Теорiя похибок наближених обчислень

При вивченнi даного роздiлу треба пам'ятати, що похибка, яка виникає при наближеному розв'язаннi задачi з допомогою ЕОМ, обумовлена наступними причинами.

1. Неточностями у вхiдних даних (коефiцiєнтів рiвнянь, правих частин, початкових даних та iн.).

2. Похибкою, що обумовлена замiною початкової задачi на деяку iншу, яка в певному розумiннi наближає дану.

3. В результатi округлення при вводi, виводi, виконаннi арифметичних операцiй.

Цi похибки називаються вiдповiдно неусувною похибкою, похибкою методу, обчислювальною похибкою або похибкою округлення.

Розглянемо кожну iз них та способи їх оцiнок бiльш детально.

Неусувна похибка або похибка вимiрювання називається так, оскiльки нiякими хитрощами ми не зможемо усунути її впливу на розв'язок. Виникає питання: а чи варто її тодi вивчати? Виявляється, що треба, оскiльки необхiдно оцiнити, наскiльки сильно вплине похибка в початкових даних на остаточний результат. Можна видiлити два класи задач за їх реакцiєю на малi коливання даних.

Перший характеризується малими вiдхиленнями розв'язку, другий --- великими вiдхиленнями при малих вiдхиленнях у початкових даних.

Такi задачi називаються вiдповiдно, стiйкими та нестiйкими. Бiльш точно задача називається коректною (коректно поставленою), якщо:

а) для будь--яких вхiдних даних iснує єдиний розв'язок ;

б) отриманий розв'язок стiйкий за початковими даними, тобто розв'язок задачi задовольняє нерiвностi . Тут --- точне значення фiзичного параметра, --- розв'язок математичної моделi. Некоректнiсть задачi може статися в результатi неправильної постановки (перевизначенi початковi або крайовi умови i тодi необхiдно змiнити постановку). Але є ряд важливих науково--технiчних задач, якi некоректнi по сутi. Наприклад, задача геофiзичної розвiдки. Щоб позбутися сильного впливу неусувної похибки на остаточний результат, треба застосовувати спецiальнi методи їх розв'язання.

Похибка методу обумовлена замiною початкової задачi на iншу, наближену до неї, розв'язати яку значно легше. Наприклад, при розв'язаннi диференцiальних рiвнянь наближено замiняють їх системою алгебраїчних рiвнянь.

Обчислювальна похибка обумовлена необхiднiстю округлювати вхiднi данi i результати обчислювання, оскiльки ЕОМ оперує з числами з скiнченною кiлькiстю знакiв. Будь--який алгоритм виражається через елементарнi операцiї . Якщо позначити через будь--яку з цих операцiй, то насправдi в ЕОМ виконуються деякi наближенi операцiї: , якi супроводжуються похибкою округлення. При цьому для операцiй можуть не виконуватися вiдомi закони арифметики, зокрема асоцiативнi, тобто при реалiзацiї алгоритму на ЕОМ може мати значення порядок виконання операцiй.

Похибку метода доцільно обирати таким чином, щоб вона була в 2-5 разів менша неусувної похибки. Більша похибка метода понищує точність відповіді, а значно менша -- незручна, бо для її досягнення значно збільшується об'єм обчислень. При будь-яких розрахунках справедливе правило: треба утримувати стільки значущих цифр, щоб похибка заокруглення була істотно менша за всі останні похибки. Для цього можна проводити обчислення з подвійною або потрійною точністю. Якщо --- точне значення фiзичного параметра, --- розв'язок математичної моделi, то --- неусувна похибка. --- похибка метода.

Розв'язок , одержаний у результатi реалiзацiї алгоритму на ЕОМ, задовльняє рiвнянню .

Рiзниця --- похибка округлення.

Абсолютна та вiдносна похибки. Якщо --- точне значення, -- вiдоме наближення до , то величину , про яку вiдомо, що , називають граничною абсолютною похибкою .

Вiдносною граничною похибкою називають число , яке задовольняє нерiвнiсть .

Вiдносну похибку часто вимiряють у вiдсотках.

Похибки часто використовують для наступної форми запису числа по i або :