Производная и её приложение

141-150. Найти производные данных функций.

141. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

142. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

143. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

 

144. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

145. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

146. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

147. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

148. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

149. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

150. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

151-160. Найти и .

151. а) ; б) .

152. а) ; б) .

153. а) ; б) .

154. а) ; б) .

155. а) ; б) .

156. а) ; б) .

157. а) ; б) .

158. а) ; б) .

159. а) ; б) .

160. а) ; б) .

Приложения дифференциального исчисления

191-200. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

 

191. . 192. .

193. . 194. .

195. . 196. .

197. . 198. .

199. . 200. .

 

 

Неопределённый и определённый интегралы

281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.

281. а) ; б) ;

в) ; г) .

282. а) ; б) ;

в) ; г) .

283. а) ; б) ;

в) ; г) .

284. а) ; б) ;

в) ; г) .

285. а) ; б) ;

в) ; г) .

286. а) ; б) ;

в) ; г) .

287. а) ; б) ;

в) ; г) .

288. а) ; б) ;

в) ; г) .

289. а) ; б) ;

в) ; г) .

290. а) ; б) ;

в) ; г) .

301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

30 1. . 30 2. . 30 3. . 30 4. . 30 5. . 306. .

30 7. . 30 8. . 30 9. . 310. .

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Задание 11 – 20

Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.

Ч.1. М.: Оникс 21 век. 2005. Гл. I –IV, стр.39 – 91.

Рассмотрим решение аналогичной задачи, взяв координаты вершины пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).

1) Длину ребра АВ находим по формуле:

2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:

 

 

 

 

α

φ

 

Для решения задания 3) целесообразно решить задачу 7). Уравнение плоскости составим по уравнению

 

 

Нормальный вектор этой плоскости

4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:

5) Объём пирамиды находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Решите самостоятельно.

6) Уравнение прямой

 

Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой

8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняются следующие действия:

а) составляется уравнение высоты пирамиды .

б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.

Решение: вектор удобнее взять

Он будет направляющим для По уравнению

вершина , т.е.

 

.

Система решается подстановкой

Подставив во второе уравнение, найдём значение , а следовательно значения

Точка - проекция точки на плоскость

9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле или по формуле расстояния от точки до плоскости – наиболее удобно.

Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).

 

Задание 51 – 60

 

Дана система линейных уравнений

 

 

Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

а) данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:

 

Находим обратную матрицу

 

Находим матрицу

б) - формулы Крамера. Вычислим все определители

 

в) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.

Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные и . Найдём . .

Вторая строка соответствует уравнению:

или

Аналогично из первой строки напишем уравнение:

Итак:

 

Задание 91 – 100.

Дано комплексное число

Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения

Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.

Найдём алгебраическую форму комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .

Изобразив число на плоскости, найдём и .

-1

 

Итак, число

Найдём корни уравнения

вычислим по формуле Муавра

 

Задание 111 – 120

Вычислить пределы:

а)

За скобку выносили наивысшую степень для числителя и знаменателя.

б)

Для исключения неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.

в)

В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые, например

г) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю

 

 

 

Задание 141– 150

Найти производные следующих функций:

а) б) ;

в) г) ;

д) .

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части равенства

Продифференцируем обе части равенства

 

д)

Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.

 

Задание 151 – 160

Найти функций:

Решение:

а)

б)

Задание 191 – 200

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.

 

Рассмотрим свойства функции:

1. Область определения:

2. Чётностьь, нечётность функции:

Функция общего вида.

3. Асимптоты.

а) Так как , то прямая является вертикальной асимптотой:

б) – наклонная асимптота.

Найдём

Найдём

– уравнение наклонной асимптоты.

4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:

Так как то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.

Производная на всей области определения, значит функция

убывает.

5. Точки пересечения с координатными осями

а) с осью при ,

б) с осью при .

Используя исследование функции, строим график (схематично).

 

Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.

Задание 281 – 290

Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.

Решение:

Проверка:

Метод интегрирования по частям для функции

Формула:

Проверка:

 

Найдём коэффициенты

 

.

 

Литература

Основная литература

1.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [Электронный ресурс]: учебник для вузов. Ч.1/ Г.М. Фихтенгольц. – 10-е изд., стер. – Электрон. текстовые дан. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2015. – 440 с.

2. Справочник по математике для бакалавров [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов / [А. Ю. Вдовин и др.]. – Электрон. текстовые дан. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2014. – 79 с.

3. Высшая математика для экономических специальностей [Текст]: учебник и практикум для вузов/ Н.Ш. Кремер и др.; под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд., перераб. и доп. Москва: Юрайт, 2011. – 909 с.

4. Туганбаев А.А. Задачи и упражнения по высшей математике для гуманитариев [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов / А. А. Туганбаев. – 4-е изд., испр. и доп. – Электрон. текстовые дан. – Москва: Флинта, 2011. – 399 с.

Дополнительная литература:

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] / Н.С. Пискунов. В 2-х т. – М.: Интеграл-Пресс, 2005.

6. Шолохович Ф.А., Васин В.В. Основы высшей математики. [Текст] /

Ф.А. Шолохович, В.В. Васин. – Екатеринбург, Изд-во УрГУ, 2004.

7. Шипачев В.С. Основы высшей математики. [Текст] / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2004.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. В 2 ч. – М.: Высшая школа, 2007.

 

9. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. [Текст] / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.: ООО "Изд. Астрель", 2001

 

 

ЗАДАНИЯ и методические указания к выполнению