа нейтронов при фиксированном Z и от числа протонов при фиксированном N, изотопов и изотона .

Рис.3 Зависимость энергии альфа-распада (Q_α) от числа нейтронов (N) при фиксированном Z (Z=86).

Рис.4. Зависимость энергии альфа-распада (Q_α) от числа нейтронов (N) при фиксированном Z (Z=102).

????????????

 

В рис. 3,4 энергия α-частицы убывает при увеличении числа нейтронов, это связано с тем, что при увеличении числа нейтронов в ядре ядерные силы увеличиваются, соответственно барьер для α-распада возрастает и в связи с этим энергия α-частицы уменьшается. Максимум при N=128 связано с магическим числом нейтронов в ядре. Значение энергии понижено, когда материнское ядро имеет замкнутую оболочку, и повышено, когда замкнутую оболочку имеет дочернее ядро: N = 128 = 126 + 2.

 

Рис.5. Зависимость энергии альфа-распада (Q_α) от числа протонов (Z) при фиксированном N (N=116).

На рис. 5 показано, что с возрастанием Z увеличивается относительная роль кулоновского отталкивания, которое уменьшает энергию связи ядра. И это приводит к увеличению энергии альфа – распада.

 

Рис.6. Зависимость периода полураспада (Т_1/2) от числа нейтронов (N) при фиксированном Z (Z=86)

На рис.6.период полураспада зависимости от числа нейтронов увеличивается в областях 110-126. Потом мы видим резкий спад. Это объясняется в том что, даже небольшое изменение энергии приводит к значительному изменению показателя и тем самым к очень резкому изменению λ, т. е. периода полураспада. Именно поэтому энергии вылетающих α-частиц жестко ограничены. Для тяжелых ядер α-частицы с энергиями выше 9 МэВ вылетают практически мгновенно, а с энергиями ниже 4 МэВ живут в ядре так долго, что распад не удается зарегистрировать.

 

Рис.7. Зависимость периода полураспада (Т_1/2) от числа нейтронов (N) при фиксированном Z (Z=102)

????????????

Рис.8. Зависимость периода полураспада (Т_1/2) от числа протонов (Z) при фиксированном N (N=116).

На рис. 8 показано, что с возрастанием Z увеличивается относительная роль кулоновского отталкивания, которое уменьшает энергию связи ядра. И это приводит к увеличению энергии альфа – распада. Увеличение энергий альфа- распада приводит к уменьшению периода полураспада. (см. формулу 7.1)

 

 

Рис.9. Четно-четные изотопы ⁸⁶Rn.

Соответствующие параметры А=-1,6233*Z (+-0.05985) и В=-52.75767 (+-1.96879).

Рис.10. Четно-четные изотопы ¹⁰²No.

Соответствующие параметры А=-1,49168*Z (+-0.12288) и В=-51.3138 (+4.30367).

Литература:

1. http://nrv.jinr.ru/nrv/

2. http://nuclphys.sinp.msu.ru/

3. Ю. М. Широков, Н. П. Юдин. Ядерная физика М.: Наука, 1980, - 728 с.

4. К. Н. Мухин. Экспериментальная ядерная физика. Книга 1. Физика атомного ядра. Свойства ядра, нуклонов и радиоактивных излучений. М.: ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1993, - 376 с.