Вопросы базового уровня для подготовки к экзамену по курсу
Уравнения 1-го порядка:
1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ДУ) 1-го порядка.
2. Определение решения и общего решения ДУ 1-го порядка.
3. Определение общего интеграла ДУ 1-го порядка.
4. Определение интегральной кривой ДУ 1-го порядка.
5. Определение частного решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
6. Определение начальных условий решаемого дифференциального уравнения. Теорема (без доказательства) о существования и единственности решения задачи Коши для уравнения 
. Примеры ее использованию.
7. Классификацию дифференциальных уравнений 1-го порядка и отличительные признаки уравнений: - с разделяющимися переменными;
- линейного;
- Бернулли;
- однородного и сводящегося к однородному;
- в полных дифференциалах.
8. Общая схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными вида: 
.
9. Общая схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными вида: 
.
10. Определение однородной функции n-го порядка. Использование свойств однородной функции при решении однородного дифференциального уравнения 1-го порядка. Общая схема решения однородного ДУ 1-го порядка вида: 
.
11. Общая схема решения однородного ДУ 1-го порядка вида: 
, где функции M(x,y) и N(x,y) являются однородными одного порядка.
12. Общая схема решения линейного дифференциального уравнения вида: 
(оба метода: «подстановки» и «вариации произвольной постоянной»).
13. Общая схема решения дифференциального уравнения Бернулли: 
.
14. Определение уравнения в полных дифференциалах, общая схема его решения.
Уравнения n-го порядка:
1. Определение ДУ n-го порядка. Запись дифференциального уравнения n-го порядка в нормальной форме.
2. Запись начальных условий для уравнения n-го порядка, их геометрический смысл на примере уравнения 2-го порядка.
3. Определение решения дифференциального уравнения n-го порядка, определение общего и частного решений дифференциального уравнения n-го порядка.
4. Сведение задачи решения уравнения n-го порядка к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
5. Классификация дифференциальных уравнений n-го порядка и отличительные признаки уравнений: - линейные (общий случай: коэффициенты зависят от x);
- линейные с постоянными коэффициентами;
- однородные и неоднородные (правая часть произвольная);
- неоднородные со специальной правой частью.
6. Определение линейной зависимости функций. Теоремы о линейной зависимости функций, определитель Вронского.
7. Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородного дифференциального уравнения. Общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
8. Теорема (без доказательства) о построении общего решения неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
9. Определение характеристического уравнения. Использование корней этого уравнения для записи функций ФСР однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
10. Учет кратности действительных и комплексных корней характеристического уравнения при формировании ФСР для однородного уравнения n-го порядка.
11. Решение неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.
12. Теорема (без доказательства) о «принципе суперпозиции» для правой части неоднородного дифференциального уравнения.
13. Метод «неопределенных коэффициентов» (общие схемы) при решении неоднородного уравнения n-го порядка со специальной правой частью. Определение вида искомого частного решения
Системы линейных ДУ:
1. Запись системы уравнений 1-го порядка в нормальной форме.
2. Решение систем уравнений сведением к одному уравнению n -го порядка.
3. Общая запись системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в нормальной форме.
4. Запись характеристического многочлена для системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, нахождение его корней.
5. Форма записи частного решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами для случаев, когда:
- характеристические корни действительные и различные;
- среди действительных характеристических корней есть кратные;
- среди характеристических корней есть комплексные, различные;
6. Построение ФСР однородной системы линейных уравнений для всех случаев наборов корней характеристического уравнения: действительных, комплексных, простых и кратных.
7. Форма записи общего решения системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
8. Решение неоднородной системы линейных уравнений методом вариации произвольных постоянных.
9. Решение неоднородной системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами для случаев со специальной правой частью.
Разработал: ______________ А. И. Литвинов
доцент каф. ВМ-2
