Некоторые прикладные модели экономических процессов

Глава 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Некоторые прикладные модели экономических процессов

Рассмотрим примеры типовых моделей и графиков, наиболее часто встречающихся в задачах моделирования и оптимизации экономических систем.

Функция потребления и линия бюджетного ограничения. В теории потребительского спроса на два товара х и у предпочтения потребителя описываются кривыми безразличия (indifference curve), которые соединяют потребительские наборы (х, у) и есть не что иное, как линии уровня функции потребления или функции полезности (utility function). Значение функции полезности U(х,у) равно потребительской оценке этого набора. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнений U(х,у) = с, где с – меняющийся параметр, характеризующий значение (уровень) функции потребления. В качестве величины с может выступать, например, доход R или уровень материального благосостояния.

В пространстве потребительского спроса каждому уравнению U(х,у) = с соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ х и у, которая называется поверхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания (х) и непродовольственные товары, включая услуги (у). Тогда уровни функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям с (рис. 20, где с ₁ < с ₂ < с ₃)

Из основных свойств функции потребления отметим следующие. 1) Функция U(х,у) является возрастающей функцией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизменном уровне потребления всех других благ увеличивает значение данной функции. Поэтому более удаленная от начала координат кривая безразличия соответствует большему зна-

чению функции потребления, а сам процесс максимизации этой функции можно интерпретировать как поиск допустимой точки, принадлежащей кривой безразличия и максимально удаленной от начала координат;

2) Кривые безразличия не могут пересекаться. В противном случае один и тот же набор благ (товаров, услуг) одновременно соответствовал бы нескольким разным уровням материального благосостояния.

3) Кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Рассмотрим вопрос моделирования поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений на базе максимизации целевой функции потребления. В основе модели лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Введем понятие бюджетного ограничения (budget constraint) (расходы потребителя ≤ его бюджета) и рассмотрим случай, когда потребитель тратит весь свой бюджет на рассматриваемые товары: хр_х + ур_у = R, где R – доход потребителя, а р_х и р_у – цены товаров х и у соответственно.

Построим графики кривой безразличия и бюджетного ограничения. Сделаем это для простейшей функции потребления U(х,у) = ху.

Для уровня потребления с и дохода R получаем следующие уравнения:

с = ху

Графиком первой из этих функций (кривой безразличия) на рис. 21 является гипербола, а графиком второй (бюджетного ограничения) – прямая линия, имеющая отрицательный наклон и пересекающая ось абсцисс в точке [ R / р_х ], соответствующей количеству товара х по цене р_х, если потратить на него весь доход R.

Рис. 21

Выбор потребителей ограничен

треугольником бюджетных ограничений.

Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой бюджетного ограничения с наиболее удаленной точкой на кривой безразличия, является оптимальным решением, обеспечивающим максимум удовлетворения потребительских потребностей.

Статические модели спроса. Функциями покупательского спроса (функциями спроса; demand function) называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от комплекса факторов, влияющих на него. Такие функции строятся на основе информации о структуре доходов населения, ценах на товары, составе семей и других факторов. Рассмотрим построение функций спроса D_i в зависимости от двух экзогенных факторов — дохода потребителей R и цен p_i

При формировании статических моделей спроса часто либо доход, либо цены считают неизменными.

Рассмотрим первый случай. Обычный график зависимости спроса от цены (кривая спроса) показан на рис. 22 (семейство кривых дано для разных значений дохода R). Для большинства товаров при неизменном доходе величина спроса уменьшается с ростом их цен. Но возможны и аномалии – с повышением общего уровня цен спрос на относительно дешевые товары даже при растущих ценах на них

Рис. 22

них увеличивается (так называемый «парадокс Роберта Гиффена»). Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других, связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластичности спроса от цен. Этот коэффициент удобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1% (см. раздел 6.2).

Рассмотрим второй случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход R. Для двух товаров х и у этот случай представлен на рис. 23, где прямая АВ — бюджетная линия, соответствующая комбинации количеств этих двух товаров, которую можно купить на сумму денег R. При увеличении дохода, бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребителей для соответству-

Рис. 23

называются кривыми Энгеля. Формы этих кривых для различных товаров могут быть различными. При неизменных ценах с ростом дохода обычно растет и спрос на большинство благ (кроме наиболее дешевых и низкокачественных).

По величине эластичности спроса по доходу (т.е. в зависимости от вида функций спроса от дохода) шведский экономист Л.Торнквист предложил специальные виды функции спроса (функции Торнквиста) для трех групп товаров: первой необходимости, второй необходимости и предметов роскоши.

Функция Торнквиста для товаров первой необходимости имеет вид:

и отражает тот факт, что рост спроса на эти первоочередные товары с ростом дохода R постепенно замедляется и имеет предел насыщения а ₁; графиком функции является вогнутая кривая Энгеля (Engel curve) I на рис.24. Здесь и далее а_i, b_i и β_i (i =1,2,3)- некоторые параметры, определяемые статистически для каждого конкретного случая.

Функция спроса по Торнквисту на товары второй необходимости выражается формулой

где R ≥ b ₂.

Эта функция также имеет предел насыщения а ₂, но более высокого уровня; при этом спрос на эту группу товаров появляется лишь после того, как доход R достигнет величины b ₂График функции — вогнутая кривая II на рис. 24.

Наконец, функция Торнквиста для предметов роскоши имеет вид

где R ≥ b ₃.

Эта функция не имеет предела. Спрос на эти товары возникает после того, как доход R превысит величину b ₃, и далее быстро возрастает, так что график функции — выпуклая кривая III на рис. 24. Кроме указанных функций, в аналитических моделях покупательского спроса используются также другие функции: степенные, S-образные и т.д.

Рис. 24

В более сложных моделях при анализе спроса на данное благо (или группу) учитываются также цены на некоторые другие товары, которые могут оказать на спрос заметное влияние. Ими являются взаимодополняющие и взаимозаменяемые блага.

Зависимость издержек и дохода от объема производства. Рассмотрим функции издержек С(q), дохода R(q), и прибыли S(q) фирмы в зависимости от объема производства q. В соответствии с понятием жизненного цикла товара, издержки велики при малом q и вначале растут быстрее, чем доход.

Рис. 25.

где a,b,c,d,e – коэффициенты (параметры) модели. Объемы производства q₁ и q₂ соответствуют точкам безубыточности. Очевидно, что для достижения положительной прибыли должно выполняться условие q₁< q< q₂.