Б.1 Пример расчета контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами для производственного процесса поддержания концентрации азота в аммиаке

25 %-ю концентрацию азота в аммиаке считают нормальной для процесса в статистически управляемом состоянии.

Даны пределы концентрации азота:

Т_в = 27,5 %;

Т_н = 22,5 %.

Максимально нежелательный уровень несоответствий равен 3 %.

Из предыдущих экспериментальных данных известно, что s = 1 %.

Определяют значения m₁ и m_-1.

Согласно формулам (А.3) и (А.6)

m₁ = 27,50 % - 1 % ´ z_0,97 = 27,50 % - 1,88 % = 25,62 %;

m_-1 = 22,50 % + 1,88 % = 24,38 %.

Б.2 Значение объема выборки для условий примера Б.1 взято равным 5, т. е. n = 5. Контрольные границы на контрольной карте должны быть построены таким образом, чтобы ARL для процесса в статистически управляемом состоянии (L₀) составляла как минимум 300 и для процесса с максимально нежелательным уровнем процесса (L₁) - не превышала 12.

Имеют

и

.

Комбинацию коэффициентов, определяющих положение границ регулирования и предупреждающих границ на контрольных картах В₁, В₂, и количество последовательных точек К выбирают из таблиц 1 - 4 (с интерполяцией для значения = 1,39), так чтобы L₀ ³ 300 и L₁ < 12 (таблица 4), т. е. L₀ ³ 600 и L₁ < 12, если используют таблицы 1 - 3 настоящего стандарта (В.3).

Результаты представлены в таблице Б.1.

Таблица Б.1

N	К	В1	В2	L0	L1
		3,0	1,5	620,1	10,3
		3,0	1,15	624,1	11,2
		3,25	1,25	618,6	8,8
		3,25	1,0	904,0	10,1

Установленные исходные данные приводят к неоднозначности плана контроля (получилось четыре возможных варианта). Согласно 7.4.1 (поскольку отношение L₀/L₁ > 50) выбирают план с минимальным L₁, т. е. третью строку в таблице Б.1.

Таким образом, К = 3; В₁ = 3,25; В₂ = 1,25.

В соответствии с разделом 5 для нанесения на контрольную карту границ получены следующие значения:

для границ регулирования

;

;

для предупреждающих границ

;

.

Б.3 Для условий, приведенных в Б.1 и Б.2, были получены следующие значения : 25,1; 25,2; 24,2; 25,6; 24,1; 24,3; 25,0; 25,3; 25,9; 24,7; 25,1; 25,3; 24,9; 25,4; 24,8; 24,7; 25,9; 25,6; 25,7 % (рисунок Б.1).

Рисунок Б.1 - Пример контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами

После 19-й выборки необходимо принять решение о наладке процесса, так как последние три точки (25,9; 25,6; 25,7) находятся в зоне W между предупреждающей границей и границей регулирования.

Следует обратить внимание на то, что две другие соседние точки (24,1 и 24,3) находятся в зоне W₊, и корректировка процесса не может быть произведена, так как в соответствии с принятой процедурой этих точек должно быть три.

Корректировка должна быть осуществлена немедленно при первом же значении либо больше 26,45, либо меньше 23,55.

Примечание - 3 s -границы показаны на рисунке Б.1 пунктирными линиями. Как видно из этого рисунка, контрольная карта Шухарта не позволила бы осуществить корректировку рассмотренного процесса.

Б.4 Для s, m₀, m₁ и m_-1, приведенных выше, а также условий, установленных для L₀ и L₁, необходимо найти план контроля, дающий наименьший объем выборки. Из колонки таблицы Б.1, соответствующей L₀ ³ 600, находят, что минимальное значение , для которого L₁ < 12, равно 1,4 (например, план с параметрами В₁ = 3,0, В₂ = 1,5, К = 3 дает L₁ = 10,3; план с параметрами В₁ = 3,25, В₂ = 1,25 и К =3 дает L₁ = 8,8).

Отсюда и n = 5.

ПРИЛОЖЕНИЕ В

(информационное)

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

B.1 Общая часть

Контрольные карты, использующие только границы регулирования, не во всех случаях достаточно чувствительны к изменению уровня процесса.

Средняя длина серии выборок, по результатам которых принимают решение о корректировке процесса, - критерий чувствительности КК к сдвигу уровня процесса. Если процесс находится в статистически управляемом состоянии, то решение о корректировке ошибочно. В этом случае средняя длина серии выборок должна быть максимально возможной.

Если же процесс вышел из статистически управляемого состояния, то решение о его корректировке необходимо принять как можно быстрее. Здесь средняя длина серии выборок должна быть по возможности меньшей.

Введение предупреждающих границ повышает чувствительность КК к определению состояния процесса.

Если сравнить КК с предупреждающими границами с контрольными картами Шухарта для одного и того же значения L₀, то поскольку < 2,5, КК с предупреждающими границами имеют гораздо меньшие значения L₀.

,

где Ф - функция нормального распределения.

Рисунок B.1 - Сравнение значений ARL, полученных для процесса, находящегося в статистически неуправляемом состоянии для обычной контрольной карты Шухарта (пунктирная линия) и контрольной карты с предупреждающими границами (сплошная линия)

На рисунке B.1 сплошная линия представляет значения ARL для контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами с односторонним критерием с зонами качества при В₁ = 3,00; В₂; = 1,75; К = 2 (таблица 2 настоящего стандарта). Пунктирная линия показывает значения ARL для обычной КК Шухарта с односторонним критерием, рассчитанной для того же значения L₀ = 346,2, что и первая КК (границы будут на расстоянии 2,76 ´ от центральной линии).

Пример приведен для одностороннего критерия. Для двустороннего критерия кривые строят по тем же правилам (7.2.3).

В.2 Формулы для вычисления ARL с односторонним критерием

Точка на контрольной карте может попасть в зону Т с вероятностью р, в зону W - с вероятностью q, а в зону А - с вероятностью 1 - р - q (рисунок 2 настоящего стандарта), где вероятности р и q определяют по формулам:

p = Ф (В₂ - ); (В.1)

q = Ф (В₁ - ) - Ф (В₂ - ), (В.2)

где - функция стандартного нормального закона распределения, значения которой приведены в приложении А ГОСТ Р 50779.21;

x - переменная интегрирования и d = 0 для процесса в статистически управляемом состоянии.

Среднюю длину серий выборок L определяют по формуле

. (В.3)

Когда К = 2, рекомендуют использовать формулу (В.3) в следующем виде:

. (В.4)

Значения ARL в таблицах 1 - 3 настоящего стандарта вычислены с использованием приведенных формул.

В.3 Формула для вычисления ARL с двусторонним критерием

В случае двустороннего критерия формула (В.3) принимает вид (при К = 2):

, (В.5)

rдe q₁ и q₂ - вероятности попадания в зоны W₊ и W_- соответственно;

p ¢ - вероятность попадания в зону Т.

Очевидно, что р ¢ = 2 р - 1, где р определяют по формуле (B.1).

Когда = 0, то q₁ = q₂ = q и формула (В.4) принимает вид

(В.6)

Когда ¹ 0, меньшая из вероятностей q₁ и q₂ (например, q₂) становится настолько малой, что ею можно пренебречь.

Таким образом, для малых значений (0,2; 0,4) необходимо учитывать разницу между значениями ARL с односторонним и двусторонним критериями, но если > 0,6, то эта разница становится настолько малой, что ею можно пренебречь (таблица B.1).

Таблица B.1 - Значение ARL, в случаях с двусторонним и односторонним критериями

	Случай двустороннего критерия	Случай одностороннего критерия
0,0	278,0	556,0
0,2	222,6	275,2
0,4	134,2	141,9
0,6	75,3	76,0
0,8	42,8	43,0
1,0	25,5	25,5

Затем, если q₁ = q, q₂ = 0, то формула (В.5) переходит в формулу (В.4), т. е. ARL процесса, вышедшего из-под контроля, будет такой же, как и ARL процесса с односторонним критерием:

L ¢₁ = L₁. (B.7)

Например, если причиной выхода процесса из-под контроля служит увеличение значения уровня процесса, то возможность выхода за нижнюю предупреждающую границу можно не брать в расчет как и в случае одностороннего критерия.

Формулы (В.6) и (В.7) также применимы для К = 3 и К = 4.