Завдання на самостійну роботу

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. В. Даля

 

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять і самостійної роботи

З дисципліни

«Рівняння математичної фізики»

Для студентів 4 курсу

напрямку «Прикладна математика»

(денної та заочної форм навчання)

(електронне видання)

 

 

З А Т В Е Р Д Ж Е Н О

на засіданні кафедри

„Прикладна

математика”

Протокол № 7

від 13.02.2013 р.

 

ЛУГАНСЬК СНУ ім. В.Даля 2013

Практичні заняття 1-3.

Тема: Диференціальні рівняння математичної фізики.

 

Стислий зміст: Класифікація диференціальних рівнянь другого порядку з частими похідними.

 

Мета і задачі: Ознайомлення з трьома типами диференціальних рівнянь: гіперболічний, еліптичний та параболічний типи.

 

Диференціальні рівняння математичної фізики – це конкретні рівняння в частинних похідних, що зустрічаються при розв’язанні деяких фізичних задач. Будь-яку задачу математичної фізики можна розглядати як задачу розв’язання деякого диференціального рівняння з частинними похідними при певних додаткових умовах.

Диференціальним рівнянням з частинними похідними від невідомої функції називається рівняння -го порядку, якщо воно містить хоча б одну похідну -го порядку і не містить похідних вищого порядку.

Ми будемо вивчати диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку і однією невідомою функцією.

Рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції та її похідних.

Рівняння з частинними похідними називається квазілінійним, якщо воно лінійне відносно всіх похідних вищих порядків від невідомої функції.

Наприклад,

 

- лінійне рівняння,

 

- квазілінійне рівняння другого порядку щодо функції ,

 

- нелінійне рівняння.

 

Рівняння

 

, (1)

 

є рівнянням гіперболічного типу, якщо , параболічного типу, якщо , рівнянням еліптичного типу, якщо . Щоб звести (1) до канонічного вигляду, треба скласти рівняння характеристик

 

,

знайти загальні інтеграли останнього рівняння. І ввести нові нєзалежні змінні в рівнянні (1).

 

Приклад 1. Звести до канонічного вигляду рівняння

 

.

 

Оскільки , то рівняння скрізь гіперболічного типу, крім осей координат, які є лініями параболічності. Його можна звести до канонічного вигляду в кожному з координатних кутів. Рівняння характеристик має такі два загальні інтеграли: , . Отже, треба ввести нові змінні , .

Обчислимо частинні похідні:

 

,

 

 

 

 

Підставимо значення цих частинних похідних у рівняння

 

.

 

Остаточно дістаємо .

Приклад 2. Звести до канонічного вигляду рівняння

 

.

 

У даному разі , отже, рівняння є рівнянням параболічного типу. Запишемо рівняння характеристик

 

,

 

його загальний інтеграл . Маємо одну сім’ю дійсних характеристик. Покладемо . За візьмемо довільну двічі неперервно диференційовну функцію, але таку, щоб якобіан перетворення в області, де зводимо рівняння до канонічного вигляду. Візьмемо . Частинні похідні в нових змінних мають вигляд

 

,

 

,

 

 

 

,

 

.

 

Підставляємо їх у рівняння і дістаємо остаточну відповідь

 

.

Приклад 3. Звести до канонічного вигляду рівняння

 

.

 

Тут . Рівняння є рівнянням еліптичного типу. Маємо таке рівняння характеристик:

 

.

 

Розв’язуємо його: , звідси .

Введемо заміну змінних , . Підставляємо в рівняння частинні похідні

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Після спрощення дістаємо

 

.

 

Приклад 4. Звести до канонічного вигляду рівняння Трікомі

 

.

 

У даному разі . При рівняння є рівнянням параболічного типу. Задана початкова форма вже є канонічною. Маємо таке рівняння характеристик:

 

.

 

При рівняння є еліптичним. З рівняння характеристик дістаємо , звідки . Заміною , дістаємо такий канонічний вигляд рівняння Трікомі в області еліптичності:

 

.

 

При рівняння є гіперболічним. Рівняння характеристик розпадається на два рівняння , звідки , . Заміною , надамо рівнянню такого канонічного вигляду в області гіперболічності

 

.

 

Приклад 5. Звести до канонічного вигляду рівняння

 

.

 

Маємо рівняння із сталими коефіцієнтами для функції від трьох незалежних змінних. Початковому рівнянню поставимо у відповідність квадратичну форму

 

.

 

Щоб знайти перетворення, яке звело б початкове рівняння до канонічного вигляду, треба спочатку знайти перетворення, яке зводить до канонічного вигляду відповідну канонічну форму.

Введемо такі позначення:

 

, , .

 

Звідси , , .

Отже, матриця переходу від нових змінних до старих в канонічній формі має вигляд

 

.

 

Тепер матрицю шуканого перетворення дістаємо із матриці транспонуванням

 

.

 

У початковому рівнянні переходимо до нових незалежних змінних за формулами , , .

Частинні похідні у нових змінних мають вигляд

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Підставимо їх у рівняння, після зведення подібних членів дістаємо шуканий канонічний вигляд

 

.

 

Приклад 6. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Спочатку зводимо рівняння до канонічного вигляду .

Рівняння характеристик має вигляд , . Вводимо заміну , . Після спрощень дістаємо .

Введемо позначення , тоді останнє рівняння має вигляд , де - параметр цього рівняння.

Проінтегруємо ці рівняння

 

, , .

 

Згадавши позначення , маємо .

Інтегруємо знову:

 

,

 

- довільні функції. Повернувшись до старих змінних і , дістаємо загальний розв’язок початкового рівняння

 

.

 

Приклад 7. Знайти загальний розв’язок рівняння

 

.

 

Виконавши заміну змінних , (дивись приклад 1), дістаємо канонічний вигляд початкового рівняння .

Запровадимо нову функцію . Це рівняння можна розглядати як звичайне диференціальне рівняння з незалежною змінною , оскільки входить сюди як параметр.

Отже,

 

, ,

 

де - довільна функція. Маємо . З другого боку, . Тепер вважаємо незалежною змінною, а параметр. Проінтегруємо по : , - довільна функція. Остаточно маємо

 

,

 

тут .

Контрольні питання:

1. Евклідова метрика в .

2. Околиця деякої крапці в .

3. Відкриті та замкнуті множники в .

4. Критерій Коши повноти в .

5. Компакти в .

6. Лема Лєбєга.

7. Подобласті в .

8. Класи , .

9. Кусочно-неперервні функції в .

10. Поверхні класу .

11. Квазилінійні диференціальні рівняння другого порядку.

12. Невироджені перетворення змінних в .

13. Інваріанти квадратичних форм як основа класифікації диференціальних рівнянь.

Практичні заняття 4-5.

Тема: Постановка задач математичної фізики.

 

Стислий зміст: Моделювання задач математичної фізики: початкові та граничні умови.

 

Мета і задачі: Ознайомлення з трьома типами крайових задач математичної фізики.

 

Поставити крайову задачу, що відповідає розглядуваному фізичному процесові, означає.

1. Вибрати вдало функцію (величину), яка характеризувала б даний фізичний процес (при цьому реальний фізичний процес замінюють деяким ідеальним процесом, але так, щоб зберігались основні властивості реального процесу), вибрати систему координат в залежності всіх умов задачі, але так, щоб шукана функція залежала від мінімальної кількості змінних;

2. Використовуючи фізичні закони і співвідношення, скласти диференціальне рівняння для функції, що характеризують даний процес;

3. Встановити початкові умови для шуканої функції, тобто записати значення фізичних характеристик, що описують даний процес в початковий момент;

4. Сформулювати крайові умови, тобто записати умови процесу на межі тіла. Якщо розглядаємо нескінченний об’єм, то записуємо умови поведінки процесу на нескінченності.

Приклад 1. Верхній кінець пружного однорідного вертикально підвішеного важного стрижня коротко прикріплено до стелі ліфту, який вільно падає, причому, досягнувши швидкості , він миттєво зупиняється. Поставити задачу про малі поздовжні коливання цього стрижня.

Нехай зміщення поперечного перерізу вздовж осі Ox є функцією, яка характеризує даний процес. Верхній кінець стрижня в момент зупинки вибираємо на початок координат, вісь Ox направляємо вертикально вниз (рис. 1). Розглянемо елемент стрижня . Для визначення пружних сил, які діють на цей елемент, використаємо закон Гука , де X – проекція на вісь Ox сили , з якою частина стрижня, що лежить нижче розглядуваного перерізу, діє на частину, що лежить вище цього перерізу; S – площа перерізу; E – модуль пружності. На основі закону Гука маємо

 

,

 

.

 

Тут було використано теорему Лагранжа про скінченні прирости. Застосовуючи другий закон Ньютона для розглядуваного елемента та враховуючи приклади Даламбера, записуємо

 

- +

 

де - прискорення сили тяжіння;

- щільність стрижня;

- координата центру тяжіння.

Після скорочення на і переходу до границі при дістаємо диференціальне рівняння малих поздовжніх коливань стрижня

 

 

і остаточно маємо

 

, , , .

 

Оскільки в момент зупинки стрижня (при t= 0) його поперечні перерізи перебувають у стані спокою і їм надається стала швидкість , то початкові умови мають вигляд

 

, .

 

Запишемо тепер крайові умови. Верхній кінець стрижня (x =0) нерухомий, тому крайова умова має вигляд . Нижній кінець стрижня (x = ) вільний. Для одержання крайової умови застосуємо міркування, аналогічні наведеним при виведенні рівняння, тільки тепер будемо розглядати елемент .

Запишемо другий закон Ньютона для цього елемента

 

,

 

звідки, переходячи до границі при , дістаємо крайову умову для кінця : .

Приклад 2. Знайти диференціальне рівняння малих поздовжніх коливань точного стрижня змінного перерізу S=S(x). Розглянути випадок конічного стрижня. Оформулювати початкові і крайові умови для таких випадів:

а) один кінець (x =0) стрижня закріплено, другий розтягнуто силою F, в момент t =0 дія сили миттєво припиняється;

б) до кінця стрижня, який перебуває в стані рівноваги, в момент t =0 прикладено розтягу вальну силу F (t);

в) стрижень закріплено пружно в точці x =0, а до вільного кінця прикріплено вантаж . Початкові умови довільні.

Нехай зміщення - характеризуюча функція. Оскільки стрижень тонкий, то масовими силами можна нехтувати. Розглянемо елемент стрижня . Враховуючи закон Гука, маємо

 

, .

 

Тоді сили інерції

 

, 0< <1,

 

За принципом Даламбера

 

.

 

Зробимо перетворення

 

, 0< <1.

 

І поділимо на . Переходячи до границі при , остаточно маємо

 

,

 

або

, .

 

Розглянемо випадок конічного стрижня. Нехай - висота конуса, - основа. Тоді (рис. 2) маємо

 

,

 

звідки

 

.

 

Тоді рівняння коливань переписуємо так

 

,

 

або

 

.

 

Запишемо початкові та крайові умови для частинних випадків.

а) За законом Гука маємо (при ) , звідки .

Друга початкова умова очевидна.

Крайові умови: (кінець нерухомий), на правому кінці

 

, ,

 

тоді .

б) Стрижень перебуває у стані рівноваги, отже, в початковий момент , . Кінець нерухомий, тоді , а для граничного елемента () згідно з другим законом Ньютона .

Переходячи до границі при , дістаємо .

в) Початкові умови довільні: , .

За умовою задачі, кінець закріплено пружно, тобто на цей кінець зліва діє поздовжня сила, пропорційна зміщенню і спрямована у протилежному до зміщення напрямку , з правого боку на розглядуваний граничний елемент діє сила .

Тому другий закон Ньютона для цього елемента має вигляд

 

.

 

Переходячи до границі при , дістаємо

 

, .

 

На вільному кінці згідно з другим законом Ньютона

 

.

 

Отже, крайову умову на цьому кінці остаточно записуємо так:

 

.

 

Приклад 3. Поставити крайову задачу для поперечних коливань важкої струни, якщо вона обертається з кутовою швидкістю відносно вертикального положення рівноваги, верхній кінець коротко закріплено, а нижній – вільний (рис. 3).

Вісь скеруємо по струні в положенні рівноваги, причому початок осі сумістимо із закріпленим кінцем струни. Нехай - поперечне відхилення точок струни від положення рівноваги. Вважаємо, що струна однорідна, а коливання малі. Виділяємо елемент струни .

У даному разі маємо справу із складним рухом. Коливання струни що - до осі буде відносним рухом, обертання – переносним. Складаємо для розглядуваного елемента струни диференціальне рівняння динаміки відносного руху

 

.

 

Тут - рівнодійна сил натягу, викликаних вагою струни , ,

- прискорення сили тяжіння.

Проекція на вісь рівнодійної цих сил є

 

,

 

сили інерції

,

 

доцентрова сила, спрямована по осі

 

,

 

сили Коріоліса, проекція їх на вісь дорівнює нулеві

 

.

 

Отже, за принципом Даламбера маємо

 

.

 

Використовуючи теорему про середнє значення, скорочуючи на і переходячи до границі при , дістаємо шукане рівняння

 

 

Початкові умови довільні: , .

Крайові умови: кінець - нерухомий, ; нижній кінець - вільний, - обмежена функція.

Зауваження. Якщо ж початок осі сумістити з вільним кінцем, то рівняння має вигляд

 

.

 

Приклад 4. Поставити крайову задачу для визначення температури однорідного ізотропного стрижня з тепло ізольованою бічною поверхнею, якщо його початкова температура є довільною функцією . Стрижень має сталий поперечний переріз. Розглянути випадки: а) кінці стрижня підтримуються при заданій температурі; б) на кінці стрижня подається ззовні заданий тепловий потік; в) на кінцях стрижня відбувається конвективний теплообмін (за законом Ньютона) з середовищем, температура якого задана.

За функцію, що характеризує даний процес, візьмемо температуру . Складемо для неї диференціальне рівняння. Для цього спочатку треба скласти рівняння теплового балансу. Розглянемо елемент стрижня . Нехай - площа поперечного перерізу, - коефіцієнт внутрішньої теплопровідності. Використаємо закон внутрішньої теплопровідності в твердих тілах (закон Фур’є) для одновимірного випадку , де - кількість тепла, що протікає за одиницю часу в напрямку осі через площадку , перпендикулярну до осі . Згідно з цим законом сума тепла, що надходить у розглядуваний елемент за одиницю часу через перерізи і є

 

.

 

Це тепло іде на приріст кількості тепла в елементі за одиницю часу , де - питома теплоємність, - щільність маси. Звідси

 

, .

 

Поділимо останню рівність на , далі переходимо до границі при . Остаточно маємо

 

, .

 

Здобуте рівняння є рівняння теплопровідності. Початкова умова очевидна:

 

, .

 

Розглянемо крайові умови:

а) Кінці стрижня підтримуються при заданій температурі, тобто , ,

б) Використовуючи закон Фур’є, можна одразу записати крайові умови:

 

, , .

 

Якщо , то маємо випадок теплової ізоляції кінців.

в) У цьому разі використовуємо закон Ньютона , де - кількість тепла, що протікає за одиницю часу через площадку поверхні тіла у навколишній простір; - температура навколишнього середовища. На лівому кінці маємо

 

,

 

або

.

 

Аналогічно на правому кінці - , де і - значення температури навколишнього середовища біля кінців стрижня.

Приклад 5. Поставити крайову задачу про охолодження тонкого кільця, на поверхні якого відбувається конвективний теплообмін (за законом Ньютона) з навколишнім середовищем, що має задану температуру. Нерівномірністю розподілу температури по товщині кільця нехтувати.

Нехай - радіус кільця, координата - довжина дуги, яку відраховуємо вздовж кільця. – температура кільця.

Розглянемо елемент кільця (). Складемо для нього рівняння теплового балансу. Враховуючи закон Фур’є, маємо

 

, ,

 

а на підставі закону Ньютона про конвективний теплообмін

 

,

 

де - коефіцієнт теплообміну, - довжина поперечного перерізу кільця. Запишемо приріст кількості тепла в елементі () кільця за одиницю часу

 

,

 

( – питома теплоємність, - щільність, - площа поперечного перерізу).

Отже, рівняння теплового балансу має вигляд

 

,

 

або

 

.

 

Після спрощень дістаємо

 

,

 

або

 

, , , , .

 

Початкова умова: , .

Крайові умови: , , .

Зауваження. Можна перейти до нових незалежних координат , , де - кутова координата. Тоді рівняння має вигляд

 

, , .

 

При таких початкових та крайових умовах , , , .

Приклад 6. Дві пластинки завтовшки і , виготовлені з різних матеріалів і нагріті до температур і , в момент вводиться в дотик одна з другою. Скласти рівняння, яке визначало б процес вирівнювання температур, вважаючи, що вільні грані тепло ізольовані від навколишнього простору.

Позначимо через і температури пластинок у загальному випадку. Але оскільки вільні грані тепло ізольовані, то і . Нехай і - відповідно об’єм і поверхня першої та другої пластинок, і - їх коефіцієнт теплопровідності, і - їх щільності, і - їх питомі теплоємності.

Припустимо, що . За законом Фур’є, кількість тепла, що надходить в об’єм через (з використанням формули Остроградського), знаходимо з виразу

 

.

 

Для підвищення температури об’єму на величину за час потрібно таку кількість тепла:

 

,

 

а для підвищення температури всього об’єму .

Оскільки , то , або , аналогічно дістаємо рівняння при , .

Початкові умови: , .

Для визначення крайових умов скористаємось законом Фур’є, вважаючи, що він справедливий аж до самих границь, , але тепловий потік на межі дорівнює нулеві. Звідси , .

Аналогічно вважаючи, що закон Фур’є справедливий аж до самих границь взаємного дотику пластинок, маємо

 

.

 

Оскільки між пластинами відсутній тепло ізольований шар, то .

Приклад 7. Вивести рівняння стаціонарного процесу дифузії:

а) в однорідному ізотропному середовищі, яке перебуває в стані спокою,

б) в однорідному ізотропному середовищі, яке рухається із заданою швидкістю (наприклад, вздовж осі ).

Нехай - концентрація. Використовуємо закон Нерста: , де - вектор щільності потоку речовини, - коефіцієнт дифузії. Крім цього дифузійного потоку речовини, врахуємо потік переносу, так званий трансляційний потік , швидкість руху середовища. Сумарний потік речовини: . Спроектуємо його на напрям . Використовуючи закон зберігання речовини для нерухомої поверхні , маємо

 

.

 

Застосовуючи формулу Остроградського, дістаємо

 

.

 

Оскільки об’єм - довільний, а , то рівняння стаціонарного процесу дифузії остаточно має вигляд

 

 

або

 

.

 

Звідси, очевидно, маємо такі частинні випадки:

а) рівняння стаціонарного процесу дифузії в однорідному ізотропному середовищі, яке перебуває в стані спокою : .

б) рівняння стаціонарного процесу дифузії в однорідному ізотропному середовищі, яке рухається із заданою швидкістю (наприклад, вздовж осі , ):

 

,

 

яке називають рівнянням газової атаки.

Приклад 8. Показати, виходячи з рівнянь Максвела, що потенціал електростатичного поля справджує рівняння Пуассона.

Запишемо рівняння Максвела для електромагнітного поля в однорідному ізотропному середовищі

 

(2)

 

(3)

 

(4)

 

(5)

 

де , - вектори відповідно електричного та магнітного полів;

- діелектрична стала;

- магнітна проникливість;

- швидкість світла в порожнечі;

і - щільності зарядів і струмів, які є джерелами поля.

У випадку електростатичного поля , звідки випливає, що - потенціальний вектор, який можна зобразити у вигляді , де - потенціал поля в точці . Підставимо у рівняння (4)

 

, .

 

У порожнечі , тоді .

 

Контрольні питання:

1. Області задання стаціонарного рівняння, а також рівняння коливань та рівняння теплопровідності.

2. Граничні умови стаціонарного рівняння.

3. Граничні та початкові умови для гіперболічних та параболічних рівнянь.

4. Задача Дирихлє.

5. Задача Неймана.

Практичні заняття 6-8.

Тема: Методи розв’язання дифференціальних рівняннь математичної фізики. Метод Даламбера. Метод Рімана.

Стислий зміст: Знаходження рішень задач Гурса для рівнянь гіперболічного типу з даними на характеристиках. Побудова функцій Рімана та знаходження розв’язку рівнянь гіперболічного типу.

Мета і задачі: Ознайомлення з загальними методами інтегрування рівнянь гіперболічного типу.

 

При дослідженні задач, пов’язаних з більш загальним гіперболічним рівнянням другого порядку:

 

, (6)

 

де , , - функції незалежних змінних, важливими є інтегральні формули, що встановлюють зв'язок між інтегралом по області з інтегралом по межі цієї області.

Ліву частину останнього рівняння називають лінійним диференціальним оператором другого порядку, а диференціальний оператор

 

 

- спряженим з оператором .

Розглянемо рівняння

 

.

 

Оператором, спряженим до , в оператор

 

.

 

Функції