Образец выполнения контрольных заданий

 

Задание 1. Найти производную функции.

а) у = х² (cos x – 4 sin x).

Решение. Воспользуемся формулой (uv)¢=u¢v+uv¢ и таблицей производных.

б)

Решение. Воспользуемся формулой

в) у =

Решение. Имеем дважды сложную функцию

г)

Решение. Имеем функцию у = у(х), заданную неявно. Продифференцируем это равенство, считая, что sin y, e ^{– y} – сложные функции:

В левой части группируем слагаемые с у', в правую часть переносим слагаемые, не содержащие у'.

 

д). .

Решение. Имеем показательно-степенную функцию .

Прологарифмируем данное равенство:

Продифференцируем данное равенство:

 

 

Задание 2. Найти для указанных функций.

1)

Решение. Находим производную 1го порядка по правилу дифференцирования дроби.

Находим вторую производную:

2)

 

Решение. Функция задана параметрически.

Находим производную первого порядка

Производная второго порядка

2)

Решение. Найдем

и

Первая производная:

Вторая производная:

 

Задание 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.

а) .

1) Область определения функции находим из условия:

Д(у) =

2) Функция не является ни четной ни нечетной, т.к. Д(у) несимметричное относительно х = 0 множество.

3) Находим точки пересечения с осями координат.Если х = 0, то у = 0.

Если у = 0, то х = 0.

График функции проходит через точку (0;0).

4) а) вертикальная асимптота х = –1.

Найдем односторонние пределы:

, кривая внизу.

, кривая вверху.

б) Наклонная асимптота. Находим:

Наклонная асимптота у = х – 3.

Построим ее по точкам:

х = 0 х = 3

у = –3 у = 0

в) горизонтальная асимптота.

.

Горизонтальных асимптот нет, но при х ®+¥, у®+¥ (кривая справа вверху), а при х ®–¥, у ®–¥ (кривая слева внизу).

5) Исследуем функцию на экстремум. Находим производную:

Находим критические точки:

у' = 0 при х = 0 или х = – 4

у' не существует при х = –1 Д(у).

Отметим точки х = –1, х = 0, х = –4 на числовой прямой и определим знак производной в каждом интервале:

 

mаx нет экстр. min

 

у'' + – – + х

 

у – 4 – 1 0

 

Экстремальные точки:

т. max

т. min

Строим схематично график функции рис. 1.

5) Находим:

у'' = 0 при х = 0.

у'' не существует при х = –1 Д(у).

 

нет перегиба нет перегиба

 

– + + х

 

–1 0

 

 

 

рис. 1.

 

2.

1) Д(у): х > 0, т.е. х .

2) Функция не является ни четной ни нечетной, т.к. Д(у) не симметрична относительно х = 0.

3) х 0, значит график ось Оу не пересекает.

Если у = 0, то х = 0 Д(у) или ln х = 0, ln x = ln 1, x = 1.

Отмечаем точку (1;0).

4) а) вертикальная асимптота х = 0:

Значит прямая х = 0 не является асимптотой но при х ® 0 справа кривая стремится к у = 0, т.е. к точке (0;0) снизу.

б) наклонная асимптота. Находим:

, нет наклонной асимптоты.

в) горизонтальная асимптота. Находим:

Горизонтальной асимптоты нет, но при . Кривая находится справа вверху.

5) находим:

у' = 0 при х = 0 или

min

 

у' – + х

у 0

 

Схематично изображаем график функции (рис. 2.)

6. Находим:

у'' = 0 при .

у'' существует во всех точках, Д(у)

 

 

т. перегиба

 

у'' – + х

у 0 Ç È

Уточняем график функции точкой перегиба.

х

 

 

 

 

1 у

 

рис. 2

 

2.

1) Д(у) = .

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Если х = 0, у = 1.

Если у = 0, то х + 1 = 0, x = –1.

Отмечаем точки (0;1), (–1;0).

4) а) вертикальных асимптот нет.

б) наклонная асимптота. Находим:

к = 0 при х ® ¥.

,

значит наклонных асимптот нет.

в) горизонтальная асимптота. Находим:

у = 0 – асимптота при . Кривая стремится к оси Ох при х®+¥.

Кривая слева находится внизу.

5) Находим:

 

Находим критические точки:

у' = 0 при х = 0.

 

max

у' + – х

у

0

 

у'(–1)>0, у' (1)<0.

 

Изобразим схематично график функции (рис. 3.).

 

 

 

рис. 3

 

 

6)

у'' = 0 при х = 1.

т. перегиба

у'' – + х

у

Ç 1 È

у''(–1)<0, у''(2)>0.

 

 

Контрольная работа

 

Задача 1. Найти производную функции:

1.1 ; ; ;

; ; .

1.2 ; ; ;

; ; .

1.3

.

1.4

.

1.5

.

1.6

.

1.7

/

1.8

.

1.9

.

1.10

.

1.11

/

1.12

.

1.13

.

1.14

.

1.15

.

1.16

.

1.17

.

1.18

.

1.19

.

1.20

.

1.21

.

1.22

.

1.23

.

1.24

.

1.25

.

1.26

.

1.27

.

1.28

.

1.29

.

1.30

.

Задача 2. Найти производные второго порядка.

 

Задача 3. Методом дифференциального исчисления исследовать и построить график функции.

.

 

 

Задача 4. Пользуясь правилом Лопиталя вычислить пределы.

4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30

 

 

Задача 5. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить. С точностью до 0,001.

, где - номер варианта.

 

Задача 6. Вычислить действительные корни уравнения с точностью 0,01. Значения а и взять из таблицы.

 

Таблица

№ вар	а
6.1		-8
6.2
6.3		-3
6.4
6.5		-8
6.6		-5
6.7		-8
6.8		-1
6.9
6.10
6.11		-7
6.12
6.13		-5
6.14		-6
6.15
6.16		-5
6.17		-5
6.18
6.19
6.20		-6
6.21		-3
6.22		-7
6.23
6.24		-6
6.25		-15
6.26		-5
6.27	-5
6.28	-5
6.29	-5
6.30	-5

 

 

Задача 7. Дана кривая в параметрической форме, вычислить ее кривизну в точке и составить уравнение касательной при заданном параметре .

ТАБЛИЦА

№ вар	Уравнение кривой
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
7.21
7.22
7.23
7.24
7.25
7.26
7.27
7.28
7.29
7.30

 

Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке .

№ вар
8.1		,
8.2		,
8.3		,
8.4		,
8.5		,
8.6		,
8.7		,
8.8		,
8.9		,
8.10		,
8.11		,
8.12		,
8.13		,
8.14		,
8.15		,
8.16		,
8.17		,
8.18		,
8.19		,
8.20		,
8.21		,
8.22		,
8.23		,
8.24		,
8.25		,
8.26		,
8.27		,
8.28		,
8.29		,
8.30		,