Риск определяется возможностью отклонения от желаемого результата в худшую сторону или выхода за пределы допустимого диапазона, интервала, что приводит к нежелательным, негативным последствиям.
Для принятия решений в условиях риска используют методы теории вероятностей в сочетании с другими математическими методами. В таком случае, факторы, например, состояния среды представляют собой либо случайные величины, либо случайные функции. Они описываются определенными статистическими характеристиками, например, математическим ожиданием и дисперсией и обладают статистической устойчивостью. При этом производят замену случайных факторов их средними значениями, математическим ожиданием и задача становится детерминированной. Тогда можно применять и методы линейного программирования, если по каждому состоянию среды yj известна вероятность ее проявления pj. принимающий решение ориентируется на средние, наиболее вероятные результаты, однако при этом не исключен риск получения не того результата, на который была рассчитана коммерческая стратегия, а значит и не существует однозначного соответствия. В таком случае мерой риска можно считать среднее квадратическое отклонение. Тогда путем сравнения на плоскости соответствующих каждому решению, например, среднего ожидаемого дохода 
и риска 
, можно выбрать доминирующие решение. Однако, если появляются несравнимые пары 
, то образуется, так называемое, множество оптимальности по Парето, среди которого и следует искать лучшее решение.
Случайность исходов игр в условиях риска обуславливается случайным состоянием среды или выбором действий противоположной стороны или определяется вероятностным характером проявления исхода при выбранной хозяйственной стратегии.
Следует заметить, что ситуации, в которых риск связан не с сознательным противодействием противоположной стороны (среды), а с недостаточной осведомленностью о ее поведении или состоянием лица, принимающего решение, называются «играми с природой».
Игры с природой
Пример. Дана таблица выигрышей в игре с природой
| П1 | П2 | П3 | П4 | |
| А1 | -5 | |||
| А2 | ||||
| А3 |
Определим оптимальную стратегию первого игрока по различным критериям:
1) по критерию максимального среднего выигрыша, если экспертные оценки вероятностей составляют р1, р2, р3, р4,
где р1=0,1, р2=0,3, р3 =0,4, р4=0,2.
Следовательно, оптимальной является стратегия А2.
2) по критерию Сэвиджа.
Найдем матрицу риска. Матрица риска строится следующим образом. По каждому столбцу находится элемент с максимальным значением 
. Каждый элемент матрицы риска в j-том столбце находится как разность rij = bj – aij. Следовательно, матрицу риска R записываем следующим образом:
.
Оптимальной является третья стратегия А3.
3) По критерию Гурвица с показателем пессимизма 
.
G1 = (1/4) ´ (-5) + (1 – (1/4)) ´ 13 = 34/4,
G2 = (1/4) ´ 0 + (1 – (1/4)) ´ 14=42/4,
G3 = (1/4) ´ 4 + (1 – (1/4)) ´ 7=25/4,
G=max (34/4, 42/4, 25/4) = 42/4.
Оптимальная стратегия - А2.
4) По критерию Вальда:
.
Оптимальная стратегия - А3.
Биматричные игры
В биматричной игре игрок 1 имеет m чистых стратегий А і, а игрок 2 имеет n чистых стратегий В j, и в каждой ситуации (Ai, Bj) игрок 1 получает выигрыш aij, а игрок 2 – выигрыш bij. Теперь bij не обязано равняться (- aij). Значение обеих функций выигрыша игроков естественно представить в виде пары матриц
Поэтому такие игры и называются биматричными. Используют также запись платежных матриц А и В в следующем виде:
| а11 b11 | ......... | a1n b1n |
| ,........ | ......... | ........ |
| am1 bm1 | ......... | amn bmn |
где верхнее число в каждой клетке обозначает выигрыш первого игрока, а нижнее – выигрыш второго игрока.
Равновесие по Нэшу
Ситуация в биматричной игре (Ai, Bj) называется равновесной по Нэшу, если стратегия Ai 1-го игрока является наилучшим ответом на стратегию Bj 2-го игрока, и, одновременно, стратегия Bj 2-го игрока является наилучшим ответом на стратегию Ai 1-го игрока.
Пример.
Определим ситуации равновесные по Нэшу в игре, заданной матрицами А и В.
Для этого в каждом столбце матрицы A найдем максимальный элемент. Эти элементы выделены в матрице A. Их положение соответствует наилучшим ситуациям для 1-го игрока, когда второй игрок выбрал стратегию j соответственно.
Затем в каждой строке матрицы B выберем наибольший элемент. Эти элементы выделены в матрице B. Их положение будет определять наилучшие ситуации 2-го игрока, когда первый игрок выбрал стратегию i, соответственно.
Платежная матрица игрока А:
| -2 | ||
Платежная матрица игрока B:
| -4 | ||
| -1 |
Таким образом, найдена равновесная ситуация (3;3). В равновесной ситуации (3,3) игрок 1 выигрывает 1 единицу, а игрок 2 выигрывает 3 единицы.
Эффективность по Парето
Ситуация в биматричной игре (Ai, Bj) называется эффективной по Парето, если не существует другой ситуации в этой игре, в которой оба игрока выигрывают не меньше, и хотя бы один из них выигрывает больше.
В рассмотренном выше примере эффективными по Парето являются ситуации (1,1), (2,2), (3,1), (3,2).
