Аксиомы статики и их следствия.

В аксиомах статики формулируются те простейшие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело, или силы, приложенные к взаимодействующим телам.

Эти законы установлены многочисленными непосредственными наблюдениями, а также опытной проверкой следствий, логически вытекающих из этих аксиом.

Как следует из второго закона Ньютона, тело под действием одной силы, приобретает ускорение и, следовательно, оно не может находиться в покое. Это означает, что одна сила не может составлять уравновешенную систему сил. Первая аксиома устанавливает условия, при выполнении которых простейшая система сил будет уравновешена.

АКСИОМА 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в начальный момент находится в покое, то состояние покоя сохраняется.

При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенные к концам жестких стержней, весом которых можно пренебречь. Причем известно, что стержни находятся в равновесии. Из аксиом следует, что действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой, проходящей через конец стержня, противоположны по направлению и равны друг другу по модулю.

Следующие две аксиомы устанавливают простейшие действия с силами, при которых состояние тела не изменяется.

АКСИОМА 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, действующих по одной прямой и направленных в разные стороны.

Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.

Приложим в точке В уравновешенные силы , . = .

A

A

A

Тогда согласно аксиоме 2: (, , )

(, , ) , т. е. ,

Это говорит о том, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор.

Конечно, обе аксиомы и следствие нельзя применять к деформируемым телам.

АКСИОМА 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной к ой же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма).

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: 1) две силы и (рис.) приложены к одной точке и имеют равнодействующую, т. е. эквивалентны одной силе (, ) ;

 

2) аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы .

Следствие аксиомы 3:

1.Равнодействующая уравновешенной системы сил равна 0.

Док-во:

(, )- уравновешенная система

+ = =0

2. При равновесии свободного АТТ под действием системы сходящихся сил равнодействующая этих сил должна быть равна 0.

Док-во:

, ,… - система сходящихся сил.

Перенесем каждую силу по линии действия в точку О.

На основании аксиомы 3 сложим все силы.

В результате получим одну силу , то тело будет находиться в ускоренном движении.

Если , то тело находится в равновесии:

3. Любую систему можно разложить на 2 составляющие компонента, произвольно ориентированных в пространстве.

Разложение вектора на составляющие - операция не однозначная. При решении задач силу обычно разлагают на 3 составляющие, путем проектирования на оси прямоугольной системы координат.

Теорема о трех непараллельных силах.

Если под действием трех сил, тело находится в равновесии, и линия действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Пусть на тело действует система трех сил , и , причем линии действия сил и пересекаются в точке А.

Согласно следствию из аксиомы 2 силы и можно перенести в точку А, а по аксиоме 3 их можно заменить одной силой , причем . Т.о. рассматриваемая система сил приведена к двум силам и .

По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме 1 силы , должны иметь общую линию действия, но тогда линии действия трех сил должны пересекаться в одной точке.