Тербелістердің таралуы

Тарау. Тербелістер

Тепе – теңдік

Кейбір жағдайларда тепе-теңдікті ұстап тұру қиынға соғады - керілген арқан бойымен жүріп көріңіз. Сонымен қатар тербелмелі креслода отырған адамға ешкім қолшапалақтап мадақтау көрсетпейді. Бірақ, креслода отырған адам да өзінің тепе-теңдік қалпын ұстап тұрады.

Осы айтылған мысалдардың арасындағы айырмашылық қандай? Қандай жағдайда тепеөтеңдік «өздігінен» орындалады?

Тепе-теңдік шарты анық көрінеді. Дене өзінің тепе-теңдік күйінен ауытқып кетпеуі үшін, оға әсер ететін күштердің қосындысы нөлге тең болуы тиіс. Айтылған шарт дененің тепе-теңдік қалпын сақтап тұруы үшін қажетті, бірақ бұл шарт жеткілікті ме?

4.1-суретте картон қағаздан оңай жасап алуға болатын төбешіктің пішіні көрсетілген. Шарик, оны төбешіктің қай жеріне апарып орналастыруына байланысы, өзін әр түрлі жағдайларда ұстайтын болады. Төбешіктің еңістіктерінде, осы шарикті төменге сырғанауға мәжбүрлейтін күш әсер етеді. Бұл әсер етуші күш ауырлық күші, нақтырақ айтсақ, біз қарастыратын нүктеден жүргізілген, төбешіктің бетіне жүргізілген жанама сызықтың бағытына проекциясы. Сондықтан еңіс жазық болған сайын, шарикке әсер ететін күштің мәні аз болады.

Біз бәрінен бұрын, ауырлық күшінің толығымен тіректің реакциясымен тепе-теңдікте болатын нүктелерді қарастырамыз, демек, шарикке әсер етуші күш нөлге тең. Бұл шарт төбешіктің шыңдарында және төменгң нүктелер-жыраларда орындалады.

Бұл нүктелерге жүргізілген жанамалар горизонталь, және шарикке әсер етуші қорытқы күштердің мәні нөлге тең.

Бірақ, төбешіктердің шыңдарында, қорытқы күш мәні нөлге тең болғанына қарамастан, шарикті орнықты күйде ұстап тұру мүмкін емес, ал егер бұл мүмкін болса, онда біз шарикті орнықты күйде ұстап тұруға себеп болатын үйкеліс шамасын анықтаймыз. Шағын түрткі және аздаған дем беру арқылы үйкеліс күшіе жеңуге болады, шарик бұл жағдайда орнынан қозғалады және төменге қарай сырғиды.

Тегіс әрі жылтыр шарик үшін, төбешіктегі тепе-теңдік қалпы, тек жыраладың ең төменгі нүктесінде орын алады.

Егер түрткі немесе ауа ағыны көмегімен шарикті осы күйден қозғалтатын болсақ, онда осы күйге шарик өздігінен қайтып келеді.

Шұңқырда немесе еңіс жерде дене міндетті түрде тепе-теңдік күйде болады. Осы күйден ауытқыған кезде, денеге қайтадан осы күге алып келетін күш әсер етеді. Төбешіктердегі шариктің күші өзгеше түрде: егер дене осы күйден ауытқып кететін болса, онда денеге кері қайтарушы күш емес, осы күйден шығарушы күш әсер етеді.

Қорытқы күштің нөлге тең болуы мағызды, бірақ орнықты тепе-теңдік күй үшін жеткіліксіз шарт болып табылады.

Төбешіктегі шариктің тепе-теңдік күйін басқаша түрде қарастыруға болады. Жыралардың орны минимум мәнге, ал төбешіктер-потенциалдық энергияның максимум мәніне сәйкес келеді.

Потециалдық энергияның мәні сәкес келетін күйдің өзгеруіне энергияның сақталу заңы кедергі жасайды. Мұндай өзгеріс кезінде кинетикалық энергия теріс мінге ие болар еді, бірақ бұл мүмкін емес. Төбешіктің шыңдарындағы жағдай мүлдем өзгеше. Бастапқы орынға сәйкес келетін нүктеден ауытқу, потенциалдық энергияның төмендеуімен байланысты, демек, кинетикалық энергияның төмендеуіне емес, керісінше, жоғарылауына сәйкес келеді.

Сонымен, тепе-теңдік жағдайында потенцилдық энергия, оның көрші нүктелердегі мәнімен салыстырғанда, минимал мәнге ие болуы тиіс.

Шұңқыр тереңдеген сайын, ортылық жағдайы жоғарылайды. Энергияның сақталу заңы бізге белгілі, сондықтан дененің еңістіктен қандай жағдайда ауытқитынын бірден айтуға болады. Ол үшін денеге, денені шұңқырдың бүйіріне дейін көтеретін кинетикалық энергия жайлы мәлімет беру керек. Шұңқыр тереңдеген сайын, осы тереңдіктен орнықты тепе-теңдікті жоятын кинетикалық энергияның үлкен мәні қажет болады.

 

Арапайым тербелістер

Егер еңістікте жатқан шарикті итеретін болсақ, шарик кинетикалық энергиясын біртіндеп жоғалта отырып, төбешікке қарай жылжи бастайды. Кинетикалық энергия мәні мүлдем жойылған кезде, шариктің бірден аялдауыжүзеге асады және төменге қарай жылжу басталады. Мұндай кезде дененің потенциалдық энергиясы кинетикалық энергияға айналады. Шарик белгілі бір жылдамдыққа ие болады, инерция бойынша тепе-теңдік күйінен ауытқиды және қайтадан төбеге көтеріле бастайды, бірақ тек қарама-қарсы бағытта.

Егер де үйкеліс елеусіз аз болса, «жоғары-төмен» орын алатын қозғалыс көп уақытқа дейін жалғасуы мүмкін, ал мінсіз жағдайда-үйкеліс жоқ деп қарастырған кезде-қозғалыс мәңгі жалғасады.

Сонымен, орнықты тепе-теңдік күйдің маңайындағ қозғалыс әрқашан тербелмелі сипатқа ие болады.

Тербеліс құбыысын түсіну үшін, шұңқырдан домалайтын шариктен көрі тербелмелі маятникті қарастыру ыңғайлырақ болады, өйткені тербелмелі маятникті үйкеліс шамасы минимум болатын мәнге ие болатын жағдайға келтіру оңайға түседі.

Маятниктің жүкшесі шетке қарай ауытқыған кезде, оның жылдамдығы мен кинетикалық энергиясы нөлге тең болады. Ал потенциалдық энегрияның мәні, бұл жағдайда, тек аз мән қабылдай алады.

Жүкше артқа қарай жылжиды, осы кезде потенциалдық энергия төмендейді де кинетикалық энергияға айналады. Демек, бұл кезде қозғалыс жылдамдығы артады. Жүкше ең шеткі жағдайға жеткен кезд, оның потенциялдық энергиясы ең аз шамаға ие болады, соған сәйкес кинетикалық энергия және жылдамдық максимал болады. Ары қарай қозғалу кезінде жүкше қайтадан жоғарыға көтеріледі. Мұндай жағдайда жылдамдық нөлге тең, ал потенциалдық энергия өседі.

Үйкеліс күшін ескермейтін болсақ, онда жүкше бірдей қашықтықта, бастапқыда солға ауытқыған кездегідей, оң бағытқа ауытқиды. Потенциалдық энергия кинетикалық энергияға ауысты, ал одан кейін тура сондай шамадағы «жаңа» потенциалдық энергия туындайды. Біз берілген тербелістің тек бірінші бөлігін сипаттадық. Тербелістің екінші бөлігі жоғарыда айтылғандай өтеді, бірақ жүкше кері бағытта қозғалады.

Тербелмелі қозғалыс-периодты түрде қайталанып отыратын қозғалыс. Бастапқы нүктеге қайтып келу мезетінде жүкше әр кезде, өзінің жүрілген джолына және жылдамдықтың үдеуге қатынасына байланысты, қозғалысын қайталап отырады (егер үйкеліс нәтижесінен туындайтын өзгерістерді ескермесек). Бір тербеліске кеткен уақыт шамасы, яғни бастапқы орынға қайтып келуге кеткен уақыт, бірінші, екінші, үшінші, т.с.с. тербелістер үшін бірдей болады. Бұл уақыт тербелістің маңызды сипаттамаларының бірі, ол «период» деп аталады, біз оны Т деп белгілейміз.

Т уақыттан кейін тербеліс қайталанады, яғни Т уақыт мезетінде кеңістіктегі дененің бастапқы орнында тербеліп тұрған денені таба аламыз және дене бастапқы бағыт бойынша тербеліп тұрады. Жарты периодтан кейін дененің қозғалысы және қозғалыс бағыты таңбаларын ауыстырады. Бір тербеліске кеткен уақыт Т болғандықтан, онда бірлік уақыттағы n тербелістер санына сәйкес келетін уақыт 1/Т-ға тең.

Орнықты тепе-теңдік күйде қозғалатын дененің тербеліс периоды неден тәуелді болады? Маятниктің тербеліс периоды неден тәуелді? Бұл сұрақты алғаш қойған және осы сұраққа жауап берген Галилео Галилей болатын. Маятниктің тербеліс периодының формуласын біз қазір қорытып шығаратын боламыз.

Бірақғ элементар жолмен механика заңдарын тепе-теңдіксіз үдемелі қозғалысқа қолдануға болмайды. Сондықтан, бұл қиындықты жеңу үшін, вертикаль жазықтықтағы маятник жүкшесін тербелуге мәжбүрлейік, тек бір биіктікте қала отырып, белгілі бір шектерді ғана қарастырамыз. Мұндай қозғалысты тудыру қиын емес, бар болғаны тепе-теңдік күйден аластатылған маятникке, ауытқу радиусіне перпендикуляр бағыттағы бастапқы түрткі (соққы) беру керек.

4.2-суретте айнымалы маятник кескінделген. Массасы m жүкше шеңбер бойымен қозғалады. Демек, mg ауырлық үшінен бөлек жүкшеге центрден тепкіш күш mϑ²/r әрекет етеді, оның мәнін 4π²n²rm түрінде жазуға болады. Мұндағы n-бір секундтағы айналым саны. Сондықтан центрден тепкіш күш формуласын: 4π²mr/T² түрінде жазуға болады. Тепе-теңдіктегі осы екі күш маятник жібін тартады. Суретте екі ұқсас үшбұрыштар штихпен көрсетілген-бұл үшбұрыштар күш пен арақашықтық арқылы тұрғызылған.

Катеттерінің қатынасы тең, демек:

mg T²/4π²mr = h/r, немесе Т = 2π

маятниктің тербеліс периоды қандай себептерден тәуелді болады? Егер біз тәжірибені жер шарының тек бір бөлігінде орындайтын болсақ (g өзгермейді) онда тербеліс периоды ілінетін нүктенің әр түрлі биіктіктеріне және жүктің орналасу нүктесіне ғана тәуелді болады. Жүк массасы ауырлық өрісіндегі қозғалыс кезінде, тербеліс периодымен байланысқа түспейді.

Келесі жағдайды қарастырайық. Біз тепе-теңдік күйге жақын қозғалысты қарасытырамыз. Аз ауытқулар кезінде h биіктік мәнін Ɩ маятник ұзындығымен алмастыра аламыз. Осы жағдайды тексеру оңайға түседі. Егер маятниктің ұзындығы 1 метрге тең болса, ал ауытқу радиусын 1 сантиметр деп алайық, сонда:

h =

1%-дан h және Ɩ арасындағы айырмашылық ауытқу мәні 14см-ге тең болған жағдайда көрінеді. Сонымен, тепе-теңдік күйден ауытқыған маятниктің тербеліс периоды:

Т = 2π ,

яғни, маятник ұзындығынан және тәжірибе жүргізілген жердің еркін түсу үдеуінен тәуелді, бірақ маятниктің тепе-теңдік күйден ауытқу шамасынан тәуелсіз болады.

Т = 2π формуласы айнымалы маятник үшін дәлелденген, ал «сызықтық» маятник үшін бұл формула қандай түрге келеді? Мұндай маятник үшін бұл формула осы күйде қалады екен. Оны біз дәлелдеп жатпаймыз, айнымалы маятник көмегімен қабырғаға түсірілген жүктің көлеңкесі сызықтық маятник сияқты тербеліс жасайды: көлеңке, шариктің айналу аймағын өамтыған уақытқа сәйкес бір тербеліс жасайды.

Тепе-теңдік күйінің маңайындағы аз тербелістерді қолдану, уақыт шамасын жоғары дәлдікпен анықтауға мүмкіндік береді.

Берілген жағдайға сәйкес, Галилео Галилей шіркеуде құлшылық ету кезінде екі үлкен люстраның (аспа шамның) тербелісін бақылай отырып, тербеліс периодының маятникьің амплитуда шамасы мен массадан тәуелсіз екендігін тағайындады.

Сонымен маятниктің тербеліс периоды квадрат түбірдегі оның ұзындығына пропорционал болады. Бір метр маятниктің тербеліс периоды, ұзындығы 25 метр болатын маятниктің тербеліс периодынан екі есе артық болады. Маятниктің тербеліс периодын анықтайтын формуладан, ұзындықтары әр түрлі маятниктер тез әрі бірдей тербеле алатындығы келіп шығады. Экваторға жақын аймақтарда еркін түсу үдеуінің мәні кемиді, ал период шамасы артады.

Тербеліс периодын үлкен дәлдікпен анықтауға болады. Сондықтан маятниктермен жүргізілген тәжірибелер еркін түсу үдеуінің мәнін дәл анықтауға мүмкіндік береді.

Тербелістердің таралуы

Маятник жүкшесінің төменгі бөлігіне жұмсақ қарындашты жалғап қояйық, және қарындаш қағаз бетіне жанасатындай етіп, маятникті қағаз бетінің үстіңгі жағына орналастырамыз. Енді маятникті белгілі бір аз бұрышқа ауытқытайық. Қағаз бетіне жанасатын қарындаш түзу сызықтың аздаған кесіндісін сызады. Тербелістің ортасында, маятник тепе-теңдік күйге келген кезде, қарындаш қағаз бетін қаттырақ басқандықтан, қарындаш салған сызық қалың сызықтар арқылы көрінеді. Егер қағаз бетін тербеліс жазықтығына перпендикуляр бағытқа қарай жылжытатын болсақ, онда алынған қисықтар қалың түрге ие болады. Суретте көрсетілгендей, қисық сызық жинақы болып шығуы үшін, қағаз беті бірқалыпты қозғалған.

Осы тәсілді қолданып, біз тербелістерді «таратқандай» әрекет жасадық.

Тербелістердің таралуы, берілген уақыт немесе басқа уақыт мезетіндегі маятник жүкшесінің қай жерде орналасқанын, және қай жаққа қарай қозғалғаын анықтау үшін қажет. Маятник, ортаңғы нүктемен салыстырғанда ең шеткі нүктеге, мысалға сол жақтағы, күйге келген кездегі қағаз беті 1см/с жылдамдықпен қозғалады деп елестетіп көріңіз. Біздің графикте бастапқы күй 1 санымен белгіленген нүктеге сәйкес келеді.

¼ периодтан кейін маятник ортаңғы нүктеден ауытқып кетеді. Осы уақыт мезетінде маятник жүкшесі шамасы ¼ Т болатын сантиметрге жылжиды-суреттегі 2-нүкте. Енді маятник оң жаққа қозғалады, соған сәйкес, бірдей уақыт аралығында қағаз беті де жылжиды. Маятник шеткі оң жақтағы нүктеге ауытқыған кезде, қағаз беті шамасы ½ Т болатын сантиметрге жылжиды-суреттегі 3-нүкте. Маятник қайтадан ортаңғы ніктеге келеді және ¾ Т периодтан кейін тепе-теңдік күйіне оралады- суреттегі 4-нүкте. 5 санымен белгіленген нүкте толық тербелісті аяқтайды, және қозғалыс әрбір Т секунд сайын немесе әрбір Т сантиметрден кейін, графикте көрсетілгендей қайталанып отырады.

Сонымен, графиктегі вертикаль сызық - тепе-теңдік күйден ауытқу шкаласы, орташа горизонталь сызық – бұл уақыт шкаласы.

Осы графиктен тербелістердің өшуін сипаттайтын екі шаманы оңай анықтауға болады. Период шамасы бірмәнді нүктелер арасындағы арақашықтық ретінде, мысалға жақын орналасқан екі төбешік арақашықтығының мәні ретінде анықталады. Сол сияқты тепе-теңдік күйден ең үлкен ауытқу нүктесінің мәнін бірден анықтауға болады. Бұл ауытқу тербеліс амплитудасы деп аталады.

Тербелістердің таралуы жоғарыда қойылған, берілген және басқа уақыт мезетінде тербеліп тұрған нүкте қай жерде орналасқан, деген сұраққа жауап береді. Мысалы, егер тербеліс периоды 5 с-қа тең болса, тербеліс нүктесі қай жерде орналасады,ал қозғалыс шеткі жағдайда сол жақтан басталды ма? Әрбір 3 секунд сайын тербеліс сол бір нүктеден басталады. Демек, 9 секундтан кейін дене сол жақтағы шеткі нүктеде орналасатын болады.

Графиктегі бірнеше периодқа созылған қисық сызықты қарастырып қажеті жоқ, - тек бір периодқа сәйкес келетін қисық сызық бейнеленген сызбаны қарастырсақ жеткілікті. Периоды 3 секундқа тең тербелген нүктенің 11 секундтан кейінгі жағдайы, 2 секунд өткеннен кейінгі нүктенің жағдайына сәйкес келеді. Сызбаны 2 сантиметрге созатын болсақ (біз қағаз бетін жылжыту жылдамдығы 1 см/с-қа тең, басқаша айтқанда, сызба масштабы 1 секундта 1 сантиметрге теңесетіндігіне келіскен болатынбыз), 11 секундтан кейін нүктенің тепе-теңдік күйден ең шеткі оң жақтағы нүктеге сәйкес келетіндігін көреміз. Осы мезеттегі ауытқу шамасын графиктен анықтаймыз.

Тепе-теңдік күйінің маңайында аз тербеліс жасайтын ауытқу нүктесін анықтау үшін, графикке жүгінудің қажеті жоқ. Теория, бұл жағдайда ауытқу шамасының уақыттан тәуелділік қисығы синусоиданы бейнелейтіндігін көрсетеді.

Егер де нүктенің ауытқуын у деп белгілесек, ал амплитуда мәнін ɑ шамасы арқылы, Т шамасы арқылы периодты белгілесек, онда ауытқу шамасы t уақыт өткеннен кейін тербеліс басталған кезде, мына формула арқылы анықталады:

y = ɑ ,

осындай заңмен орындалатын тербеліс гармоникалық тербеліс деп аталады. Синустың аргументі шамасының шамасына көбейтіндісіне тең. шамасы фаза деп аталынады.

Егер қолымызда тригонометриялық таблица, период шамасы, және амплитуда мәндері болса, онда ауытқу нүктесін және фаза шамасы көмегімен нүктенің қай жаққа қарай қозғалатынын оңай есептеп табуға болады.

Шеңбер бойымен қозғалатын жүкшенің көмегімен қабырғаға түсірілген көлеңкенің қозғалысын қарастыра отырып, тербелмелі қозғалыстың формуласын оңай қорытып шығаруға болады (4.4-сурет).

Көлеңкенің ауытқуын біз орташа жаңдайда қарастыратын боламыз. Шеткі жағдайларда у ауытқуы ɑ шеңбер радиусының мәнімен теңеседі. Бұл көлеңкенің тербеліс амплитудасы.

Егер ортаңғы жағдайдан жүкше бұрышпен өтетін болса, онда оның көлеңкесі ортаңғы нүктеден ɑ шамасына жылжиды.

Жүкшенің қозғалыс периоды (көлеңкенің тербеліс периоды) Т болсын; бұл радианды, жүкше Т уақытта жүріп өтеді дегенді білдіреді. Мынадай қатынас құруға болады , мұндағы t- бұрышқа бұрылуға кеткен уақыт.

Сонымен, және y = ɑ екендігі келіп шығады. Біз осы формулаларды дәлелдеп көрсетпек едік.

Тербеліс нүктесінің жылдамдығы синустар заңына сәйкес өзгереді. Осындай қорытындыға, шеңберді сипаттайтын жүкше көлеңкесінің қарастыру кезінде келуге болады. Осы жукшенің жылдамдығы ϑ₀ тұрақты шамасының векторымен сипатталады. Осы жылдамдық векторы жүкшемен біге қозғалады. Көлеңке түсіруге бейім жылдамдық векторын материалдық стрелка ретінде ойша елестетіп көрейік. Жүкшенің шеткі жағдайында, вектор сәуле бойында жатады және бұл жағдайда көлеңке түспейді.

Жүкше шеткі жағдайдан шеңбер бойымен бұрышқа өтетін болса, онда жылдадық векторы дәл сол бұрышқа бұрылады және оның проекциясы ϑ₀ . Осы қарастырған жағдайларға сәйкес, бұрынғыша, , демек, тербеліп тұрған дененің сол мезеттегі жылдамдық шамасы:

ϑ = ϑ₀ ,

Ауытқудың мәнін табудағы формулада уақыт шамасын ортаңғы жағдайда өлшенетіндігіне, ал жылдамдық үшін жазылған формулада-шеткі жағдайларды жүргізілетіндігіне назар аударуымыз керек. Маятниктің ауытқу шамасы жүкше ортаңғы нүктеде тұратын болса нөлге тең болады, ал тербеліс жылдамдығы-шеткі жағдайда нөлге тең.

ϑ₀ тербеліс жылдамдығының амплитудасы (кейде жылдамдықтың амплитудалық шамасы деп аталады) және ауытқу кезіндегі амплитуданың арасында қарапайым байланыс бар: ұзындығы бар шеңберді жүкше Т тербеліс периодына тең уақытта бейнелейді. Осыдан:

ϑ₀ = және ϑ =