Формализация экономической проблемы и ее математическая запись.

Лекция №3. Основы оптимизационного моделирования.

1. Понятие модели оптимизации.

2. Основные элементы оптимизационной экономико-математической модели.

3. Этапы экономико-математического моделирования.

1.

Линейная оптимизационная модель общего вида была сформулирована и исследована Л. В. Канторовичем. Она получила название основной задачи производственного планирования. Элементы такой модели рассмотрим в следующем вопросе.

Оптимизационная модель – экономико-математическая модель, которая охватывает некоторое число вариантов производства, распределения или потребления и предназначена для выбора таких значений переменных, характеризующих эти варианты, чтобы был найден лучший из них. Кроме системы ограничений включает критерий для выбора, особое уравнение, называемое целевой функцией. С помощью такого критерия находят решение, наилучшее по какому-либо показателю, напр. минимум затрат на материалы при заданном объеме продукции или, максимум прибыли при заданных ограничениях по ресурсам и т. д.

Оптимизационная модель - основной инструмент экономико-математических методов. Оптимизационные модели разного характера часто сводятся к задачам линейного программирования.

При использовании оптимизационных моделей в планировании обычно не ограничиваются расчетом только одного оптимального варианта. Необходимо анализировать, какие изменения произойдут в оптимальном плане, если будут изменяться исходные данные.

ЭММ оптимизации содержит одну целевую функцию, в которой показательной является эффективность производства, и систему ограничений, куда входят факторы, в области которых модель не теряет своей практической ценности.

2.

В зависимости от характера моделируемого объекта или процесса структура экономико-математических моделей может быть различной. Однако имеются общие элементы, которые можно выделить.

Базовая модель включает следующие элементы:

1. Переменные величины – неизвестные, значения которых должны определиться в результате решения экономико-математической задачи. Обозначается строчной или заглавной латинской буквой Х. Каждая переменная вводится в модель с соответствующим подстрочным порядковым номером – 1,2,3…, n. Переменные могут быть основными и вспомогательными.

Основные переменные обозначают те величины, которые определяют основное содержание моделируемого объекта (процесса) в каждом конкретном случае, виды (или способы) деятельности, размеры которых необходимо определить (сельскохозяйственные угодья и культура, виды животных, сельскохозяйственную технику, виды кормов и удобрений и т.д.).

Вспомогательные переменные привлекают для облегчения математической формулировки условий, определения расчетных величин (объемов производства, показателей эффективности производства и т.д.).

Для каждой переменной устанавливают конкретную единицу измерения. При этом целесообразно выбирать одинаковые единицы измерения по однотипным группам переменных. Единицы измерения не должны затруднять анализ полученного решения и вызывать дополнительные расчеты.

2. Технико-экономические коэффициенты и нормативы, необходимые для отображения закономерных взаимосвязей ресурсов с выходными показателями. Технико-экономические коэффициенты представляют собой основную часть входной информации, которая поступает в модель (например, урожайность культур). Коэффициенты можно подразделить на 3 группы:

1) удельные нормативы затрат и выхода продукции:

а_ij – затраты труда на 1 га, 1 гол и т.д.

v_ij – урожайность культур, продуктивность животных и т.д.

2) коэффициенты пропорциональности это коэффициенты в тех ограничениях, которые предусматривают определенные пропорции между переменными. W_ij – соотношение между кормами в кормовом рационе.

3) коэффициенты связи используются при матричной записи модели и отражают связь между значениями переменной и константой, как правило, равны 1 и обозначаются λ_ij.

i – номер ограничения; j – номер переменной.

3. Ограничения – условия, описывающие характер и логику взаимосвязей в модели. Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств и определяет область допустимых значений переменных. Размерность величин каждого ограничения определяется размерностью его правой части. Правая часть ограничения называется константой или объемным показателем ограничения и обозначается b. По своей роли в модели ограничения подразделяются на основные, дополнительные и вспомогательные.

Основные ограничения выражают главные, наиболее существенные условия задачи. Они накладываются на все или большинство переменных модели (это ограничения по использованию производственных ресурсов: земли, техники, удобрений, кормов, трудовых и денежных ресурсов).

Дополнительные ограничения обычно формулируются в виде неравенств и накладываются на отдельные переменные (это условия, ограничивающие сверху и снизу потребление животными отдельных групп кормов, удельный вес культур в полях севооборота и т.д.).

Вспомогательные ограничения вводят для облегчения разработки числовой экономико-математической модели и обеспечения правильной формулировки экономических требований. С их помощью могут быть записаны условия пропорциональной связи между переменными или их группами.

4. Критерии оптимальности – показатель, определяющий качество функционирования исследуемой системы. Экстремальное значение критерия оптимальности характеризует предельно достижимую эффективность моделируемого объекта или процесса. В качестве критерия оптимальности выбирается показатель, характеризующий один из аспектов функционирования системы (например, такой экономический показатель, как прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Он должен быть обоснован теоретически, и иметь количественный характер. Выделяются следующие типы критериев оптимальности:

1) глобальный или локальный;

2) натуральный или стоимостной;

3) максимизирующий или минимизирующий.

Математической формой критерия оптимальности в экономико-математических моделях является целевая функция.

Целевая функция – математическая формула, которая связывает между собой различные величины модели и определяет числовое значение критерия оптимальности. Оно, как правило, исчисляется как сумма произведений коэффициентов целевой функции и значений переменных.

n

Z (max, min) = S С_j Х_j ;

j=1

где Z – минимальное или максимальное значение целевой функции, т.е. критерий оптимальности;

n – количество переменных;

j – порядковый номер переменной, который изменяется в диапазоне от 1 до n. (j=1,2,... n);

C_j – коэффициент (оценка) целевой функции в расчете на единицу j-й переменной;

Xj – переменная величина.

Если критерий оптимальности представлен дробным показателем, например: окупаемость затрат, то

n

S Сj Хj

j=1

Z (max) = ¾¾¾¾¾.

n

S С¢j Хj

j=1

Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.

Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически. Необходимо определить систему переменных величин. Рассчитать нужные технико-экономические коэффициенты и собрать соответствующие нормативные данные. Все условия задачи записать в виде уравнений или неравенств. Обосновать критерии оптимальности и выразить его математической формулой.

3.

Как правило, выделяется шесть этапов:

· постановка экономиче­ской проблемы (задачи), ее качественный анализ и обоснование критерия оптимальности;

· формализация экономической проблемы и ее математическая запись;

· подго­товка исходной информации и технико-экономических коэффициентов;

· построение мате­матической модели;

· создание расчетной компьютерной модели и ее решение;

· анализ результатов решения и их практическое применение.

Рассмотрим каж­дый из этапов более подробно.

1. Постановка экономиче­ской проблемы (задачи), ее качественный анализ и обоснование критерия оптимальности.

На этом этапе требуется четко сформулировать сущность проблемы. Необходимо выделить важнейшие черты и свой­ства моделируемого объекта (процесса), изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, сформулировать предварительные гипотезы поведения и развития объекта (процесса).

Постановка задачи предполагает четкую экономическую формулировку. Включает цель решения (критерии оптимальности), установление планового периода, выяснение известных параметров моделируемого объекта и переменных, количественное значение которых необходимо определить, их производственно-экономические связи, а также множество факторов и условий, отражающих моделируемый процесс.

Выбор критерия оптимальности должен быть обоснован и аргументирован, соответствовать потребности практического планирования и экономической сущности решаемой задачи.

Методологической основой этого этапа является системный анализ, т.е. рассмотрение объекта (процесса) как целостной системы, отдельные элементы которой определенным образом взаимосвязаны между собой, а все вместе взаимодействуют с внешним окружением.

Формализация экономической проблемы и ее математическая запись.

Формали­зации экономической проблемы означает выражение ее в виде конкретных математических зависимостей (функ­ций, уравнений, неравенств и др.). На данном этапе осуществляется выбор типа базовой экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче. После чего уточняются конкретный перечень переменных, параметров и форма связей. Перечень переменных должен отражать основное содержание моделируемого объекта (процесса). Количество переменных зависит от того, насколько подробно в модели должны быть представлены признаки моделируемого процесса (например, виды продукции, направления ее использования). После уточнения переменных приступают к математической записи условий задачи, при этомприменяют различные обозначения и символы. Системные взаимосвязи моделируемого объекта (процесса) трансформируются в систему ограничений и должны полностью отражаться в них. Они записываются тремя типами линейных соотношений: меньше или равно, больше или равно, равно. Критерий оптимальности выражается через целевую функцию.

3. Подго­товка исходной информации и технико-экономических коэффициентов

На третьем этапе производиться сбор входной информации для построения модели. В зависимости от поставленной задачи и исследуемого объекта (процесса), необходимо определить характер и объем информации, источники ее сбора и методы обработки. При экономико-математическом моделировании производственно-экономических процессов в сельском хозяйстве источниками информации служат: годовые отчеты, бизнес-планы данные первичного учета с\х предприятий, технологические карты по возделыванию и уборке с\х культур и выращиванию животных, а также различные нормативные справочники. При подготовке информации использу­ются методы теории вероятностей, теоретической и ма­тематической статистики и т.д.

Целью переработки исходной информации является разработка системы технико-экономических характеристик объекта (процесса). Для модели они формируются в виде технико-экономических коэффициентов, коэффициентов целевой функции и объемных показателей ресурсов и продукции.

4. Построение мате­матической модели

Для построения модели целесообразно вначале записать все ограничения в виде системы линейных уравнений и неравенств, где все обозначения и символы структурной модели следует заменить соответствующими рассчитанными технико-экономическими коэффициентами и константами. Далее надлежит поострить таблицу – матрицу экономико-математической модели. По столбцам матрицы помещаются технико-экономические коэффициенты, относящиеся к конкретным переменным, по строкам ставятся коэффициенты, относящиеся к определенным ограничениям. Также имеется строка целевой функции. Чаще всего исчисляется как сумма произведений коэффициентов целевой функции и значений переменных. В матрице также имеются два столбца: в одном указывается тип ограничений, в другом объем, т.е. постоянная величина для конкретной модели и имеет разный экономический смысл (объем ресурса, количество тракторов и т.д.).