Задания для самостоятельной работы. Равносильность формул.

Лабораторная работа № 125.

Равносильность формул.

Цель работы. Изучить логические операции и основные равносильности алгебры логики, научиться преобразовывать формулы, используя основные равносильности и правила поглощения.

Логические операции

- отрицание, Ú - дизъюнкция, Ù (&) - конъюнкция,

«(~) - эквиваленция, ® - импликация

Приоритет операций:

конъюнкция, дизъюнкция, эквиваленция и импликация

 

Таблица истинности

 

A	B		A Ú B	A & B	A «B	A ® B

 

 

Основные равносильности алгебры логики:

 

1. º A 2. A & B º B & A

3. A Ú B º B Ú A 4. (A & B) & C º A & (B & C)

5. (A Ú B) Ú C º A Ú (B Ú C) 6. A & (B Ú C) º (A & B) Ú (A & C)

7. A Ú (B & C) º (A Ú B) & (A Ú C) 8. A & A º A

9. A Ú A º A 10. (A & B) Ú A º A

11. (A Ú B) & A º A 12. A & B º Ú

13. A Ú B º & 14. A & 1 º A

15. A & 0 º 0 16. A Ú 1 º 1

17. A Ú 0 º A 18. A Ú º 1

19. A & º 0 20. A ® B º Ú B

21. A «B º (A ® B) & (B ® A) º AB Ú

22. A Ú B º A Ú B

 

Студенты с четными номерами по списку группы выполняют 2, 4, 6, 8, 10 задания, с нечетными номерами выполняют задания 1, 3, 5, 7, 9.

Задание 1. Используя основные равносильности алгебры логики, упростить формулы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ;

9) .

 

Методические указания.

Пример 1. Используя основные равносильности алгебры логики, а также равносильности и ,

упростить формулу: .

Решение.

Ответ:

 

Логическую операцию конъюнкция в формулах алгебры логики можно опускать, т.е. выражение A&B можно записывать в виде АВ.

 

Пример 2. Для заданного высказывания

1) построить таблицу истинности;

2) упростить высказывание, используя равносильные преобразования;

3) полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.

Решение.

1) Таблица истинности. Пусть

 

Х	Y	Z		YZ			U

 

2) Выполним равносильные преобразования, используя и , имеем:

в последнем преобразовании для первого и третьего слагаемых использовали правило поглощения АВÚАºА, далее используем другое правило поглощения , получаем

Еще раз использовали правило поглощения.

3) Для полученного выражения построим таблицу истинности

 

Х	Y	Z

 

Результирующие (последние) столбцы в двух таблицах совпали, следовательно, выполненные преобразования верны.

 

Задания для самостоятельной работы

Для заданного логического выражения (высказывания):

1) построить таблицу истинность;

2) упростить высказывание, используя равносильные преобразования;

3) полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.

 

Вариант		Вариант
	(A «C) Ú A Ú B		(A ® B) Ú A Ú BC
	(AB ® C) Ú A		C Ú (AB «C)
	( ® C) (B Ú AC)		(A ~ B) Ú C Ú AB
	(A ® B) Ú A Ú AC		(A ~ B) Ú A Ú AC
	(AC ® B) Ú B		(AC ® B) Ú A
	( ® B) ( Ú AC)		( «C) (A ® BC)
	(A ® C) Ú A Ú B		(C ® A ) Ú Ú BC
	(BC ® ) ÚAB		C Ú (AB «C) Ú B
	(AB ® C) Ú AB		( ~ B) (A ® CB)
	(B ® AC) Ú (AB ® C)		( B ® C) Ú B Ú C
	(A «B) Ú (A ® BC)		( C ® ) Ú BC
	(AB ® C) Ú A		( B ® C) (A ~ C)
	( «BC) (A ® BC)		(A ® B) ( B ® C)
	(A «C) Ú A C Ú B		(A ® B) Ú A Ú BC
	( ® AC) Ú A		C Ú (AB «C)
	( ® BC) ( Ú AB)		(A ~ B) Ú C Ú AB
	(A ® BC) Ú C Ú AB		(A ~ B) Ú A Ú AC

Контрольные вопросы.

1. Какие основные логические операции вам известны?

2. Перечислите основные равносильности алгебры логики.