Экстремум функции двух переменных

Определение 11. Точка называется точкой максимума функции , определённой в области , если существует –окрестность точки такая, что для всех точек полное приращение .

Определение 12. Точка называется точкой минимума функции , определённой в области , если существует –окрестность точки такая, что для всех точек полное приращение .

Определение 13. Точка max или точка min функции называется точкой экстремума (точкой ext).

Определение 14. Значения функции в точках max и точках min называются соответственно максимальными (max) и минимальными (min) значениями функции .

Теорема 5 (необходимые условия существования ext).

Если точка является точкой ext, то в этой точке обе частные производные и равны нулю.

З а м е ч а н и е. В точках ext частные производные могут и не существовать.

П р и м е р 6. – конус. Точка – точка ext, в которой и не существуют.

Обратная теорема не верна.

П р и м е р 7. ; , ,

имеем точку .

В любой малой окрестности точки приращение не сохраняет знака. Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Определение 15. Точки, в которых и равны нулю или не существуют, называются критическими точками на ext.

Теорема 6 (достаточный признак). Пусть функция трижды непрерывно дифференцируема и точка критическая, т.е. и в точке .

Если полный дифференциал знакопостоянен, то точка является точкой экстремума, причем точкой max, если и точкой min, если .

– квадратичная форма относительно приращений и . Введём обозначения: , , .

Определение 16. Квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой),если и ().

Таким образом,

1) , точка – точка min;

2) , точка – точка max,

3) точка не является точкой экстремума;

4) требуется дополнительное исследование для точки .

Задание 4. Найти критические точки функции и исследовать их характер.

Решение.

1) найдем частные производные первого порядка.

 

2) для нахождения критических точек решим систему.

 

Точка (21,20) – критическая.

3) с помощью частных производных второго порядка проверим достаточное условие существования экстремума.

 

 

 

Получили, что точка (21,20) является точкой максимума.

Рис.4 – Решение задания 4

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. С помощью линий уровня исследовать поведение функции и построить ее график.

 

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

 

 

Задача 2. Для указанной функции найти полные дифференциалы первого и второго порядка в точке .

1. , Р(1,2,3); 2. , Р(1,-1,2);

3. , Р(2,3,4); 4. , Р(1,1,1);

5. , Р(1,2,2); 6. , Р(3,1,2);

7. , Р(1,1,2); 8. , Р(1,2,3);

9. , Р(1,-1,0); 10. , ;

11. , Р(1,4,2); 12. , Р(3,3,1);

13. , Р(1,3,4); 14. , ;

15. , Р(2,2,3).

Задача 3. Для указанной функции найти производную по направлению вектора в точке .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

 

Задача 4. Найти критические точки функции и исследовать их характер.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. .

Содержание отчета по работе

1. Исходное задание и цель работы.

2. Распечатка контрольного примера и результатов машинного расчета.

4.5 Выводы по работе.

Контрольные вопросы