Формы представления игры, анализ откликов и доминирующие стратегии (на примере дилеммы заключенных).

1.19. Стратегическая (нормальная) форма игры для двух игроков – это представление игры как таблицы платежей, называемой «платежная функция» (u1i; u2j), где строки определяются стратегиями первого игрока (S1i), а столбцы стратегиями второго игрока (S2j), i = (1, 2), j = (1, 2).

1.20. Дилемма заключенных. Двое (1-й и 2-й) подозреваются в преступлении, за которое им грозит до 5 лет тюремного заключения. Они находятся в заключении, в различных камерах. От их поведения (признания) зависит сокращение сроков заключения, которое можно рассматривать как положительные платежи, в зависимости от пары стратегий заключенных. Соглашений (сговора) нет, т.е. стратегии выбираются независимо. Стратегическая форма игры (с таблицей платежей) имеет вид:

1.21. В любой игре анализ откликов на стратегии контрагента – это ответ на вопрос: «Какую стратегию выбрать в ответ, чтобы получить лучший выигрыш?»

Размышления 1-го игрока (на примере дилеммы заключенных):

- в ответ на стратегию контрагента S2₁ (1-й столбик) лучше выбрать S1₁, т.к. 1>0

- в ответ на стратегию контрагента S2₂ (2-й столбик) лучше выбрать S1₁, т.к. 3>2

Если наилучшие отклики приводят к одной стратегии – это доминирующая стратегия. У 1-го игрока существует доминирующая стратегия (ДС) - S1₁, потому, что какую бы стратегию ни выбрал 2-й игрок, для 1-го лучше выбирать S1₁. На примере первого игрока,

максминная стратегия – это стратегия S1₁, где реализовался максимальный платеж (1) среди минимальных платежей для каждой стратегии (для S1₁ – это 1, а для S1₂ - это 0). В дилемме заключенных доминирующая стратегия совпадает с максминной, т.е. минимизирует риск. Отклики в платежной матрице подчеркнуты. Аналогично, у 2-го игрока также существует доминирующая стратегия – S2_1. Исход игры определяется парой стратегий (S1₁; S2₁) с платежами (1; 1) – это равновесие в доминирующих стратегиях, оно же равновесие по Нэшу.

1.22. Развернутая (экстенсивная) форма игры – представляет игру в виде дерева игры в зависимости от хода игроков, что позволяет рассматривать более наглядно случаи, когда число игроков больше двух

Если игра статическая и нет соглашений (сговора), то в момент хода 1-й игрок не знает хода (выбора) 2-го игрока (например, в дилемме заключенных сговор отсутствует). То есть, 2-й игрок не знает, на которой ветке дерева он находится. Если информация полная, все платежи известны. Каждый игрок анализирует свои платежи в зависимости от стратегии контрагента и находит оптимальные отклики и выбирает стратегию. Соглашение «не признаваться» ничтожно, потому что существуют стимулы нарушить соглашение, чтобы получить платеж 3.

1.23. Тип игры «дилемма заключенных» – это такая статическая игра, где

1) у 1-го и 2-го игроков существуют доминирующие стратегии, т.е. оптимальные отклики принадлежат только доминирующей стратегии каждого игрока

2) каждый игрок выбирает доминирующую стратегию, потому, что она лучшая независимо от выбора контрагента, т.к. информация полная, но несовершенная (игроки не знают, какую стратегию выбирает контрагент, нет сговора-соглашения), Исход игры (ДС1; ДС2). Равновесие в доминирующих стратегиях является единственным равновесием по Нэшу, ни одному игроку не выгодно в одностороннем порядке отклониться (т.к. отклики наилучшие)

3) важно! равновесный исход (ДС1; ДС2) = (1, 1) не является Парето-оптимальным, и существует исход, позволяющий увеличить выигрыш обоих игроков и дающий максимум общественного благосостояния (суммарных выигрышей) (2, 2)

[1] В повторяемой игре все стратегии могут применяться с определенными вероятностями p_i (i=1,..n), тогда стратегия называется смешанной. Например, если равновесие в чистых стратегиях отсутствует, то чистые стратегии используются с определенными вероятностями при повторении игры для достижения оптимальных исходов (максимально достижимого выигрыша для каждого игрока).