а) Метод сведения системы к одному ДУ.

Продифференцируем первое уравнение: . Подставим в полученное равенство из второго уравнения , получим: . Выразим из первого уравнения: и подставим в последнее равенство. Получим или, окончательно, после преобразований: – линейное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение: и найдем его корни: . Следовательно, общее решение полученного ДУ будет иметь вид: .

Найдем , используя равенство: . Имеем:

Итак, найдено общее решение системы: .

Подставляя начальные условия: , найдем частное решение:

Ответ: .

Б) Алгебраический метод.

Будем искать решения системы в виде .

Подставим в систему, получим:

()

Для того чтобы система (*) имела нетривиальное решение н. и д., чтобы её определитель равнялся нулю. Имеем

– характеристическое уравнение.

– характеристические числа.

Подставим их в систему .

При . Пусть , тогда .

Значит, корню соответствует частное решение: .

При . Пусть , тогда .

Получим другое частное решение системы: .

Составляя линейные комбинации полученных частных решений, получим окончательно:

– общее решение.

Подставляя начальные условия, найдем частное решение системы:

Ответ: .

В) Операторный метод.

Введем изображения искомых функций и их производных:

, ,

,

.

Тогда система примет вид:

.

Решим системы методом Крамера:

;

;

Откуда:

; .

По таблицам преобразования Лапласа находим частное решение системы дифференциальных уравнений:

Ответ:

14. Найти общее решение системы ДУ: .

Решение:

Будем решать эту систему алгебраическим методом.

Ищем решения в виде .

Подставим в систему, получим:

Составим характеристическое уравнение:

Решая уравнение, находим –характеристические числа. Подставим их в систему .

Тогда, – частное решение, соответствующее корню .

Тогда, частное решение, соответствующее корню .

Общее решение системы будет иметь вид:

Ответ:

15. Составить уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что в каждой её точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение:

Обозначим за угол, образованный касательной к искомой кривой в произвольной точке этой кривой (Рис. 1). Тогда .

По условию задачи – дифференциальное уравнение.

Общее решение этого дифференциального уравнения: .

Найдём , используя условие задачи:

Тогда уравнение искомой кривой будет иметь вид: .

Это уравнение параболы.

Рис.1.

Ответ: .

Список литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. тт.I и II,М: Наука, 1985.

2. Письменный Д. Курс лекций по высшей математике. 1 и 2 часть, М: Айрис-пресс, 2005.

3. Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов, ч.1 и 2, М: Наука, 1993.

4. Данко П.Е. и др.Высшая математика в упражнениях и задачах. М: Высшая школа, 1999.