Экспериментальная установка. Теоретические положения

Теоретические положения

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называют произведение массы m этой точки на квадрат ее расстояния r до данной оси

.

Момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции механической системы, состоящей из n материальных точек, относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции всех ее точек относительно этой оси

,

где масса -й материальной точки и ее расстояние до рассматриваемой оси соответственно.

В случае непрерывного распределения массы по объему момент инерции тела можно определить путем интегрирования:

.

Здесь – расстояние малого элемента тела массой dm от рассматриваемой оси. Интегрирование необходимо выполнять по всему объему тела.

Момент инерции является мерой инертности тел при вращательном движении, то есть определяет способность вращающихся тел сохранять неизменным состояние покоя или равномерного вращения при отсутствии внешних воздействий. Момент инерции зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно рассматриваемой оси вращения.

Экспериментальная установка

Для экспериментального определения момента инерции используют ряд методов, основанных на законах вращательногодвижения. В данной лабораторной работе требуется определить момент инерции системы, называемой маятником Обербека. Этот маятник, изображенный на рисун-
ке 5.1, представляет собой крестовину, состоящую из четырех стержней, жестко закрепленных во втулке под прямым углом друг к другу.

На стержни крестовин надевают одинаковые грузы массой m ₀ , которые могут быть закреплены на разных расстояниях от оcи вращения. Грузы закрепляют симметрично, то есть так, чтобы центр масс системы находился на оси вращения. Втулка и шкивы большого радиуса и малого радиуса насажены на общую ось вращения маятника. На шкив наматываетсянить, к свободному концу которой прикрепляется груз массой m. При падении этого груза нить разматывается и приводит маятник в равноускоренное вращательное движение.

Момент инерции маятника можно найти на основании уравнения динамики вращательногодвижения

,

(5.1)

где М – результирующиймомент внешних сил, действующих на маятник; – угловое ускорение маятника.

Для определения момента сил М рассмотрим силы, действующие на груз массой m. На этот груз действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити . Записываем уравнение второго закона Ньютона для груза в проекциях на ось x:

,

где a – ускорение груза.

Выражая силу T из этого уравнения, получаем

.

Сила T равна по модулю и противоположна по направлению силе, действующей на шкив со стороны нити и создающей вращающий момент M. Тогда

,

(5.2)

где r – радиус шкива.

Угловое ускорение маятника определяется выражением

,

(5.3)

где – тангенциальная составляющая ускорения точек на поверхности шкива, равная ускорению a, с которым движется груз (полагаем, что нить нерастяжима).

Подставляя M из формулы (5.2) и из формулы (5.3) в уравнение (5.1), получаем

,

(5.4)

Если ускорение а, с которым движется груз массой m, намного меньше ускорения свободного падения g, то , и выражение (5.4) можно записать в таком виде:

,

(5.5)

Ускорение a, с которым движется груз, можно определить экспериментально, измерив время t его падения с высоты h. Как известно, при падении с нулевой начальной скоростью . Выражая ускорение a из этого соотношения, получаем

.

(5.6)