Описание алгоритма Венгерского метода

Предварительный этап. В каждом из столбцов матрицы транспортных издержек отыскивают минимальный элемент, который вычитают из всех элементов этого столбца. Получают матрицу С '. Далее в каждой строке матрицы С ' выбирают минимальный элемент и вычитают его из всех элементов рассматриваемой строки. Приходят к матрице С ₀ (С ₀ ~ C), все элементы которой неотрицательны, причем в каждой строке и столбце С ₀ имеем по крайней мере, один нуль. Строят матрицу Х ₀ так, чтобы ее ненулевые элементы были расположены в позициях нулей матрицы С ₀.

Пусть - номер строки, в которой расположен k-й нуль j- го столбца матрицы С ₀. Тогда элементы первого столбца матрицы Х ₀ определяют по рекуррентной формуле

(3.3.4)

Т.е. все элементы первого столбца , которым соответствуют ненулевые элементы в матрицы С ₀, заполняют нулями, а остальные элементы этого столбца заполняют по методу северо-западного угла.

Допустим, что столбцы Х ₀ от первого до (j -1) -го включительно уже заполнены. Тогда элементы j-го столбца определяют в соответствии с формулой

(3.3.5)

Если , то Х ₀ - оптимальный план Т-задачи. Если , то переходим к первой итерации.

(k +1) - я итерация. Каждая итерация состоит из двух или трех этапов. Итерация начинается первым этапом, а заканчивается вторым. Между первым и вторым этапами в общем случае несколько раз могут быть проведены третий и первый этапы.

Допустим, что уже проведено k итераций, причем . В этом случае необходимо, используя матрицы С _k и Х _k, провести следующую (k +1) - ю итерацию. Перед началом итерации выделяют знаком '+' те столбцы матрицы С _k, для которых невязки по столбцам равны

.

Первый этап. Если все ненулевые элементы матрицы С _k окажутся в выделенных столбцах, то переходят к третьему этапу. В противном случае пусть некоторый невыделенный нуль находится в -й строке и в -м столбце. Тогда вычисляют значения невязки -й строки:

.

Возможен один из двух случаев: 1) , 2) . В первом случае -ю строку С _k отмечают знаком '+' справа от нее, а сам невыделенный нуль отмечают штрихом. Далее просматривают элементы -й строки, которые лежат в выделенных столбцах и ищут среди них существенные нули (напомним, что существенным нулем С _k называется такой элемент , для которого ). Если таким существенным нулем оказался элемент , а сам столбец m - выделен, то знак выделения '+' над столбцом m уничтожают, а сам этот нуль отмечают звездочкой.

Затем просматривают m -й столбец и отыскивают в нем нуль (нули), расположенные в отличных от -й строках. Если такой нуль имеется, то отмечают его штрихом и анализируют невязку его строки.

Далее процесс поиска нулей и выделение их (штрихами или звездочками) продолжается аналогично, и за несколько шагов он заканчивается одним из следующих исходов:

1) найдем очередной невыделенный нуль матрицы С _k, для которого невязкая в строке . Тогда отметив его штрихом, переходим ко второму этапу;

2) все нули матрицы С _k оказались выделенными, причем для каждого из нулей, выделяемых штрихом, невязка . Тогда переходим к третьему этапу.

Во втором случае, отметив этот нуль штрихом, сразу переходим к третьему этапу.

Второй этап. Состоит в построении цепочки из нулей матрицы С _k, отмеченных штрихами и звездочками, и в последующем переходе к новой матрице Х _{k+ 1}

Пусть для некоторого нуля со штрихом матрицы С _k, расположенного, например, в позиции ( ), невязка строки . Начиная с этого элемента , строят цепочку из отмеченных нулей матрицы С _k: двигаясь по столбцу , выбирают нуль со звездочкой , далее двигаясь от него по строке , находят нуль со штрихом . Потом движутся от него по столбцу m₂ к следующему нулю со звездочкой и т.д.. Такой последовательный переход от 0' к 0^* по столбцу и от 0^* к 0' по строке осуществляют до тех пор, пока это возможно.

Можно доказать, что процесс построения цепочки однозначный и законченный, цепочка не имеет циклов, начинается и заканчивается нулем со штрихом.

После того как цепочка вида

построена, осуществляют переход к матрице от матрицы Х _k по формулам

(3.3.7)

где (3.3.8)

Таким образом, -минимальный элемент среди совокупности четных элементов цепочки, невязки строки, где начинается цепочка, и столбца, где она заканчивается.

Вычисляем невязку для

На этом (k +1)-я итерация заканчивается.

Третий этап. Итак, допустим, что все нули выделены. Третий этап заключается в переходе от матрицы С _k к эквивалентной матрице С′ _k, в которой появляется новый невыделенный нуль (или нули). Пусть , где минимум выбирают из всех невыделенных элементов матрицы С _k. Тогда из всех элементов невыделенных строк матрицы С _k вычитают h, а ко всем элементам выделенных столбцов прибавляют h. В результате получают матрицу С ' _k (С ' _k ~ C _k), в которой все существенные нули матрицы С _k остаются нулями, и кроме того, появляются новые невыделенные нули.

Далее переходят к первому этапу, и в зависимости от его результата либо переходят ко второму этапу, либо снова возвращаются к третьему этапу. За конечное число повторов пары этапов третий - первый обязательно перейдем ко второму этапу.

Если после выполнения второго этапа то Х _{k +1} - оптимальный план. В противном случае переходим к (k +2) итерации.

Отметим некоторые важные особенности венгерского метода.

Поскольку данный метод в отличие от метода потенциалов не использует опорных планов, то явление вырожденности плана для него отсутствует. Это устраняет возможность зацикливания, связанного с вырожденностью планов Т-задачи, которая облегчает программирование метода и его реализацию на ЭВМ.

Метод позволяет на каждой итерации по величине невязки оценить близость Х _k к оптимальному плану, а также верхнюю границу необходимого числа оставшихся итераций N_ост:

. (3.3.9)

Эта формула справедлива для целочисленных значений всех переменных и .