Складними судженнями називають судження, які складаються з двох або більше простих.

Позначимо прості судження, які входять до складу складних, великими буквами латинського алфавіту:

A, B, C, D і т. д.

Для позначення логічних сполучників скористаємося спеціальними знаками. Ми будемо використовувати одну із систем цих знаків, але в дужках подаємо й інші, які найчастіше зустрічаються в літературі:

& (⋀) – кон’юнкція, сполучник „і”

⋁ – диз’юнкція, сполучник „або”

⊽ – строга диз’юнкція

É (⇒,→) – імплікація, сполучник „якщо, то”.

∼ (≡,↔,⇔) – еквіваленція, „якщо і тільки якщо”

– заперечення

Складні судження, утворені за допомогою кон'юнкції, називають поєднувальними, ті, які утворені за допомогою диз’юнкції – розділовими, а судження, утворені за допомогою імплікації та еквіваленції, називаються умовними.

Візьмемо кілька прикладів. Скажімо, вчителька географії в школі запронувала учням такий тест:

В кожному з рядочків названо по два міста.

Вибрати ті рядочки, в яких перше і друге міста є містами Сполучених Штатів Америки:

1) Чікаго, Сіетл;

2) Атланта, Житомир;

3) Воронеж, Піттсбург;

4) Жмеринка, Берлін.

Після цього вчителька запропонувала учням з тих же пар міст вибрати ті, в яких або одне, або інше місто було би містом Сполучених Штатів.

Звичайно, що в першому випадку учні вибрали би тільки першу пару міст, а в відповіді на друге питання вони підкреслять варіанти 1), 2), 3).

Пари міст залишалися такими ж, але відповіді були різні. Причина в тому, що в питаннях вживалися два різних сполучники: в першому випадку „і”, в другому „або”.

Побудуємо таблички значень логічних сполучників для кожного з цих прикладів:

Для кон’юнкції (сполучник „і”) ці значення будуть такі:

Тобто кон’юнктивне складне судження буде істинним тільки в одному випадку – коли обидва простих судження, які входять до його складу, будуть істинним. В нашому прикладі це значило, що і одне місто, і інше мали бути містами США. Тому правильна була відповідь тільки за першим варіантом: Чікаго, Сіетл. Всі інші варіанти цій вимозі не відповідали, отже були хибними.

Зовсім інша річ виходить, коли питання було сформульоване за допомогою сполучника „або”. Тепер правильними будуть будь-які варіанти відповідей, за винятком одного – четвертого, в якому названі міста, ні одне з яких не є містом США.

Таким чином, розділове судження в нашому прикладі виявляється істинним, якщо хоча б одна з альтернатив (частини розділового судження називаються альтернативами) буде істинною.

Відповідно, хибним буде тільки те диз’єюнктивне судження, в якому всі альтернативи хибні. Але це стосується тільки одного типу диз’юнктивних суджень. А сполучник „або” має не одне, а два значення.

Візьмемо два приклади:

1. Марії подобається Іван або Степан.

2. Марія виходить заміж за Івана або за Степана.

В цих на перший погляд подібних судженнях значення сполучника або будуть суттєво відрізнятися. Марії цілком може подобатися як Іван, так Степан, так і обидва одночасно. А от виходити заміж вона може тільки за одного з них.

В першому прикладі ми маємо справу зі звичайною диз’юнкцією. Сполучник „або” тут має поєднувально-розділове значення. Розділове судження утворене за допомогою звичайної диз’юнкції буде істинним в будь-якому випадку, крім того, коли обидві альтернативи хибні (див. таблицю на мал. 16).

В другому прикладі, в якому мова йшла про заміжжя, сполучник „або” має строго розділове значення. Складне судження, утворене за допомогою такого сполучника, буде істинним тільки тоді, коли альтернативи, які входять до його складу, будуть мати різне значення. Якщо обидві альтернативи істинні, то розділове судженя, утворене за допомогою строгої диз’юнкції, буде хибним

Умовне (імплікативне) судження виражає зв’язок між причиною та наслідком.

Частина умовного судження, в якій йдеться про причину, називається основою або антецедентом.

Судження, яке виражає наслідок, що витікає з вказаної в судженні причини, називається консеквентом, або ж просто наслідком. Можливі Варіанти:

1. Якщо і основа і наслідок умовного судження істинні, то таке судження теж буде істинним.

2. Якщо основа істинная, а наслідок хибним, то таке умовне судження буде хибним, бо з істини має випливати істина.

3. Якщо і основа і наслідок хибні, то таке умовне судження буде істинним, оскільки з хиби і має випливати хиба.

4. Дуже цікавим є випадок, коли основа імплікативного судження хибна, а наслідок істинний. Якщо підійти формально, то таке судження має бути визнаним хибним, адже з хиби має слідувати хиба, а тут з хиби слідує істина.

Некоректним є таке судження і з точки зору закону виключеного третього: не можуть бути одночасно істинними два судження, якщо в одному з них із хиби випливає хиба, а в іншому – істина. Але, не зважаючи на все це, умовне судження, в якому основа хибна, а наслідок істинний, все ж вважається істинним.

Формальна логіка в цьому випадку змушена визнати, що дійсним критерієм істинності чи хибності суджень є тільки практика. На практиці ж люди, одержавши істинний висновок, не зважають на те, чи були істинними ті судження, з яких він випливає. Дуже показовим в цьому плані є історія з винайденням повітряної кулі. Її винахідники, брати Монгольф’є, за переказом, мислили наступним чином:

-- Духи, -- говорили вони, -- легші за повітря, оскільки завжди піднімаються вгору. Якщо наповнити духами зшиту з непроникної для газів матерії кулю, то при певному співвідношенні об’єму кулі, та її маси разом з вантажем, вона має піднятися в повітря. „Рослинні духи” брати добували шляхом спалювання соломи, а „тваринні духи” – спалюючи кізяки. Наповнивши цими „духами” кулю, вони добилися того, що вона полетіла. Через певний час людство здогадалося, що в міркуваннях братів була помилка. Що насправді куля наповнювалася не духами, а теплим повітрям, яке, як відомо, легше за повітря холодне. Але, погодьтеся, було б дивно якби люди на цій основі відмовилися від користування повітряною кулею.