Дифференциальные уравнения» - ЭТМО-1.2 семестр

Вопросы базового уровня для подготовки к экзамену по курсу

Уравнения 1-го порядка:

1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ДУ) 1-го порядка.

2. Определение решения и общего решения ДУ 1-го порядка.

3. Определение общего интеграла ДУ 1-го порядка.

4. Определение интегральной кривой ДУ 1-го порядка.

5. Определение частного решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

6. Определение начальных условий решаемого дифференциального уравнения. Теорема (без доказательства) о существования и единственности решения задачи Коши для уравнения . Примеры ее использованию.

7. Классификацию дифференциальных уравнений 1-го порядка и отличительные признаки уравнений: - с разделяющимися переменными;

- линейного;

- Бернулли;

- однородного и сводящегося к однородному;

- в полных дифференциалах.

8. Общая схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными вида: .

9. Общая схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными вида: .

10. Определение однородной функции n-го порядка. Использование свойств однородной функции при решении однородного дифференциального уравнения 1-го порядка. Общая схема решения однородного ДУ 1-го порядка вида: .

11. Общая схема решения однородного ДУ 1-го порядка вида: , где функции M(x,y) и N(x,y) являются однородными одного порядка.

12. Общая схема решения линейного дифференциального уравнения вида: (оба метода: «подстановки» и «вариации произвольной постоянной»).

13. Общая схема решения дифференциального уравнения Бернулли: .

14. Определение уравнения в полных дифференциалах, общая схема его решения.

Уравнения n-го порядка:

1. Определение ДУ n-го порядка. Запись дифференциального уравнения n-го порядка в нормальной форме.

2. Запись начальных условий для уравнения n-го порядка, их геометрический смысл на примере уравнения 2-го порядка.

3. Определение решения дифференциального уравнения n-го порядка, определение общего и частного решений дифференциального уравнения n-го порядка.

4. Сведение задачи решения уравнения n-го порядка к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

5. Классификация дифференциальных уравнений n-го порядка и отличительные признаки уравнений: - линейные (общий случай: коэффициенты зависят от x);

- линейные с постоянными коэффициентами;

- однородные и неоднородные (правая часть произвольная);

- неоднородные со специальной правой частью.

6. Определение линейной зависимости функций. Теоремы о линейной зависимости функций, определитель Вронского.

7. Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородного дифференциального уравнения. Общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

8. Теорема (без доказательства) о построении общего решения неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

9. Определение характеристического уравнения. Использование корней этого уравнения для записи функций ФСР однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

10. Учет кратности действительных и комплексных корней характеристического уравнения при формировании ФСР для однородного уравнения n-го порядка.

11. Решение неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.

12. Теорема (без доказательства) о «принципе суперпозиции» для правой части неоднородного дифференциального уравнения.

13. Метод «неопределенных коэффициентов» (общие схемы) при решении неоднородного уравнения n-го порядка со специальной правой частью. Определение вида искомого частного решения

Системы линейных ДУ:

1. Запись системы уравнений 1-го порядка в нормальной форме.

2. Решение систем уравнений сведением к одному уравнению n -го порядка.

3. Общая запись системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в нормальной форме.

4. Запись характеристического многочлена для системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, нахождение его корней.

5. Форма записи частного решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами для случаев, когда:

- характеристические корни действительные и различные;

- среди действительных характеристических корней есть кратные;

- среди характеристических корней есть комплексные, различные;

6. Построение ФСР однородной системы линейных уравнений для всех случаев наборов корней характеристического уравнения: действительных, комплексных, простых и кратных.

7. Форма записи общего решения системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

8. Решение неоднородной системы линейных уравнений методом вариации произвольных постоянных.

9. Решение неоднородной системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами для случаев со специальной правой частью.

Разработал: ______________ А. И. Литвинов

доцент каф. ВМ-2