Расчетно-графическая работа

Введение

В данной работе необходимо определить закон распределения вероятностей результата измерения по исходным данным. Расчетно-графическая работа включает в себя расчетно-пояснительную записку.

Расчетно-графическая работа

Выборка результатов измерений соответствующей варианту: 5,7,7,9,9,4,5,8,6,8,10,6,11,12,10,10,17,15,13,12.

Разобьем выборку на 5 интервалов, определим величину интервала:

Занесем данные в таблицу 1.

Таблица 1 – Результаты наблюдений

х	4-6,6	6,6-9,2	9,2-11,8	11,8-14,4	14,4-17
Середина интервала	5,3	7,9	10,5	13,1	15,7
Частота

Вычислим оценки и :

;

где коэффициент смещения (таблица 2).

Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму. При построении разбиение на интервалы осуществляется таким образом, чтобы измеренные значения оказались серединами интервалов.

Таблица 2 – Значения коэффициента в зависимости от количества наблюдений n

n	M_k	n	M_k	n	M_k
	1,253		1,025		1,013
	1,128		1,023		1,012
	1,085		1,021		1,010
	1,064		1,019		1,008
	1,051		1,018		1,007
	1,042		1,017		1,006
	1,036		1,016		1,006
	1,032		1,015		1,005
	1,028		1,014		1,004

Рисунок 1 – Гистограмма

По виду гистограммы предположительно идентифицируем опытное распределение нормальным.

Определим, содержит ли результат наблюдения х =17 грубую погрешность.

1. Проверка по критерию "3 σ ". Вычисляем удаленность подозрительного результата от центра распределения: .

Определим границу погрешности: .

Так как, то можно сделать вывод, что результат x=17 не содержит грубой погрешности.

2. Проверка по критерию Смирнова . Из таблицы 3 для принятого уровня значимости q =0,05 и объема выборки n =20 найдем . Наличие грубой погрешности в результате х =17 не подтверждается, т. к.:

Таблица 3 – Квантили распределения β_k

Объем выборки	Предельное значение β_k при уровне значимости q
0,100	0,050	0,0010	0,005	0,001
	1,282	1,645	2,326	2,576	3,090
	1,632	1,955	2,575	2,807	3,290
	1,818	2,121	2,712	2,935	3,403
	1,943	2,234	2,806	3,023	3,481
	2,036	2,319	2,877	3,090	3,540
	2,111	2,386	2,934	3,143	3,588
	2,172	2,442	2,981	3,188	3,628
	2,224	2,490	3,022	3,227	3,662
	2,269	2,531	3,057	3,260	3,692
	2,309	2,568	3,089	3,290	3,719
	2,457	2,705	3,207	3,402	3,820
	2,559	2,799	3,289	3,480	3,890
	2,635	2,870	3,351	3,539	3,944
	2,696	2,928	3,402	3,587	3,988
	2,792	3,015	3,480	3,662	4,054
	2,860	3,082	3,541	3,716	4,108
	3,076	3,285	3,723	3,892	4,263
	3,339	3,534	3,946	3,946	4,465
	3,528	3,703	4,108	4,263	4,607

3. Проверка по критерию Романовского. Определяем характеристики распределения без учета подозрительного результата ():

По таблице 4 находим коэффициент Стьюдента при объеме выборки и доверительной вероятности P = 0,95; . Наличие грубой погрешности подтверждается, т. к.:

Таблица 4 – Критерий Стьюдента (квантили Стьюдента)

Довери- тельная вероят- ность Р	Число степеней свободы k

0,90	2,35	2,13	2,01	1,94	1,86	1,81	1,78	1,73	1,72	1,70	1,68	1,67	1,66	1,64
0,95	3,18	2,78	2,57	2,45	2,31	2,23	2,18	2,10	2,07	2,04	2,02	2,00	1,98	1,96
0,99	5,84	4,60	4,03	3,71	3,36	3,17	3,06	2,98	2,82	2,75	2,70	2,86	2,62	2,58

4. Проверка по критерию Шовене. При нахождении характеристик распределения участвуют все наблюдения. Вычисляем квантиль z по формуле:

По таблице значений функции Лапласа [1] определяем вероятность выхода результатов за квантиль :

Тогда ожидаемое число наблюдений с результатом Ом:

Так как , то приходим к выводу об отсутствии грубой погрешности в результате наблюдения.

5. Проверка по критерию Ирвина. Для полученных экспериментальных данных определяют коэффициент по формуле:

Затем этот коэффициент сравним с табличным значением , значения которого приведены в таблице 5. Т. к. λ=1.15<1.3=λ_q, то нулевая гипотеза не подтверждается, т. е. результат x=17 не содержит грубой погрешности.

Таблица 5 – Критерий Ирвина

Число измерений n	Уровень значимости

	2,8	3,7
	2,2	2,9
	1,5	2,0
	1,3	1,8
	1,2	1,7
	1,1	1,6

6. Проверка по критериювариационного размаха. Для его использования определяют размах вариационного ряда упорядоченной совокупности наблюдений :

Выполним проверку по следующему неравенству:

, (1)

где выборочное среднее арифметическое значение, вычисленное после исключения предполагаемого промаха (для X_cp=14, );

критериальное значение (таблица 6).

Таблица 6 – Критерий вариационного размаха

			8 –9	10 –11	12 – 15	16 – 22	23 – 25	26 – 63
1,7	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9

Неравенство 1 выполняется: .

Таким образом, результат x=17 не содержит грубой погрешности.

7. Проверка по критерию Диксона. При использовании критерия вычисляют коэффициент Диксона (наблюдаемое значение критерия) для проверки наибольшего или наименьшего экстремального значения в зависимости от числа измерений. В таблице 7 приведены формулы для вычисления коэффициентов.

Для данного варианта: .

Таблица 7 – Формулы коэффициентов Диксона

Объем выборки	Коэффициент Диксона	Для наименьшего экстремального значения параметра	Для наибольшего экспериментального параметра
3 – 7
8 – 10
11 – 13
14 – 25

Таблица 8 – Критериальные значения коэффициентов Диксона (при принятом уровне значимости q)

Коэффициент Диксона	Число измерений	при уровне значимости
0,1	0,05	0,02	0,01
		0,886 0,679 0,557 0,482 0,434	0,941 0,765 0,642 0,560 0,507	0,976 0,846 0,729 0,644 0,586	0,988 0,899 0,780 0,698 0,637
		0,479 0,441 0,409	0,554 0,512 0,477	0,631 0,587 0,551	0,683 0,636 0,597
		0,517 0,490 0,467	0,576 0,546 0,521	0,538 0,605 0,578	0,679 0,642 0,615
		0,462 0,472 0,452 0,438 0,424 0,412 0,401 0,391 0,382 0,374 0,367 0,360	0,546 0,525 0,507 0,490 0,475 0,462 0,450 0,440 0,430 0,421 0,413 0,406	0,602 0,579 0,559 0,542 0,527 0,514 0,502 0,491 0,481 0,472 0,464 0,457	0,641 0,616 0,595 0,577 0,561 0,547 0,535 0,524 0,514 0,505 0,497 0,489

Вычисленные для выборки по формулам значения коэффициентов Диксона сравним с табличным значением критерия Диксона (таблица 8). Нулевая гипотеза об отсутствии грубой погрешности выполняется, если выполняется неравенство .

Если , то результат признается грубой погрешностью и исключается из дальнейшей обработки. В нашем случае:r=-0.6<0.45=r_q, т.е. грубая погрешность отсутствует.

Поскольку все критерии (7 из 7) показали отсутствие грубой погрешности, то результат наблюдения можно оставить в выборке.

Исключение систематических погрешностей измерений.

Если приведенные результаты представить графически, то можно увидеть на графике прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность. График показан на рисунке 2.

Рисунок 2 – График результатов

Модуль переменной составляющей систематической погрешности определим по формуле:

, (2)

где разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений (по аппроксимирующей прямой);

общее число результатов;

порядковый номер измерения.

Разность определяется по аппроксимирующей прямой.

В данном варианте Δс=13, тогда .

Округлив значение до сотых долей (точность получениярезультатов) и исключим из результатов измерений, т. е.:

, (3)

где поправка, вносимая в каждый результат.

Как видно, поправка представляет собой погрешность, взятую с обратным знаком.

Систематическая погрешность, определенная по формуле 2 примет значения:

0.65	1.3	1.95	2.6	3.25	3.9

Внеся исправления, получаем новую последовательность результатов: 3,35; 3,37; 3,37; 3,37; 3,37; 3,37; 3,36; 3,38; 3,37; 3,37; 3,36; 3,36; 3,37; 3,37; 3,36; 3,38; 3,37; 3,38; 3,38; 3,40.

Определим статистические функции распределения. Результаты (без исключения грубых и систематических погрешностей, после упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены таблицей 9.

Таблица 9 – Промежуточные значения интервального ряда

Границы интервалов	Середины интервалов	Частота попадания в интервалы	Статистическая вероятность (частость)
3,36 – 3,388	3,374		0,10
3,388 – 3,416	3,402		0,25
3,416 – 3,444	3,430		0,40
3,444 – 3,472	3,458		0,15
3,472 – 3,50	3,486		0,10
			1,0

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы:

Рисунок 3 – Гистограмма результатов измерений

Определенные ранее среднеарифметическое и среднеквадратическое отклонения:

; .

Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле для каждого интервала и занесем в таблицу 10:

. (4)

А затем, пользуясь статистической таблицей [1], определим дифференциальную функцию .

Таблица 10 – Вероятностные параметры распределения

Середины интервалов	,
3,374	-1,392;1,392	0,1415	0,1071	0,0823	0,10
3,402	-0,635;0,635	0,3156	0,2388	0,2628	0,35
3,430	0,122	0,3924	0,2970	0,5478	0,75
3,458	0,878	0,2636	0,1995	0,8106	0,90
3,486	1,635	0,1002	0,0758	0,9489	1,0

Используя свойство нормального распределения , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интервалов применим зависимость:

, (5)

где h – ширина интервала, в нашем случае она равна 0,028.

Значения нормальной функции распределения находятся по таблице [2] или по формуле:

Для построения статистической функции распределения воспользуемся формулой для дополнительных вычислений:

. (6)

;

Графики экспериментальной и теоретической функции интегрального вида показаны на рисунке 4.

По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).

Рисунок 4 – Кривые интегральной функции распределений

При малых объемах выборки для проверки согласия опытного распределения с нормальным применяется составной критерий d. По заданным условиям уровень значимости .

Вычислим выборочное среднее арифметическое X, несмещенную и смещенную оценки СКО:

Ом;

Ом.

Проверяим согласие по критерию 1. Для этого определим значение d:

Ом.

При n =20; ; из таблицы 12 находим квантили распределения d (после интерполяции):

; .

Гипотеза о нормальности распределения по критерию 1, при выбранном уровне значимости подтверждается, так как:

;

или

Проверка по критерию 2. По таблицам 12, 13 находим значения ; ; , т. е. находим произведение и сравниваем его с максимальным отклонением. Гипотеза о нормальности распределения по критерию 2 справедлива, так как в выборке нет ни одной разницы, превышающей значение:

Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по обоим критериям подтверждается при принятом уровне значимости .

Таблица 11 – Квантили распределения статистики d


0,9359	0,9073	0,8899	0,7409	0,7153	0,6675
0,9137	0,8884	0,8733	0,7452	0,7236	0,6829
0,9001	0,8768	0,8631	0,7495	0,7304	0,6950
0,8901	0,8625	0,8570	0,7530	0,7360	0,7040
0,8827	0,8625	0,8511	0,7559	0,7404	0,7110
0,8769	0,8578	0,8468	0,7583	0,7440	0,7167
0,8722	0,8540	0,8436	0,7604	0,7470	0,7216
0,8682	0,8508	0,8409	0,7621	0,7496	0,7256
0,8648	0,8481	0,8385	0,7636	0,7518	0,7291

Таблица 12 – Квантили интегральной функции Лапласа

Р	0,90	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99
	1,65	1,96	2,06	2,17	2,33	2,58

Таблица 13 – Значения и , соответствующие различным и

		при уровне значимости равном
0,01	0,02	0,05
		0,98	0,98	0,96
11 – 14		0,99	0,98	0,97
15 – 20		0,99	0,99	0,98
21 – 22		0,98	0,97	0,96
23 – 27		0,98	0,98	0,97
28 – 32		0,99	0,98	0,97
33 – 35		0,99	0,98	0,98
36 – 49		0,99	0,99	0,98

Проверим с помощью критерия гипотезу о нормальном законе распределения погрешностей в указанном эксперименте.

Расположим экспериментальные данные в порядке возрастания: 3,36; 3,38; 3,39; 3,39; 3,40; 3,40; 3,40; 3,42; 3,42; 3,42; 3,42; 3,42; 3,44; 3,44; 3,44; 3,46; 3,46; 3,47; 3,48; 3,50.

Вычисляем значение величины :

, (7)

где значения коэффициентов берутся из таблицы 14.

Т. к. формула 7 примет следующий вид:

Коэффициенты , взятые из таблицы 14, имеют следующие значения:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Находим расчетное значение критерия:

При определенном уровне значимости q (q =0,05) проверяем выполнение условия:

, (8)

где критическое значение критерия, взятое из таблицы 15.

По критерию условие (8) выполнено. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении подтвердилась.

Таблица 14 – Значение коэффициентов



k k -1 k -2 k -3 k -4	0,7071	0,6872 0,1677	0,6646 0,2413	0,6431 0,2806 0,0875	0,6233 0,3031 0,1401	0,6052 0,3164 0,1743 0,0561	0,5888 0,3244 0,1976 0,0947	0,5739 0,3291 0,2141 0,1224 0,0399	0,5601 0,3315 0,2260 0,1429 0,0695


k k -1 k -2 k -3 k -4 k -5 k -6 k -7 k -8 k -9	0,5475 0,3325 0,2347 0,1586 0,0922 0,0303	0,5359 0,3325 0,2412 0,1707 0,1099 0,0539	0,5251 0,3318 0,2460 0,1802 0,1240 0,0727 0,0240	0,5150 0,3306 0,2495 0,1878 0,1353 0,0880 0,0433	0,5056 0,3290 0,2521 0,1939 0,1447 0,1005 0,0593 0,0196	0,4996 0,3234 0,2498 0,1902 0,1402 0,0987 0,0545 0,0182	0,4982 0,3206 0,2456 0,1876 0,1378 0,0954 0,0516 0,0174 0,0054	0,4964 0,3178 0,2412 0,1851 0,1336 0,0911 0,0476 0,0168 0,0034	0,4942 0,3154 0,2387 0,1828 0,1304 0,0876 0,0436 0,0152 0,0022 0,0008

Таблица 15 – Критические значения критерия

	Уровень значимости
0,01	0,02	0,05
	0,753	0,756	0,767
	0,687	0,707	0,748
	0,686	0,715	0,762
	0,713	0,743	0,788
	0,730	0,760	0,803
	0,749	0,778	0,818
	0,764	0,791	0,829
	0,781	0,806	0,842
	0,792	0,817	0.850
	0,805	0,828	0,859
	0,814	0.837	0,866
	0,825	0,846	0,874
	0.835	0,855	0,881
	0,844	0,863	0,887
	0,853	0,870	0,893
	0,862	0,878	0,899
	0,874	0,885	0,906
	0,881	0,894	0,911

3.Список используемой литературы:

1. Третьяк, Л. Н. Обработка результатов наблюдений: учеб. пособие / Л.Н. Третьяк. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 171 с.

2. Третьяк, Л. Н. Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями: учеб. пособие / Л. Н. Третьяк. – Оренбург: ИПК ОГУ, 2002. – 60 с.

3. Сергеев, А. Г. Метрология, стандартизация, сертификация: учебник для студентов вузов / А. Г. Сергеев, В. В. Терегеря. – М.: Юрайт, 2010. – 820 с.